正弦余弦换算公式弦值换算公式.docx

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正弦余弦换算公式弦值换算公式

三角函数诱导公式经常使用的诱导公式有以下几组：

之马矢奏春创作

时间：

二O二一年七月二十九日

公式一：

设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等：

sin（2kπ＋α）＝sinα

cos（2kπ＋α）＝cosα

tan（2kπ＋α）＝tanα

cot（2kπ＋α）＝cotα

公式二：

设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：

sin（π＋α）＝－sinα

cos（π＋α）＝－cosα

tan（π＋α）＝tanα

cot（π＋α）＝cotα

公式三：

任意角α与-α的三角函数值之间的关系：

sin（－α）＝－sinα

cos（－α）＝cosα

tan（－α）＝－tanα

cot（－α）＝－cotα

公式四：

利用公式二和公式三可以获得π-α与α的三角函数值之间的关系：

sin（π－α）＝sinα

cos（π－α）＝－cosα

tan（π－α）＝－tanα

cot（π－α）＝－cotα

公式五：

利用公式一和公式三可以获得2π-α与α的三角函数值之间的关系：

sin（2π－α）＝－sinα

cos（2π－α）＝cosα

tan（2π－α）＝－tanα

cot（2π－α）＝－cotα

公式六：

π/2±α与α的三角函数值之间的关系：

sin（π/2＋α）＝cosα

cos（π/2＋α）＝－sinα

tan（π/2＋α）＝－cotα

cot（π/2＋α）＝－tanα

sin（π/2－α）＝cosα

cos（π/2－α）＝sinα

tan（π/2－α）＝cotα

cot（π/2－α）＝tanα

诱导公式记忆口诀

※规律总结※

上面这些诱导公式可以概括为：

对k·π/2±α（k∈Z）的个三角函数值,

①当k是偶数时,获得α的同名函数值,即函数名不改变；

②当k是奇数时,获得α相应的余函数值,即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan.

（奇变偶不变）

然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号.

（符号看象限）

例如：

sin（2π－α）＝sin（4·π/2－α）,k＝4为偶数,所以取sinα.

当α是锐角时,2π－α∈（270°,360°）,sin（2π－α）＜0,符号为“－”.

所以sin（2π－α）＝－sinα

上述的记忆口诀是：

奇变偶不变,符号看象限.

公式右边的符号为把α视为锐角时,角k·360°+α（k∈Z）,-α、180°±α,360°-α

所在象限的原三角函数值的符号可记忆

水平诱导名不变；符号看象限.

各种三角函数在四个象限的符号如何判断,也可以记住口诀“一全正；二正弦；三为切；四余弦”．

这十二字口诀的意思就是说：

第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“＋”；

第二象限内只有正弦是“＋”,其余全部是“－”；

第三象限内只有正切是“＋”,其余全部是“－”；

第四象限内只有余弦是“＋”,其余全部是“－”．

上述记忆口诀,一全正,二正弦,三正切,四余弦

1.诱导公式

sin（-a）=-sin（a）

cos（-a）=cos（a）

sin（2π-a）=cos（a）

cos（2π-a）=sin（a）

sin（2π+a）=cos（a）

cos（2π+a）=-sin（a）

sin（π-a）=sin（a）

cos（π-a）=-cos（a）

sin（π+a）=-sin（a）

cos（π+a）=-cos（a）

tgA=tanA=sinAcosA

2.两角和与差的三角函数

sin（a+b）=sin（a）cos（b）+cos（α）sin（b）

cos（a+b）=cos（a）cos（b）-sin（a）sin（b）

sin（a-b）=sin（a）cos（b）-cos（a）sin（b）

cos（a-b）=cos（a）cos（b）+sin（a）sin（b）

tan（a+b）=tan（a）+tan（b）1-tan（a）tan（b）

tan（a-b）=tan（a）-tan（b）1+tan（a）tan（b）

3.和差化积公式

sin（a）+sin（b）=2sin（a+b2）cos（a-b2）

sin（a）−sin（b）=2cos（a+b2）sin（a-b2）

cos（a）+cos（b）=2cos（a+b2）cos（a-b2）

cos（a）-cos（b）=-2sin（a+b2）sin（a-b2）

4.积化和差公式（上面公式反过来就获得了）

sin（a）sin（b）=-12⋅[cos（a+b）-cos（a-b）]

cos（a）cos（b）=12⋅[cos（a+b）+cos（a-b）]

sin（a）cos（b）=12⋅[sin（a+b）+sin（a-b）]

