南通泰州市届高三年级第一次模拟考试数学试题及答案.docx
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南通泰州市届高三年级第一次模拟考试数学试题及答案
南通泰州市2018届高三年级第一次模拟考试
数学
(满分160分,考试时间120分钟)
参考公式:
柱体的体积公式:
V柱体=Sh,其中S为柱体的底面积,h为高.
一、填空题:
本大题共14小题,每小题5分,共计70分.
1.已知集合A={-1,0,a},B={0,
}.若B⊆A,则实数a的值为________.
2.已知复数z=
,其中i为虚数单位,则复数z的实部为________.
3.已知某校高一、高二、高三的学生人数分别为400,400,500.为了解该校学生的身高情况,现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为65的样本,则应从高三年级抽取________名学生.
4.根据如图所示的伪代码,可知输出的结果S为________.
5.若某同学欲从数学建模、航模制作、程序设计和机器人制作4个社团中随机选择2个,则数学建模社团被选中的概率为________.
6.若实数x,y满足
则2x—y的最大值为________.
7.在平面直角坐标系xOy中,已知点F为抛物线y2=8x的焦点,则点F到双曲线
-
=1的渐近线的距离为________.
8.在各项均为正数的等比数列{an}中,若a2=1,a8=a6+6a4,则a3的值为________.
9.在平面直角坐标系xOy中,将函数y=sin
的图象向右平移φ
个单位长度,若平移后得到的图象经过坐标原点,则φ的值为________.
10.若曲线y=xlnx在x=1与x=t处的切线互相垂直,则正数t的值为________.
11.如图,铜质六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的.已知正六棱柱的底面边长、高都为4cm,圆柱的底面积为9
cm2.若将该螺帽熔化后铸成一个高为6cm的正三棱柱零件,则该正三棱柱的底面边长为________cm.(不计损耗)
(第11题) (第12题)
12.如图,已知矩形ABCD的边长AB=2,AD=1.点P,Q分别在边BC,CD上,且∠PAQ=45°,则
·
的最小值为________.
13.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-4,0),B(0,4),从直线AB上一点P向圆x2+y2=4引两条切线PC,PD,切点分别为C,D.设线段CD的中点为M,则线段AM的长度的最大值为________.
14.已知函数f(x)=
g(x)=x2+1-2a.若函数y=f(g(x))有4个零点,则实数a的取值范围是________________.
二、解答题:
本大题共6小题,共计90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分14分)
如图,在三棱锥PABC中,AB⊥PC,CA=CB,M是AB的中点.点N在棱PC上,D是BN的中点.
求证:
(1)MD∥平面PAC;
(2)平面ABN⊥平面PMC.
16.(本小题满分14分)
在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且a2=b2+c2-bc,a=
b.
(1)求sinB的值;
(2)求cos
的值.
17.(本小题满分14分)
如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆
+
=1(a>b>0)的离心率为
,两条准线之间的距离为4
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)已知椭圆的左顶点为A,点M在圆x2+y2=
上,直线AM与椭圆相交于另一点B,且△AOB的面积是△AOM的面积的2倍,求直线AB的方程.
18.(本小题满分16分)
如图,某小区中央广场由两部分组成,一部分是边长为80m的正方形ABCD,另一部分是以AD为直径的半圆,其圆心为O.规划修建的3条直道AD,PB,PC将广场分割为6个区域:
Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ为绿化区域(图中阴影部分),Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ为休闲区域,其中点P在半圆弧上,AD分别与PB,PC相交于点E,F.(道路宽度忽略不计)
(1)若PB经过圆心,求点P到AD的距离:
(2)设∠POD=θ,θ∈
.
①试用θ表示EF的长度;
②当sinθ为何值时,绿化区域面积之和最大.
19.(本小题满分16分)
已知函数g(x)=x3+ax2+bx(a,b∈R)有极值,且函数f(x)=(x+a)ex的极值点是g(x)的极值点,其中e是自然对数的底数.(极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值)
(1)求b关于a的函数关系式;
(2)当a>0时,若函数F(x)=f(x)-g(x)的最小值为M(a),证明:
M(a)<-
.
