奥数比和比例含答案.docx
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奥数比和比例含答案
比和比例
月日姓名
【知识要点】
一、比和比例的性质
性质 1:
若 a:
b=c:
d,则(a + c):
(b + d)= a:
b=c:
d;
性质 2:
若 a:
b=c:
d,则(a - c):
(b - d)= a:
b=c:
d;
性质 3:
若 a:
b=c:
d,则(a +x c):
(b +x d)=a:
b=c:
d;(x 为常数)
性质 4:
若 a:
b=c:
d,则 a×d = b×c;(即外项积等于内项积)
正比例:
如果 a÷b=k(k 为常数),则称 a、b 成正比;
反比例:
如果 a×b=k(k 为常数),则称 a、b 成反比.
二、主要比例转化实例
①
x a
= ⇒
y b
b x a mx a
= = =
x a a b x y y b my b y mb
③
x a x a
= ⇒ =
y b x + y a + b
;
a + b
= =
x a x - y a - b
;
④
x a
= ⇒ =
y b z d z bd
⑤x 的
c 等于 y 的 d ,则 x 是 y 的 ad , y 是 x 的 bc .
a b bc ad
三、按比例分配与和差关系
⑴按比例分配
例如:
将 x 个物体按照 a :
b 的比例分配给甲、乙两个人,那么实际上甲、乙两个人各自分配到的物体
数量与 x 的比分别为 a :
(a + b )和 b :
(a + b ) ,所以甲分配到 ax 个,乙分配到 bx 个.
a + ba + b
⑵已知两组物体的数量比和数量差,求各个类别数量的问题
例如:
两个类别 A 、B ,元素的数量比为 a :
b (这里 a > b ),数量差为 x ,那么 A 的元素数量为 ax ,B
a - b
的元素数量为 bx ,所以解题的关键是求出 (a - b ) 与 a 或 b 的比值.
a - b
四、比例题目常用解题方式和思路
解答分数应用题关键是正确理解、运用单位“l”。
题中如果有几个不同的单位“1”,必须根据具
体情况,将不同的单位“1”,转化成统一的单位“1”,使数量关系简单化,达到解决问题的效果。
在
解答分数应用题时,要注意以下几点:
1. 题中有几种数量相比较时,要选择与各个已知条件关系密切、便于直接解答的数量为单位“1”。
2. 若题中数量发生变化的,一般要选择不变量为单位“1”。
3. 应用正、反比例性质解答应用题时要注意题中某一数量是否一定,然后再确定是成正比例,
还是成反比例。
找出这些具体数量相对应的分率与其他具体数量之间的正、反比例关系,就能找
到更好、更巧的解法。
4. 题中有明显的等量关系,也可以用方程的方法去解。
5. 赋值解比例问题
【典型例题】比例转化
【例 1】 已知甲、乙、丙三个数,甲等于乙、丙两数和的
乙两数和的 5 ,求甲:
乙 :
丙 .
7
1 ,乙等于甲、丙两数和的 1 ,丙等于甲、
3 2
【例 2】 已知甲、乙、丙三个数,甲的一半等于乙的 2 倍也等于丙的 2 ,那么甲的 2 、乙的 2 倍、丙
33
的一半这三个数的比为多少?
【例 3】 如下图所示,圆 B 与圆 C 的面积之和等于圆 A 面积的 4 ,且圆 A 中的阴影部分面积占圆 A 面
5
积的 1 ,圆 B 的阴影部分面积占圆 B 面积的 1 ,圆 C 的阴影部分面积占圆 C 面积的 1 .求圆 A 、
653
圆 B 、圆 C 的面积之比.
A
BC
【例 4】 某俱乐部男、女会员的人数之比是 3:
2 ,分为甲、乙、丙三组.已知甲、乙、丙三组的人数
比是 10:
8:
7 ,甲组中男、女会员的人数之比是3:
1 ,乙组中男、女会员的人数之比是5 :
3 .求
丙组中男、女会员人数之比.
