初二数学 第1讲 与三角形有关系的线段演练方阵教师版.docx
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初二数学 第1讲 与三角形有关系的线段演练方阵教师版.docx
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初二数学第1讲与三角形有关系的线段演练方阵教师版
演练方阵
与三角形有关的线段
三角形的相关概念
类型一三角形的分类
☞考点说明:
能够将三角形按照边或者角来进行分类,找到各个三角形的特征.
【易】1、设M表示直角三角形.N表示等腰三角形,P表示等边三角形,Q表示等腰直角三角形.则下列四个图中,能表示它们之同关系的是()
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】本题考查三角形的分类,直角三角形M与等腰三角形N之间有公共部分等腰直角三角形Q,等边三角形P是等腰三角形N的一个特例.
【易】2、三角形一个外角小于与它相邻的内角,这个三角形是().
A.直角三角形B.锐角三角形
C.钝角三角形D.不属于哪一类
【答案】C
【解析】三角形一个外角小于与它相邻的内角,则这个内角为钝角,故这个三角形是钝角三角形.
【易】3、三角形按边可分为().
A.等腰三角形,等边三角形
B.等边三角形,不等边三角形
C.等腰三角形,不等边三角形
D.以上都不对
【答案】C
【解析】三角形按边可分为等腰三角形,不等边三角形.
【中】4、已知△ABC的三边a,b,c满足(a−b)2+|b−c|=0,则△ABC是().
A.等腰三角形B.不等边三角形
C.等边三角形D.以上都不对
【答案】C
【解析】a=b=c.
【难】5、等腰三角形的两边长满足|a−4|+(b−9)2=0.求这个等腰三角形的周长.
【答案】22
【解析】∵|a−4|+(b−9)2=0,
又∵|a−4⩾0|,(b−9)2⩾0,
∴a−4=0,b−9=0,
∴a=4,b=9.
∵a、b为等腰三角形的两边长.
∴分两种情况讨论:
①当边长为4,4,9时,4+4<9,不满足三角形的三边关系,舍去.
②当边长为4,9,9时,符合三边关系.
周长4+9+9=22.
类型二三角形的稳定性
☞考点说明:
掌握具有稳定性的图形是三角形
【易】1、如图一扇窗户打开后,用窗钩BC可将其固定,这里运用的几何原理是_____________.
【答案】三角形具有稳定性
【解析】三角形具有稳定性
【易】2、要使右图的六边形框架形状稳定,至少需要添加对角线的条数是().
A.1B.2C.3D.4
【答案】C
【解析】由三角形的稳定性可知,至少需要添加的对角线的条数是3.
【中】3、要使四边形木架(四根木条钉成)不变形,至少要钉上几根木条?
五边形木架和六边形木架呢?
n边形木架呢?
【答案】四边形木架至少要钉上1根木条,五边形木架至少要钉上2根木条,六边形木架至少要钉上3根木条,n边形至少要钉上(n−3)根木条才能不变形.
【解析】如图所示:
四边形沿对角线钉上1根木条,使四边形变成两个三角形;
五边形沿对角线钉上2根木条,使五边形变成三个三角形;
六边形沿对角线钉上3根木条,使六边形变成四个三角形;
……
n边形沿对角线钉上(n−3)根木条,使n边形变成(n−2)个三角形.
三角形的中线、高线、角平分线
类型一三角形中线、高线的作图
☞考点说明:
对三角形中线、高线、角平分线的概念理解,能够准确作图.
【易】1、如图,在△ABC中,分别画出:
(1)AB边上的高CD.
(2)AC边上的高BE.
(3)BC上的中线AM.
【答案】
【解析】如图.
【易】2、某中学要在一块三角形花圃里种植两种不同的花草,同时拟从A点修建一条小路到边BC.
(1)若要使修建小路所用的材料最少,请在图1画出小路AD.
(2)若要使小路两侧种不同的花草面积相等,请在图2画出小路AE,其中E点满足的条件是__________.
【答案】
(1)
(2)
【解析】
(1)过A点作BC边上的高.
(2)过A点作BC边上的中线,点E是BC边的中点.