5.二倍角公式

sin（2a）=2sin（a）cos（a）

cos（2a）=cos2（a）-sin2（a）=2cos2（a）-1=1-2sin2（a）

6.半角公式

sin2（a2）=1-cos（a）2

cos2（a2）=1+cos（a）2

tan（a2）=1-cos（a）sin（a）=sina1+cos（a）

7.万能公式

sin（a）=2tan（a2）1+tan2（a2）

cos（a）=1-tan2（a2）1+tan2（a2）

tan（a）=2tan（a2）1-tan2（a2）

8.其它公式（推导出来的）

a⋅sin（a）+b⋅cos（a）=a2+b2sin（a+c）其中tan（c）=ba

a⋅sin（a）-b⋅cos（a）=a2+b2cos（a-c）其中tan（c）=ab

1+sin（a）=（sin（a2）+cos（a2））2

1-sin（a）=（sin（a2）-cos（a2））2

csc（a）=1sin（a）

sec（a）=1cos（a）

经常使用的诱导公式有以下几组：

公式一：

设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等：

sin（2kπ＋α）＝sinα

cos（2kπ＋α）＝cosα

tan（2kπ＋α）＝tanα

cot（2kπ＋α）＝cotα

公式二：

设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：

sin（π＋α）＝－sinα

cos（π＋α）＝－cosα

tan（π＋α）＝tanα

cot（π＋α）＝cotα

公式三：

任意角α与-α的三角函数值之间的关系：

sin（－α）＝－sinα

cos（－α）＝cosα

tan（－α）＝－tanα

cot（－α）＝－cotα

公式四：

利用公式二和公式三可以获得π-α与α的三角函数值之间的关系：

sin（π－α）＝sinα

cos（π－α）＝－cosα

tan（π－α）＝－tanα

cot（π－α）＝－cotα

公式五：

利用公式一和公式三可以获得2π-α与α的三角函数值之间的关系：

sin（2π－α）＝－sinα

cos（2π－α）＝cosα

tan（2π－α）＝－tanα

cot（2π－α）＝－cotα

公式六：

π/2±α与α的三角函数值之间的关系：

sin（π/2＋α）＝cosα

cos（π/2＋α）＝－sinα

tan（π/2＋α）＝－cotα

cot（π/2＋α）＝－tanα

sin（π/2－α）＝cosα

cos（π/2－α）＝sinα

tan（π/2－α）＝cotα

cot（π/2－α）＝tanα

诱导公式记忆口诀

※规律总结※

上面这些诱导公式可以概括为：

对k·π/2±α（k∈Z）的个三角函数值,

①当k是偶数时,获得α的同名函数值,即函数名不改变；

②当k是奇数时,获得α相应的余函数值,即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan.

（奇变偶不变）

然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号.

（符号看象限）

例如：

sin（2π－α）＝sin（4·π/2－α）,k＝4为偶数,所以取sinα.

当α是锐角时,2π－α∈（270°,360°）,sin（2π－α）＜0,符号为“－”.

所以sin（2π－α）＝－sinα

上述的记忆口诀是：

奇变偶不变,符号看象限.

公式右边的符号为把α视为锐角时,角k·360°+α（k∈Z）,-α、180°±α,360°-α

所在象限的原三角函数值的符号可记忆

水平诱导名不变；符号看象限.

各种三角函数在四个象限的符号如何判断,也可以记住口诀“一全正；二正弦；三为切；四余弦”．

这十二字口诀的意思就是说：

第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“＋”；

第二象限内只有正弦是“＋”,其余全部是“－”；

第三象限内只有正切是“＋”,其余全部是“－”；

第四象限内只有余弦是“＋”,其余全部是“－”．

上述记忆口诀,一全正,二正弦,三正切,四余弦

其他三角函数知识：

同角三角函数基本关系

⒈同角三角函数的基本关系式

倒数关系:

tanα·cotα＝1

sinα·cscα＝1

cosα·secα＝1

商的关系：

sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα

cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα

平方关系：

sin^2（α）＋cos^2（α）＝1

1＋tan^2（α）＝sec^2（α）

1＋cot^2（α）＝csc^2（α）

同角三角函数关系六角形记忆法

六角形记忆法：

（参看图片或参考资料链接）

构造以"上弦、中切、下割；左正、右余、中间1"的正六边形为模型.

（1）倒数关系：

对角线上两个函数互为倒数；

（2）商数关系：

六边形任意一极点上的函数值即是与它相邻的两个极点上函数值的乘积.

（主要是两条虚线两真个三角函数值的乘积）.由此,可得商数关系式.

（3）平方关系：

在带有阴影线的三角形中,上面两个极点上的三角函数值的平方和即是下面极点上的三角函数值的平方.

两角和差公式

⒉两角和与差的三角函数公式

sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ

sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ

cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ

cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ

tanα＋tanβ

tan（α＋β）＝——————

1－tanα·tanβ

tanα－tanβ

tan（α－β）＝——————

1＋tanα·tanβ

倍角公式

⒊二倍角的正弦、余弦和正切公式（升幂缩角公式）

sin2α＝2sinαcosα

cos2α＝cos^2（α）－sin^2（α）＝2cos^2（α）－1＝1－2sin^2（α）

2tanα

tan2α＝—————

1－tan^2（α）

半角公式

⒋半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）

1－cosα

sin^2（α/2）＝—————

2

1＋cosα

cos^2（α/2）＝—————

2

1－cosα

tan^2（α/2）＝—————

1＋cosα

万能公式

⒌万能公式

2tan（α/2）

sinα＝——————

1＋tan^2（α/2）

1－tan^2（α/2）

cosα＝——————

1＋tan^2（α/2）

2tan（α/2）

tanα＝——————

1－tan^2（α/2）

万能公式推导

附推导：

sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/（cos^2（α）+sin^2（α））......*,

（因为cos^2（α）+sin^2（α）=1）

再把*分式上下同除cos^2（α）,可得sin2α＝2tanα/（1＋tan^2（α））

然后用α/2取代α即可.