20.(本小题满分16分)
若数列{an}同时满足:
①对于任意的正整数n,an+1≥an恒成立;②若对于给定的正整数k,an-k+an+k=2an对于任意的正整数n(n>k)恒成立,则称数列{an}是“R(k)数列”.
(1)已知an=
判断数列{an}是否为“R
(2)数列”,并说明理由;
(2)已知数列{bn}是“R(3)数列”,且存在整数p(p>1),使得b3p-3,b3p-1,b3p+1,b3p+3成等差数列,证明:
{bn}是等差数列.
2018届高三年级第一次模拟考试(四)
数学附加题
(本部分满分40分,考试时间30分钟)
21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两小题,并作答.若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A.[选修41:
几何证明选讲](本小题满分10分)
如图,已知⊙O1的半径为2,⊙O2的半径为1,两圆外切于点T.点P为⊙O1上一点,PM与⊙O2切于点M.若PM=
,求PT的长.
B.[选修42:
矩阵与变换](本小题满分10分)
已知x∈R,向量
是矩阵A=
的属于特征值λ的一个特征向量,求λ与A-1.
C.[选修44:
坐标系与参数方程](本小题满分10分)
在平面直角坐标系xOy中,直线y=x与曲线
(t为参数)相交于A,B两点,求线段AB的长.
D.[选修45:
不等式选讲](本小题满分10分)
已知a>1,b>1,求
+
的最小值.
【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
22.(本小题满分10分)
如图,在四棱锥PABCD中,AP,AB,AD两两垂直,BC∥AD,且AP=AB=AD=4,BC=2.
(1)求二面角PCDA的余弦值;
(2)已知点H为线段PC上异于C的点,且DC=DH,求
的值.
23.(本小题满分10分)
(1)用数学归纳法证明:
当n∈N*时,cosx+cos2x+cos3x+…+cosnx=
-
(x∈R,且x≠2kπ,k∈Z);
(2)求sin
+2sin
+3sin
+4sin
+…+2018sin
的值.
数学参考答案
1.1 2.-32 3.25 4.10 5.12 6.5 7.65
8.3 9.π6 10.e-2 11.210 12.42-4
13.32 14.5-12,1∪(1,+∞)
15.解析:
(1)在△ABN中,M是AB的中点,
D是BN的中点,
所以MD∥AN.(3分)
因为AN⊂平面PAC,MD⊄平面PAC,
所以MD∥平面PAC.(6分)
(2)在△ABC中,CA=CB,M是AB的中点,
所以AB⊥MC.(8分)
因为AB⊥PC,PC⊂平面PMC,MC⊂平面PMC,PC∩MC=C,
所以AB⊥平面PMC.(11分)
因为AB⊂平面ABN,
所以平面ABN⊥平面PMC.(14分)
16.解析:
(1)在△ABC中,根据余弦定理及a2=b2+c2-bc得,cosA=b2+c2-a22bc=12.
因为A∈(0,π),所以A=π3.(3分)
在△ABC中,由正弦定理asinA=bsinB得
sinB=basinA=215×32=55.(6分)
(2)因为a=152b>b,
所以A>B,即0
又sinB=55,所以cosB=1-sin2B=255.(9分)
在△ABC中,A+B+C=π,
所以cosC+π12=cosπ-A-B+π12
=-cosB+π4(12分)
=-cosBcosπ4-sinBsinπ4
=-255×22-55×22=-1010.(14分)
17.解析:
(1)设椭圆的焦距为2c,由题意得ca=22,2a2c=42,(2分)
解得a=2,c=2,所以b=2.
所以椭圆的方程为x24+y22=1.(4分)
(2)方法一:
因为S△AOB=2S△AOM,
所以AB=2AM,
所以M为AB的中点.(6分)
因为椭圆的方程为x24+y22=1,
所以A(-2,0).