【中】3、如图,在△ABC中,∠A、∠B的平分线AF、BE交于点O,连接CO并延长交AB边于点D,则CD是△ABC的().
A.角平分线
B.中线
C.高
D.以上都不对
【答案】A
【解析】三角形的三条角平分线交于其内心.
类型二利用三角形的中线、高线、角平分线求角度
☞考点说明:
此类题型会结合三角形的角的相关内容,要掌握边和角的关系.
【易】1、如图,在△ABC中,AD,AE分别是三角形的高和角平分线,其中∠B=45∘,∠C=65∘,求∠AED和∠EAD的度数.
A.∠BAE=35∘,∠EAD=10∘
B.∠BAE=30∘,∠EAD=10∘
C.∠BAE=35∘,∠EAD=15∘
D.∠BAE=30∘,∠EAD=15∘
【答案】A
【解析】∵∠B=45∘,∠C=65∘,
∴∠BAC=70∘,
又AE是三角形的角平分线,
∴∠BAE=35∘,
∴∠AED=∠BAE+∠B=80∘,
又AD是三角形的高,
∴∠EAD=10∘.
【易】2、如图,在△ABC中,已知∠BAC=50∘,∠C=60∘,AD是高,BE是∠ABC的平分线,AD,BE交于点F,则∠BEC=________.
【答案】85∘
【解析】∵∠BAC=50∘,∠C=60∘,∠BAC+∠C+∠ABC=180∘,
∴∠ABC=180∘−50∘−60∘=70∘.
∵BE是∠ABC的平分线,
∴∠ABE=
∠ABC=35∘.
∵∠BEC是△ABE的一个外角,
∴∠BEC=∠BAE+∠ABE=∠BAC+∠ABE=50∘+35∘=85∘
【中】3、△ABC中,∠C=40∘,两条高AD、BE所在直线交于点O,则∠AOB=_________.
【答案】40∘或140∘
【解析】如图1,易得∠AOB=∠C=40∘;
如图2,易得∠AOB+∠C=180∘,∴∠AOB=140∘.
【难】4、如图,已知∠C=45∘,∠B=45∘+2α,∠BAC=45∘+3α,AE平分∠BAD,则∠CAE=______.
【答案】126∘
【解析】∵∠BAC+∠B+∠C=3×45∘+5α=180∘,
∴α=9∘,∠BAC=72∘.
∴∠DAB=180∘−∠BAC=108∘.
∵AE平分∠BAD,
∴∠BAE=
∠BAD=54∘,
∴∠CAE=∠BAC+∠BAE=72∘+54∘=126∘.
类型三利用三角形的中线、高线、角平分线求线段长及面积
☞考点说明:
此类题型结合三角形的重要线段的性质来解决线段长以及面积问题.
【易】1、如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线,BE是△ABD中AD边上的中线,△ABC的面积是24,则△ABE的面积是_________.
【答案】6
【解析】∵AD是BC边上的中线,△ABC的面积是24,
∴S△ABD=12S△ABC=12.
∵BE是△ABD中AD边上的中线,
∴S△ABE=12S△ABD=12×12=6.
【易】2、如图,在△ABC中,E、F分别是AD、CE边的中点,且S△BEF=3cm2,则S△ABC为().
A.12cm2B.10cm2C.8cm2D.6cm2
【答案】A
【解析】∵F为CE中点,
∴S△BEF=S△BFC=3,
又∵E为AD中点,
∴S△AEB=S△BDE,S△AEC=S△DEC,
又∵S△BEC=S△BDE+S△DEC=6.
故答案为A.
【易】3、如图,直角三角形ACB中,CD是斜边AB上的中线,若AC=8cm,BC=6cm,那么△ACD与△BCD的周长差为______cm,S△ADC=_______cm2.
【答案】1.2
2.12
【解析】过C作CE⊥AB于E,
∵D是斜边AB的中点,
∴AD=DB=
AB,
∵AC=8cm,BC=6cm,
∴△ACD与△BCD的周长差是(AC+CD+AD)−(BC+BD+CD)=AC−BC=8cm−6cm=2cm.
S△ABC=
AC×BC=12×8×6=24cm,
S△ADC=
S△ABC=12cm2
【易】4、如图,在△ABC中,AB=13,AC=10,AD为中线,则△ABD与△ACD的周长之差为_______.