【巩固】一项公路的修建工程被平均分成两份承包给甲、乙个工程队建设,两个工程队建设了相同
多的一段时间后,分别剩下 60% 、 40% 的任务没有完成,已知两个工程队的工作效率 (建设
速度)之比 3:
1 ,求这两个工程队原先承包的修建公路长度之比 .
【例 5】 某团体有 100 名会员,男女会员人数之比是14:
11 ,会员分成三组,甲组人数与乙、丙两组人
数之和一样多,各组男女会员人数之比依次为 12:
13 、5 :
3 、2 :
1 ,那么丙组有多少名男会员?
【例 6】A 、 B 、 C 三项工程的工作量之比为 1:
2:
3 ,由甲、乙、丙三队分别承担.三个工程队同时
开工,若干天后,甲完成的工作量是乙未完成的工作量的二分之一,乙完成的工作量是丙
未完成的工作量的三分之一,丙完成的工作量等于甲未完成的工作量,则甲、乙、丙队的
工作效率的比是多少?
【巩固】某次数学竞赛设一、二、三等奖.已知:
①甲、乙两校获一等奖的人数相等;②甲校获一
等奖的人数占该校获奖总人数的百分数与乙校相应的百分数的比为 5:
6 ;③甲、乙两校获二
等奖的人数总和占两校获奖人数总和的20% ;④甲校获三等奖的人数占该校获奖人数的
50% ;⑤甲校获二等奖的人数是乙校获二等奖人数的 4.5 倍.那么,乙校获一等奖的人数占
该校获奖总人数的百分数等于多少?
【例 7】 ①某校毕业生共有 9 个班,每班人数相等.②已知一班的男生人数比二、三班两个班的女
生总数多 1;③四、五、六班三个班的女生总数比七、八、九班三个班的男生总数多 1.那
么该校毕业生中男、女生人数比是多少?
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【按比例分配与和差关系】
(一)量倍对应
【例 8】 一些苹果平均分给甲、乙两班的学生,甲班比乙班多分到 16 个,而甲、乙两班的人数比为
13:
11 ,求一共有多少个苹果?
【巩固】小新、小志、小刚三人拥有的藏书数量之比为 3:
4:
6 ,三人一共藏书 52 本,求他们三人各自
的藏书数量.
【巩固】在抗洪救灾区活动中,甲、乙、丙三人一共捐了 80 元.已知甲比丙多捐 18 元,甲、乙所
捐资的和与乙、丙所捐资的和之比是 10:
7 ,则甲捐多少元,乙捐多少元,丙捐多少元.
【巩固】有 120 个皮球,分给两个班使用,一班分到的 1 与二班分到的 1 相等,求两个班各分到多少
32
皮球?
【例 9】 一班和二班的人数之比是 8:
7 ,如果将一班的 8 名同学调到二班去,则一班和二班的人数比
变为 4 :
5 .求原来两班的人数.
【例 10】 幼儿园大班和中班共有 32 名男生,18 名女生.已知大班男生数与女生数的比为 5 :
3 ,中班
男生数与女生数的比为 2 :
1 ,那么大班有女生多少名?
【巩固】参加植树的同学共有 720 人,已知六年级与五年级人数的比是 3:
2 ,六年级比四年级多 80 人,
三个年级参加植树的各有多少人 ?
【巩固】圆珠笔和铅笔的价格比是 4:
3,20 支圆珠笔和 21 支铅笔共用 71.5 元.问圆珠笔的单价
是每支多少元?
【例 11】 甲、乙两只蚂蚁同时从 A 点出发,沿长方形的边爬去,结果在距 B 点 2 厘米的 C 点相遇,已
知乙蚂蚁的速度是甲的 1.2 倍,求这个长方形的周长.
A甲
乙C
B
【例 12】 甲乙两车分别从 A, B 两地出发,相向而行.出发时,甲、乙的速度比是 5∶4,相遇后,
甲的速度减少 20%,乙的速度增加 20%,这样,当甲到达 B 地时,乙离 A 地还有 10 千米.问:
A,B 两地相距多少千米?