同理可推导余弦的万能公式.正切的万能公式可通过正弦比余弦获得.

三倍角公式

⒍三倍角的正弦、余弦和正切公式

sin3α＝3sinα－4sin^3（α）

cos3α＝4cos^3（α）－3cosα

3tanα－tan^3（α）

tan3α＝——————

1－3tan^2（α）

三倍角公式推导

附推导：

tan3α＝sin3α/cos3α

＝（sin2αcosα＋cos2αsinα）/（cos2αcosα-sin2αsinα）

＝（2sinαcos^2（α）＋cos^2（α）sinα－sin^3（α））/（cos^3（α）－cosαsin^2（α）－2sin^2（α）cosα）

上下同除以cos^3（α）,得：

tan3α＝（3tanα－tan^3（α））/（1-3tan^2（α））

sin3α＝sin（2α＋α）＝sin2αcosα＋cos2αsinα

＝2sinαcos^2（α）＋（1－2sin^2（α））sinα

＝2sinα－2sin^3（α）＋sinα－2sin^2（α）

＝3sinα－4sin^3（α）

cos3α＝cos（2α＋α）＝cos2αcosα－sin2αsinα

＝（2cos^2（α）－1）cosα－2cosαsin^2（α）

＝2cos^3（α）－cosα＋（2cosα－2cos^3（α））

＝4cos^3（α）－3cosα

即

sin3α＝3sinα－4sin^3（α）

cos3α＝4cos^3（α）－3cosα

三倍角公式联想记忆

记忆方法：

谐音、联想

正弦三倍角：

3元减4元3角（欠债了（被减成负数）,所以要“挣钱”（音似“正弦”））

余弦三倍角：

4元3角减3元（减完之后还有“余”）

☆☆注意函数名,即正弦的三倍角都用正弦暗示,余弦的三倍角都用余弦暗示.

和差化积公式

⒎三角函数的和差化积公式

α＋βα－β

sinα＋sinβ＝2sin—----·cos—---

22

α＋βα－β

sinα－sinβ＝2cos—----·sin—----

22

α＋βα－β

cosα＋cosβ＝2cos—-----·cos—-----

22

α＋βα－β

cosα－cosβ＝－2sin—-----·sin—-----

22

积化和差公式

⒏三角函数的积化和差公式

sinα·cosβ＝0.5[sin（α＋β）＋sin（α－β）]

cosα·sinβ＝0.5[sin（α＋β）－sin（α－β）]

cosα·cosβ＝0.5[cos（α＋β）＋cos（α－β）]

sinα·sinβ＝－0.5[cos（α＋β）－cos（α－β）]

和差化积公式推导

附推导：

首先,我们知道sin（a+b）=sina*cosb+cosa*sinb,sin（a-b）=sina*cosb-cosa*sinb

我们把两式相加就获得sin（a+b）+sin（a-b）=2sina*cosb

所以,sina*cosb=（sin（a+b）+sin（a-b））/2

同理,若把两式相减,就获得cosa*sinb=（sin（a+b）-sin（a-b））/2

同样的,我们还知道cos（a+b）=cosa*cosb-sina*sinb,cos（a-b）=cosa*cosb+sina*sinb

所以,把两式相加,我们就可以获得cos（a+b）+cos（a-b）=2cosa*cosb

所以我们就获得,cosa*cosb=（cos（a+b）+cos（a-b））/2

同理,两式相减我们就获得sina*sinb=-（cos（a+b）-cos（a-b））/2

这样,我们就获得了积化和差的四个公式:

sina*cosb=（sin（a+b）+sin（a-b））/2

cosa*sinb=（sin（a+b）-sin（a-b））/2

cosa*cosb=（cos（a+b）+cos（a-b））/2

sina*sinb=-（cos（a+b）-cos（a-b））/2

好,有了积化和差的四个公式以后,我们只需一个变形,就可以获得和差化积的四个公式.

我们把上述四个公式中的a+b设为x,a-b设为y,那么a=（x+y）/2,b=（x-y）/2

把a,b分别用x,y暗示就可以获得和差化积的四个公式:

sinx+siny=2sin（（x+y）/2）*cos（（x-y）/2）

sinx-siny=2cos（（x+y）/2）*sin（（x-y）/2）

cosx+cosy=2cos（（x+y）/2）*cos（（x-y）/2）

cosx-cosy=-2sin（（x+y）/2）*sin（（x-y）/2）

时间：

二O二一年七月二十九日