设M(x0,y0),则B(2x0+2,2y0).
所以x20+y20=89, ①
(2x0+2)24+(2y0)22=1,②(10分)
由①②得9x20-18x0-16=0,
解得x0=-23,x0=83(舍去).
把x0=-23代入①,得y0=±23,(12分)
所以kAB=±12,
因此,直线AB的方程为y=±12(x+2),
即x+2y+2=0或x-2y+2=0.(14分)
方法二:
因为S△AOB=2S△AOM,所以AB=2AM,
所以M为AB的中点.(6分)
设直线AB的方程为y=k(x+2).
由x24+y22=1,y=k(x+2)得(1+2k2)x2+8k2x+8k2-4=0,
所以(x+2)[(1+2k2)x+4k2-2]=0,
解得xB=2-4k21+2k2.(8分)
所以xM=xB+(-2)2=-4k21+2k2,yM=k(xM+2)=2k1+2k2,(10分)
代入x2+y2=89得,
-4k21+2k22+2k1+2k22=89,
化简得28k4+k2-2=0,(12分)
即(7k2+2)(4k2-1)=0,解得k=±12,
所以直线AB的方程为y=±12(x+2),
即x+2y+2=0或x-2y+2=0.(14分)
18.解析:
以AD所在直线为x轴,以线段AD的中垂线为y轴建立平面直角坐标系.
(1)直线PB的方程为y=2x,
半圆O的方程为x2+y2=402(y≥0),(2分)
由y=2x,x2+y2=402,y≥0得y=165.
所以点P到AD的距离为165m.(4分)
(2)①由题意得P(40cosθ,40sinθ).
直线PB的方程为
y+80=sinθ+2cosθ+1(x+40),令y=0,得
xE=80cosθ+80sinθ+2-40=80cosθ-40sinθsinθ+2.(6分)
直线PC的方程为y+80=sinθ+2cosθ-1(x-40),
令y=0,得xF=80cosθ-80sinθ+2+40=80cosθ+40sinθsinθ+2,(8分)
所以EF的长度为
f(θ)=xF-xE=80sinθsinθ+2,θ∈0,π2.(10分)
②区域Ⅳ、Ⅵ的面积之和为
S1=12×80-80sinθsinθ+2×80=6400sinθ+2,
区域Ⅱ的面积为
S2=12×EF×40sinθ=12×80sinθsinθ+2×
40sinθ=1600sin2θsinθ+2,
所以S1+S2=1600sin2θ+6400sinθ+20<θ<π2.(3分)
设sinθ+2=t,则2 则S1+S2=1600(t-2)2+6400t =1600t+8t-4≥1600(28-4)=6400(2-1), 当且仅当t=22,即sinθ=22-2时等号成立. 所以休闲区域Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ的面积S1+S2的最小值为6400(2-1)m2. 故当sinθ=22-2时,绿化区域Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ的面积之和最大.(16分) 19.解析: (1)因为f′(x)=ex+(x+a)ex=(x+a+1)ex.令f′(x)=0,解得x=-a-1. f(x),f′(x)随x的变化列表如下: 所以当x=-a-1时,f(x)取得极小值.(2分) 因为g′(x)=3x2+2ax+b,由题意可知 g′(-a-1)=0,且Δ=4a2-12b>0, 所以3(-a-1)2+2a(-a-1)+b=0, 化简得b=-a2-4a-3.(4分) 由Δ=4a2-12b=4a2+12(a+1)(a+3)>0得a≠-32, 所以b=-a2-4a-3a≠-32.(6分) (2)因为F(x)=f(x)-g(x)=(x+a)ex-(x3+ax2+bx), 所以F′(x)=f′(x)-g′(x)=(x+a+1)ex-[3x2+2ax-(a+1)(a+3)] =(x+a+1)ex-(x+a+1)(3x-a-3) =(x+a+1)(ex-3x+a+3).