【例 13】 师徒二人加工一批零件,师傅加工一个零件用 9 分钟,徒弟加工一个零件用 15 分钟.完成
任务时,师傅比徒弟多加工 100 个零件,求师傅和徒弟一共加工了多少个零件?
【巩固】师徒二人共加工零件 400 个,师傅加工一个零件用 9 分钟,徒弟加工一个零件用 15 分钟.完
成任务时,师傅比徒弟多加工多少个零件?
【例 14】 A 、 B 、 C 三个水桶的总容积是 1440 公升,如果 A 、 B 两桶装满水, C 桶是空的;若将 A 桶
水的全部和 B 桶水的 1 ,或将 B 桶水的全部和 A 桶水的 1 倒入 C 桶,C 桶都恰好装满.求 A 、
53
B 、 C 三个水桶容积各是多少公升?
【巩固】正方向教育学校四五六年级共有 615 名学生,已知六年级学生的 1 ,等于五年级学生的 2 ,
25
等于四年级学生的 3 。
这三个年级各有多少名学生学生?
7
家长留言:
1、由甲等于乙、丙两数和的 1 ,得到甲等于三个数和的 1 = 1 ,同样的乙等于甲、丙两数和的 1 = 1 ,
33+142+13
同样的丙等于甲、乙两个数和的5= 5,所以甲:
乙 :
丙 = 1 :
1 :
5 = 3:
4:
5 .
7 + 5124 3 12
2 、 甲 的 一 半 、 乙 的 2 倍 、 丙 的 2 这 三 个 数 的 比 为 1 :
1 :
, 所 以 甲 、 乙 、 丙 这 三 个 数 的 比 为
3
⎛1 ⎫⎛2 ⎫
⎝2 ⎭⎝3 ⎭2 2
4:
1:
3 ,那么甲的
2 、乙的 2 倍、丙的一半这三个数的比为
3
⎛⎛1 ⎫
ç
A
BC
3 、设 A 与 B 的共同部分的面积为 x , A 与 C 的共同部分的面积为 y ,则根据题意有
A =
⎛ B
+
4 5 3 ⎝ 5 3 ⎭
以 A = 5 (B + C ) = 20C .最后得到 A :
B :
C = 20:
15:
1 .
4
4 、以总人数为 1 ,则甲组男会员人数为
10 3 3 ,女会员为 3 1 1 ,乙组男会员为
10 + 8+ 7 3+ 1 10 10 3 10
⎛ 1
10 + 8+ 75+ 3555253+2⎝ 105 ⎭103+2⎝ 1025 ⎭50
所以,丙组中男、女会员人数之比为 1 :
9 = 5:
9 .
10 50
【解析】(法一)甲工程队以 3 倍乙工程队建设速度,仅完成了 40% 的承包任务,而乙工程队完成了 60% ,
所以甲工程队承包任务的 40% 等于乙工程队承包任务的 60% ⨯ 3 = 180% ,所以甲工程队的承包
的任务是乙工程队承包任务的 180% ÷ 40% = 450% ,所以两个工程队承包的修建公路长度之比
为 450%:
1 = 9:
2 .
(法二)两个工程队完成的工程任务 (修建公路长度 )之比等于工作效率之比,等于 3:
1 ,而他们分别完
成 了 各 自 任 务 的 40% 和 60% , 所 以 两 个 工 程 队 承 包 的 修 建 公 路 长 度 之 比 为
(3 ÷ 40%):
(1 ÷ 60%) = 9 :
2 .
【解析】会员总人数 100 人,男女比例为14:
11 ,则可知男、女会员人数分别为 56 人、 44 人;又已知甲
组人数与乙、丙两组人数之和一样多,则可知甲组人数为 50 人,乙、丙人数之和为 50 人,
可设丙组人数为 x 人,则乙组人数为 (50 - x )人,又已知甲组男、女会员比为 12:
13 ,则甲组
男、女会员人数分别为24 人、 26 人,又已知乙、丙两组男、女会员比例,则可得:
52
83
男会员人数为 18 ⨯ 2 = 12 人.