【答案】3
【解析】∵AD为中线,
∴BD=CD,
∴△ABD与△ACD的周长之差为(AB+BD+AD)−(AC+CD+AD)=AB−AC=3.
三角形的三边关系
类型一三角形三边关系的概念
☞考点说明:
判断任意3条线段能否构成三角形,或是已知三角形两条边求另一条边的取值范围或者周长的取值范围,要能够熟练掌握三角形三边关系的概念以及简单应用.
【易】1、已知一个等腰三角形有两边的长分别为2和5,则它的周长为().
A.7B.9
C.12D.9或12
【答案】C
【解析】由题意可得,另一边的长为5而不能为2,否则不能构成三角形,故周长为12.
【易】2、两根木棒的长分别是7cm和10cm,要选择第三根木棒,将它们钉成一个三角形,若第三根木棒的长是acm,则a的取值范围是___________.
【答案】3 【解析】根据三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边可得. 【易】3、如图所示,为估计池塘岸边A、B两点的距离,小方在池塘的一侧选取一点O,测得OA=15米,OB=10米,A、B间的距离不可能是(). A.5米B.10米C.15米D.20米 【答案】A 【解析】由三角形三边关系知OA−OB 【中】4、已知三角形两边长为2cm和7cm,求它的周长的取值范围. 【答案】14<周长<18. 【解析】设第三边长为xcm, 周长=2+7+x=9+x. 由三边关系得7−2 所以9+5<周长<9+9, 所以14<周长<18. 【中】5、已知三角形中两边长为2和7,若第三边长为奇数,则这个三角形的周长为________. 【答案】16 【解析】第三边长的取值范围是5 【中】6、有四条线段的长分别为5cm,6cm,8cm,13cm,以其中任意三条线段为边可构成______个三角形. 【答案】2 【解析】5、6、8,6、8、13可以构成三角形. 【难】7.已知三角形中两边长为2和7, (1)若第三边长为奇数,则这个三角形的周长为_______. (2)若这个三角形的周长为奇数,则第三边长为________. 【答案】 (1)16 (2)6或8 【解析】 (1)第三边长x的取值范围是5 (2)由周长x+9为奇数,可知x为偶数,所以第三边的长为6或8. 类型二利用三角形三边关系化简 ☞考点说明: 利用三角形的三边关系,解决方程和方程组或者含有绝对值的式子,化简求值. 【易】1、周长为整数的三角形三边长分别为3、4、x,且x满足不等式,这样的三角形有__________个. 【答案】3 【解析】根据方程组解得3 【中】2、a、b、c为三角形的三边长,化简|a−b−c|+|b−c−a|+|c−a−b|,若此三角形周长为11,求上面式子的值. 【答案】11 【解析】∵三角形任意两边之和大于第三边, ∴a−b−c<0,b−c−a<0,c−a−b<0, ∴原式=−(a−b−c)−(b−c−a)−(c−a−b)=a+b+c=11. 【中】3、a、b、c为三角形的三边长,化简|a+b+c|−|a−b−c|−|a−b+c|−|a+b−c|. 【答案】0 【解析】根据两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,a+b>c,a-b 【中】4、设a,b,c是三角形三边的长. (1)三角形1: a=2,b=3,c=4.比较大小: c−b____a____c+b. (2)三角形2: a=5,b=9,c=10.比较大小: b−a____c____b+a. (3)三角形3: a=6,b=7,c=4.比较大小: a−c____b____a+c. (4)通过比较大小,你能得出三角形三边存在的关系吗? 请用一句话概括为____________________________________. (5)已知三角形的两条边长分别是5和8,求第三边长x的取值范围. 【答案】 (1)1.<2.< (2)1.<2.<(3)1.<2.< (4)三角形的两边之差小于第三边,两边之和大于第三边 (5)3 【解析】 (1)c−b (2)b−a (3)a−c (4)三角形的两边之差小于第三边,两边之和大于第三边 (5)8−5 【中】5、如图,四边形ABCD中,AB=3,BC=4,CD=9,AD=a,则a的取值范围().
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