(8分) 记h(x)=ex-3x+a+3,则h′(x)=ex-3, 令h′(x)=0,解得x=ln3. h(x),h′(x)随x的变化列表如下: 所以当x=ln3时,h(x)取得极小值,也是最小值, 此时h(ln3)=eln3-3ln3+a+3=6-3ln3+a =3(2-ln3)+a=3lne23+a>a>0.(10分) 令F′(x)=0,解得x=-a-1. F(x),F′(x)随x的变化列表如下: 所以当x=-a-1时,F(x)取得极小值,也是最小值, 所以M(a)=F(-a-1)=(-a-1+a)e-a-1-[(-a-1)3+a(-a-1)2+b(-a-1)] =-e-a-1-(a+1)2(a+2).(12分) 令t=-a-1,则t<-1, 记m(t)=-et-t2(1-t)=-et+t3-t2,t<-1, 则m′(t)=-et+3t2-2t,t<-1. 因为-e-1<-et<0,3t2-2t>5, 所以m′(t)>0,所以m(t)单调递增.(14分) 所以m(t)<-e-t-2<-13-2=-73, 所以M(a)<-73.(16分) 20.解析: (1)当n为奇数时,an+1-an=2(n+1)-1-(2n-1)=2>0,所以an+1≥an.(2分) an-2+an+2=2(n-2)-1+2(n+2)-1=2(2n-1)=2an;(4分) 当n为偶数时,an+1-an=2(n+1)-2n=2>0,所以an+1≥an. an-2+an+2=2(n-2)+2(n+2)=4n=2an. 所以数列{an}是“R (2)数列”.(6分) (2)由题意可得bn-3+bn+3=2bn, 则数列b1,b4,b7,…是等差数列,设其公差为d1, 数列b2,b5,b8,…是等差数列,设其公差为d2, 数列b3,b6,b9,…是等差数列,设其公差为d3.(8分) 因为bn≤bn+1,所以b3n+1≤b3n+2≤b3n+4, 所以b1+nd1≤b2+nd2≤b1+(n+1)d1, 所以n(d2-d1)≥b1-b2,① n(d2-d1)≤b1-b2+d1.② 若d2-d1<0,则当n>b1-b2d2-d1时,①不成立; 若d2-d1>0,则当n>b1-b2+d1d2-d1时,②不成立. 若d2-d1=0,则①和②都成立,所以d1=d2. 同理得d1=d3,所以d1=d2=d3,记d1=d2=d3=d.(12分) 设b3p-1-b3p-3=b3p+1-b3p-1=b3p+3-b3p+1=λ, 则b3n-1-b3n-2=b3p-1+(n-p)d-[b3p+1+(n-p-1)d] =b3p-1-b3p+1+d=d-λ.(14分) 同理可得b3n-b3n-1=b3n+1-b3n=d-λ,所以bn+1-bn=d-λ. 所以{bn}是等差数列.(6分) 另解: λ=b3p-1-b3p-3=b2+(p-1)d-[b3+(p-2)d]=b2-b3+d, λ=b3p+1-b3p-1=b1+pd-[b2+(p-1)d]=b1-b2+d, λ=b3p+3-b3p+1=b3+pd-(b1+pd)=b3-b1, 以上三式相加可得3λ=2d,所以λ=23d,(12分) 所以b3n-2=b1+(n-1)d=b1+(3n-2-1)d3, b3n-1=b2+(n-1)d=b1+d-λ+(n-1)d=b1+(3n-1-1)d3, b3n=b3+(n-1)d=b1+λ+(n-1)d=b1+(3n-1)d3, 所以bn=b1+(n-1)d3,所以bn+1-bn=d3, 所以数列{bn}是等差数列.(16分) 21.A.解析: 延长PT交⊙O2于点C, 连结O1P,O2C,O1O2,则O1O2过点T. 由切割线定理得PM2=PC•PT=3. 因为∠O1TP=∠O2TC, △O1TP与△O2TC均为等腰三角形,(5分) 所以△O1TP∽△O2TC,所以PTCT=PO1CO2=2, 所以PTPC=23,即PC=32PT. 因为PC•PT=32PT•PT=3,所以PT=2.(10分) B.解析: 由已知得1x0201=x2=λ01, 所以λ=2,x=0,所以A=1002.(4分) 设A-1=abcd, 则AA-1=1002abcd=1001, 即ab2c2d=1001, 所以a=1,b=c=0,d=12, 所以λ=2,A-1=10012.