3
【解析】根据题意,如果把 A 工程的工作量看作 1,则 B 工程的工作量就是 2 ,C 工程的工作量就是 3 .
设甲、乙、丙三个工程队的工作效率分别为 x 、 y 、 z .经过 k 天,则:
⎧2kx = - ky
⎪
⎩
( ) 1
( ) 2
(3)
将⑶代入⑵,得 ky = 2 + kx
3
(4) ,
将⑷代入⑴,得 2kx = 2 - 2 + kx , x = 4 ,
37k
将 x = 4 代入⑴,得 y = 6 .代入⑶,得 z = 3 .
7k7k
甲、乙、丙三队的.工作效率的连比是 4 :
6 :
3 = 4 :
6 :
3 .
7k 7k 7k
【巩固】某次数学竞赛设一、二、三等奖.已知:
①甲、乙两校获一等奖的人数相等;②甲校获一
等奖的人数占该校获奖总人数的百分数与乙校相应的百分数的比为 5:
6 ;③甲、乙两校获二
等奖的人数总和占两校获奖人数总和的20% ;④甲校获三等奖的人数占该校获奖人数的
50% ;⑤甲校获二等奖的人数是乙校获二等奖人数的 4.5 倍.那么,乙校获一等奖的人数占
该校获奖总人数的百分数等于多少?
【解析】由①、②可知甲、乙两校获奖总人数的比为 6 :
5 ,不妨设甲校有 60 人获奖,则乙校有 50 人
获 奖 . 由 ③ 知 两 校 获 二 等 奖 的 共 有 (60 + 50) ⨯ 20% = 22 人 ; 由 ⑤ 知 甲 校 获 二 等 奖 的 有
22 ÷ (4.5 + 1)⨯ 4.5 = 18 人;由④知甲校获一等奖的有 60 - 60 ⨯ 50% - 18 = 12 人,那么乙校获一等奖
的也有 12 人,从而所求百分数为 12 ÷ 50 ⨯100% = 24% .
【解析】如下表所示,由②知,一、二、三班的男生总数比二、三班总人数多 1;由③知,四至九班
的男生总数比四、五、六班总人数少 1.
一班男生多 1 人
比二、三班女生
二、三班男生
加上二、三班男生
比二、三班总人数多 1 人
一、二、三班男生
七、八、九班男生
四、五、六班女生
比
四、五、六班男生四、五、六班男生
少 1 人
加上
四、五、六、七、八、九班男 比四、五、六班总人数 少 1 人
生
因此,一至九班的男生总数是二、三、四、五、六共五个班的人数之和,由于每班人数均相等,则女
生总数等于四个班的人数之和.所以,男、女生人数之比是 5:
4 .
模块二、按比例分配与和差关系
(一)量倍对应
【解析】一共有 16 ÷ (13 - 11)⨯ (13 + 11) = 192 个苹果.
【巩固】小新、小志、小刚三人拥有的藏书数量之比为 3:
4:
6 ,三人一共藏书 52 本,求他们三人各自
的藏书数量.
46
3 + 4 + 63 + 4 + 63 + 4 + 6
34
3 + 4 + 63 + 4 + 6
6
3 + 4 + 6
【巩固】在抗洪救灾区活动中,甲、乙、丙三人一共捐了 80 元.已知甲比丙多捐 18 元,甲、乙所
捐资的和与乙、丙所捐资的和之比是 10:
7 ,则甲捐元,乙捐元,丙捐
元.
【解析】由于甲比丙多捐 18 元,所以甲、乙所捐资的和比乙、丙所捐资的和多 18 元,那么甲、乙所
捐资的和为:
18 ÷ (10- 7)⨯ 10= 60 元),乙、丙所捐资的和为 60 - 18 = 42元.所以,甲捐了
80 - 42 = 38(元),乙捐了 60 - 38 = 22 (元),丙捐了 38 - 18 = 20 (元).
