数值分析实验报告.docx
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数值分析实验报告.docx
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数值分析实验报告
实验报告
实验项目名称函数逼近与快速傅里叶变换
实 验 室 数学实验室
所属课程名称数值逼近
实验类型算法设计
实验日期
班级
学号
姓名
成绩
实验概述:
【实验目的及要求】
本次实验的目的是熟练《数值分析》第三章“函数逼近与快速傅里叶变换”的相关容,掌握切比雪夫多项式、勒让德多项式、n次曲线拟合以及快速傅里叶变换。
本次试验要求编写牛顿多项式插值,三次样条插值,拉格朗日插值的程序编码以及画图,并在MATLAB软件中去实现。
【实验原理】
《数值分析》第三章“函数逼近与快速傅里叶变换”的相关容,包括:
切比雪夫多项式、勒让德多项式、n次曲线拟合以及快速傅里叶变换的相应算法和相关性质。
【实验环境】(使用的软硬件)
软件:
MATLAB2012a
硬件:
电脑型号:
联想Lenovo昭阳E46A笔记本电脑
操作系统:
Windows8专业版
处理器:
Intel(R)Core(TM)i3CPUM350@2.27GHz2.27GHz
实验容:
【实验方案设计】
第一步,将书上关于切比雪夫多项式、勒让德多项式、n次曲线拟合以及快速傅里叶变换的容转化成程序语言,用MATLAB实现;第二步,分别用切比雪夫多项式、勒让德多项式、n次曲线拟合以及快速傅里叶变换求解不同的问题。
【实验过程】(实验步骤、记录、数据、分析)
实验的主要步骤是:
首先分析问题,根据分析设计MATLAB程序,利用程序算出问题答案,分析所得答案结果,再得出最后结论。
实验一:
编写程序实现[-1,1]上n阶切比雪夫多项式,并作画(n=0,1,…,10在一个figure中)。
要求:
输入Chebyshev(-1,1,n),输出如anxn+an-1xn-1+…多项式。
在MATLAB的Editor中建立一个M-文件,输入程序代码,实现切比雪夫多项式的程序代码如下:
functionPn=Chebyshev(n,x)
symsx;
ifn==0
Pn=1;
elseifn==1
Pn=x;
elsePn=expand(2*x*Chebyshev(n-1)-Chebyshev(n-2));
end
end
x=[-1:
0.01:
1];
A=sym2poly(Pn);
yn=polyval(A,x);
plot(x,yn);
holdon
end
end
在commandWindows中输入命令:
Chebyshev(10),得出的结果为:
Chebyshev(10)
ans=
512*x^10-1280*x^8+1120*x^6-400*x^4+50*x^2-1
并得到Figure,图像如下:
实验二:
编写程序实现[-1,1]上n阶勒让德多项式,并作画(n=0,1,…,10在一个figure中)。
要求:
输入Legendre(-1,1,n),输出如anxn+an-1xn-1+…多项式。
在MATLAB的Editor中建立一个M-文件,输入程序代码,实现勒让德多项式的程序代码如下:
functionPn=Legendre(n,x)
symsx;
ifn==0
Pn=1;
elseifn==1
Pn=x;
elsePn=expand((2*n-1)*x*Legendre(n-1)-(n-1)*Legendre(n-2))/(n);
end
x=[-1:
0.1:
1];
A=sym2poly(Pn);
yn=polyval(A,x);
plot(x,yn,'-o');
holdon
end
end
在commandWindows中输入命令:
Legendre(10),得出的结果为:
Legendre(10)
ans=
(46189*x^10)/256-(109395*x^8)/256+(45045*x^6)/128-(15015*x^4)/128+(3465*x^2)/256-63/256
并得到Figure,图像如下:
实验三:
利用切比雪夫零点做拉格朗日插值,并与以前拉格朗日插值结果比较。
在MATLAB的Editor中建立一个M-文件,输入程序代码,实现拉格朗日插值多项式的程序代码如下:
function[C,D]=lagr1(X,Y)
n=length(X);
D=zeros(n,n);
D(:
1)=Y';
forj=2:
n
fork=j:
n
D(k,j)=(D(k,j-1)-D(k-1,j-1))/(X(k)-X(k-j+1));
end
end
C=D(n,n);
fork=(n-1):
-1:
1
C=conv(C,poly(X(k)));
m=length(C);
C(m)=C(m)+D(k,k);
end
在commandWindows中输入如下命令:
clear,clf,holdon;
k=0:
10;
X=cos(((21-2*k)*pi)./22);%这是切比雪夫的零点
Y=1./(1+25*X.^2);
[C,D]=lagr1(X,Y);
x=-1:
0.01:
1;
y=polyval(C,x);
plot(x,y,X,Y,'.');
gridon;
xp=-1:
0.01:
1;
z=1./(1+25*xp.^2);
plot(xp,z,'r')
得到Figure,图像如下所示:
比较后发现,使用切比雪夫零点做拉格朗日插值不会发生龙格现象。
实验四:
对于给定函数
在区间
上取
,试求3次曲线拟合,试画出拟合曲线并打印出方程,与第2章计算实习题2的结果比较。
在MATLAB的Editor中输入程序代码,实现3次曲线拟合的程序代码如下:
x=[-1:
0.2:
1];
y=1./(1+25*x.^2);
p=polyfit(x,y,3);
yp=polyval(p,x);
plot(x,y,'o-',x,yp,'*-')
fp=poly2sym(p)
commandWindows中输出:
fp=
(63595*x)/52512-(3305*x^2)/5746-(2169*x^3)/4064+00613/40992
并得到Figure,图像如下:
第2章计算实习题2的结果如下:
牛顿插值多项式:
三次样条多项式:
比较下来可知:
三次样条的拟合效果最好,其次是牛顿插值多项式,最次是3次曲线拟合。
实验五:
由实验给出数据表
x
0.0
0.1
0.2
0.3
0.5
0.8
1.0
y
1.0
0.41
0.50
0.61
0.91
2.02
2.46
试求3次、4次多项式的曲线拟合,再根据数据曲线形状,求一个另外函数的拟合曲线,用图示数据曲线以及相应的三种拟合曲线。
在MATLAB的Editor中建立一个M-文件,输入程序代码,实现3次曲线拟合的程序代码如下:
x=[00.10.20.30.50.81];
y=[10.410.50.610.912.022.46];
p1=polyfit(x,y,3)
p2=polyfit(x,y,4)
y1=polyval(p1,x);
y2=polyval(p2,x);
plot(x,y,'g-',x,y1,'r-',x,y2,'b-')
holdon
p3=polyfit(x,y,2)%观察图形与抛物线接近,故采用2次曲线拟合
y3=polyval(p3,x);
plot(x,y3,'c-')
得到Figure,图像如下:
实验六:
使用快速傅里叶变换确定函数f(x)=x^2*cosx在[-π,π]上的16次三角插值多项式。
在MATLAB的Editor中建立一个M-文件,输入程序代码,实现3次曲线拟合的程序代码如下:
%三角插值多项式程序
function[an,bn,f]=fseries(fx,x,n,a,b)
ifnargin==3
a=-pi;
b=pi;
end
l=(b-a)/2;
ifa+b
fx=subs(fx,x,x+l+a);
end
an=int(fx,x,-l,l)/l;
bn=[];
f=an/2;
forii=1:
n
ann=int(fx*cos(ii*pi*x/l),x,-l,l)/l;
bnn=int(fx*sin(ii*pi*x/l),x,-l,l)/l;
an=[an,ann];
bn=[bn,bnn];
f=f+ann*cos(ii*pi*x/l)+bnn*sin(ii*pi*x/l);
end
ifa+b
f=subs(f,x,x-l-a);
end
在commandWindows中输入如下命令:
>>symsx;
fx=x^2*cos(x)
[an,bn,f]=fseries(fx,x,16,-pi,pi)
得到结果如下:
an=
[-4,pi^2/3+1/2,-20/9,5/8,-68/225,13/72,-148/1225,25/288,-260/3969,41/800,-404/9801,61/1800,-580/20449,85/3528,-788/38025,113/6272,-1028/65025]
bn=
[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0]
f=
(5*cos(3*x))/8-(20*cos(2*x))/9-(68*cos(4*x))/225+(13*cos(5*x))/72-(148*cos(6*x))/1225+(25*cos(7*x))/288-(260*cos(8*x))/3969+(41*cos(9*x))/800-(404*cos(10*x))/9801+(61*cos(11*x))/1800-(580*cos(12*x))/20449+(85*cos(13*x))/3528-(788*cos(14*x))/38025+(113*cos(15*x))/6272-(1028*cos(16*x))/65025+cos(x)*(pi^2/3+1/2)-2
【结论】(结果)
利用切比雪夫多项式零点进行高次多项式插值可避免龙格现象,可保证整个区间上收敛。
函数给定的一组可能不精确表示函数的数据时,我们通常考虑用最小二乘的曲线拟合。
数据若是呈周期性,则考虑用三角插值,用快速傅里叶进行计算。
【小结】
通过此次实验,我对切比雪夫多项式、勒让德多项式、n次曲线拟合以及快速傅里叶变换有了更进一步的了解。
切比雪夫和勒让德多项式都十分重要,尤其是切比雪夫多项式有重要应用,应该引起高度重视。
指导教师评语及成绩:
成绩:
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- 数值 分析 实验 报告