(10分) C.解析: 曲线x=t-1,y=t2-1的普通方程为y=x2+2x.(4分) 联立y=x,y=x2+2x,解得x=0,y=0或x=-1,y=-1,(8分) 所以A(0,0),B(-1,-1), 所以AB=(-1-0)2+(-1-0)2=2.(10分) D.解析: 因为a>1,b>1, 所以b2a-1+4(a-1)≥4b,a2b-1+4(b-1)≥4a.(4分) 两式相加b2a-1+4(a-1)+a2b-1+4(b-1)≥4b+4a, 所以b2a-1+a2b-1≥8.(8分) 当且仅当b2a-1=4(a-1)且a2b-1=4(b-1)时,等号成立, 即当a=b=2时,b2a-1+a2b-1取得最小值为8.(10分) 22.解析: 以{AB→,AD→,AP→}为正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz. 则A(0,0,0),B(4,0,0),C(4,2,0),D(0,4,0),P(0,0,4). (1)由题意可知,DP→=(0,-4,4),DC→=(4,-2,0). 设平面PCD的法向量为n1=(x,y,z), 则n1•DP→=0,n1•DC→=0,即-4y+4z=0,4x-2y=0. 令x=1,则y=2,z=2. 所以n1=(1,2,2).(3分) 平面ACD的法向量为n2=(0,0,1), 所以|cos〈n1,n2〉|=|n1•n2||n1||n2|=23, 所以二面角PCDA的余弦值为23.(5分) (2)由题意可知,PC→=(4,2,-4),DC→=(4,-2,0). 设PH→=λPC→=(4λ,2λ,-4λ), 则DH→=DP→+PH→=(4λ,2λ-4,4-4λ).(7分) 因为DC=DH, 所以(4λ)2+(2λ-4)2+(4-4λ)2=20, 化简得3λ2-4λ+1=0,所以λ=1或λ=13. 因为点H异于点C,所以λ=13.(10分) 23.解析: ①当n=1时,等式右边=sin1+12x2sin12x-12=sin1+12x-sin1-12x2sin12x= 12sin12x×[(sinxcos12x+cosxsin12x)-(sinxcos12x-cosxsin12x)] =cosx=等式左边,等式成立.(2分) ②假设当n=k时等式成立, 即cosx+cos2x+cos3x+…+coskx=sink+12x2sin12x-12. 那么,当n=k+1时,有 cosx+cos2x+cos3x+…+coskx+cos(k+1)x =sink+12x2sin12x-12+cos(k+1)x =12sin12x×{sin(k+1)x-12x+2sin12x•cos(k+1)x}-12 =12sin12x×[sin(k+1)xcos12x-cos(k+1)xsin12x+2sin12xcos(k+1)x]-12 =sin(k+1)xcos12x+cos(k+1)xsin12x2sin12x-12 =sink+1+12x2sin12x-12. 这就是说,当n=k+1时等式也成立. 根据①和②可知,对任何n∈N*等式都成立.(6分) (2)由 (2)可知,cosx+cos2x+cos3x+…+cos2018x=sin2018+12x2sin12x-12, 两边同时求导,得-sinx-2sin2x-3sin3x-…-2018sin2018x =12sin212x×[(2018+12)cos(2018+12)xsin12x-12sin2018+12xcos12x],(8分) 所以-sinπ6-2sin2π6-3sin3π6-…-2018sin2018π6 =12sin2π12×[2018+12cos2018+12π6sinπ12-12sin2018+12π6cosπ12]= 20152-3, 所以sinπ6+2sin2π6+3sin3π6+4sin4π6+…+2018sin2018π6=3-20152.(10分)
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