【巩固】有 120 个皮球,分给两个班使用,一班分到的 1 与二班分到的 1 相等,求两个班各分到多少
32
皮球?
【解析】根据题意可知一班与二班分到的球数比 1 :
13= 72 个,二班
2 33 + 2
分到皮球 120 - 72 = 48 个.
【解析】原来一班的人数为两班总人数的8= 8 ,调班后一班的人数是两班人数的4= 4 ,调班前
8 + 7154 + 59
后一班人数的比值为 8 :
4 = 6 :
5 ,所以一班原来的人数为 8 ÷ (6 - 5)⨯ 6 = 48 人,二班原来的人
15 9
数为 48 ÷ 8 ⨯ 7 = 42 人.
【解析】由于男、女生人数有比例关系,而且知道总数,所以可以用鸡兔同笼的方法.假设18 名女生
全部是大班,则大班男生数:
女生数= 5:
3 = 30:
18 ,即男生应有 30 人,实际上男生有 32 人,
相差 2 个人;又中班男生数:
女生数 = 2:
1 = 6:
3 ,以 3 个中班女生换 3 个大班女生,每换一
组可增加 1 个男生,所以需要换 2 组;所以,大班女生有 18 - 3 ⨯ 2 = 12 (名).
【解析】假设四年级和六年级人数同样多,则参加植树的同学共有720 + 80 = 800 人,四、五、六三个年
级的人数比为 3:
2:
3 ,知道三个量的和及它们的比,就可以按比例分配,分别求出三个年级
32
3 + 2 + 33 + 2 + 3
300 - 80 = 220 人.
【解析】设圆珠笔的价格为 4,那么铅笔的价格为 3,则 20 支圆珠笔和 21 支铅笔的价格为 20×4+21
×3=143,则单位“1”的价格为 71.5÷143=0.5 元.所以圆珠笔的单价是 O .5×4=2(元).
【解析】两只蚂蚁在距 B 点 2 厘米的 C 点相遇,说明乙比甲一共多走了 2 ⨯ 2 = 4 (厘米).又知乙蚂蚁的
速度是甲蚂蚁的 1.2 倍,相同时间内乙蚂蚁爬的路程与甲蚂蚁爬的路程比为:
1.2:
1=6:
5,
所以甲爬的路程是4 ÷ (6 - 5)⨯ 5 = 20 ( 厘米 ) ,乙爬的路程是20 + 4 = 24 ( 厘米 ) ,长方形的周长为
20 + 24 = 44 (厘米).
【解析】甲、乙原来的速度比是 5∶4,相遇后的速度比是:
[5×(1-20%) ∶[4×(1+20%) =4∶
54
99
度和乙行的长度之比为5 :
6 ,其中相遇后甲行驶了全长的4/9,所以乙行驶了全长的
484844441
915915454545
为 450 千米.
11
9 15
傅与徒弟分别完成总量的 5 和 3 ,师傅和徒弟一共加工了 100 ÷ ( 5-3 ) = 400 个零件
5 + 35 + 35 + 35 + 3
11
9 15
以师傅与徒弟分别完成总量的
⎛ 5 3 ⎫
-
5 + 3 5 + 3 ⎝ 5 + 3 5 + 3 ⎭
个.
11
53
的 2 等于 B 桶水的 4 ,那么 A 桶水的全部等于B 桶水的 4 ÷ 2 = 6 , C 桶水为 B 桶水的
35535
67
+=
55555
65
6 + 5 + 76
升, C 桶的容积是 480 ⨯ 7 = 560 公升.
6
【解析】将六年级学生的
1 ,等于五年级学生的 2 ,等于四年级学生的 3 ,看作一个单位,那么六年
2 5 7
级学生人数等于 2 个单位,五年级学生等于 2.5 个单位,四年级学生等于 7 学生,所以六年
3
5
15 14
2 3
1215
12 + 15 + 1412 + 15 + 14
14
12 + 15 + 14
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