五年级数学拔高之巧解逻辑推理问题 2.docx
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五年级数学拔高之巧解逻辑推理问题2
第27讲巧解逻辑推理问题
(二)
巧点晴——方法和技巧
进一步运用“矛盾律”“排中律”“同一律”解决逻辑推理问题
巧指导——例题精讲
A级冲刺名校·基础点晴
【例1】在一所公寓里有一个人被杀害了,在现场共有甲、乙、丙三人。
已知这三人中,一个是主犯,一个是从犯,一个与案件无关。
警察从现场的人口中得到下列证词:
①甲不是主犯;②乙不是从犯;③丙不是与案件无关的人。
在这三条证词中,提到的名字都不是说话者本人,三条证词不一定分别出自三人之口,但至少有一条是与案件无关的人讲的。
经过调查证实,只有与案件无关的人说了真话。
问:
主犯是谁?
分析与解由“在这三条证词中,提到的名字都不是说话者本人”可知,这三条证词至少出自两人之口。
又由“只有与案件无关的人说了真话”可知,这三条证词中至少有一条是与案件无关的人讲的真话。
下面我们先对“只有与案件无关的人说了真话”进行假设。
假设①是真话,②、③是假话,则甲与丙都是与案件无关的人,或者丙与乙都是从犯,这与已知矛盾。
假设②是真话,①、③是假话,同上面情况类似,仍与已知矛盾。
假设③是真话,①、②是假话,则三人全是罪犯,也与已知矛盾。
这说明三条证词中应有两条是与案件无关的人讲的真话。
假设①是假话,②、③是真话,则②、③应出自与案件无关的人甲之口,但①是假话,又推出甲是主犯,矛盾。
假设②是假话,①、③是真话,其结果与前一段假设类似,仍然矛盾。
所以只有③是假话,①、②是真话,此时可知丙是与案件无关的人,甲是从犯,乙是主犯。
答:
主犯是乙。
做一做1甲、乙、丙三人分别是学校足球队、乒乓球队和篮球队的队员,下面的说法中只有一种是对的:
①甲是足球队员;②乙不是足球队员;③丙不是篮球队员。
问:
甲、乙、丙分别是哪个队的队员?
【例2】甲、乙、丙三人对小强的藏书数目作了一个估计。
甲说:
“他至少有1000本书。
”乙说:
“他的书不到1000本。
”丙说:
“他最少有一本书。
”这三个估计中只有一句是对的。
问:
小强究竟有多少本书?
分析与解因为本例的三个估计中只有一句是对的,因此可以此为突破口,提出假设,进行推理,找出符合要求的结论。
假设
(1):
若甲话是真,那么乙、丙二人说的话则假。
由甲话是真,推出小强至少有1000本书。
由丙话是假,推出小强一本书也没有。
这两个结论相互矛盾,所以假设是错误的。
假设
(2):
若乙话是真,那么甲、丙二人说的话则假。
由乙话是真,推出小强的书不到1000本。
由丙话是假,也推出小强的书不到1000本。
由丙话是假,推出小强一本书也没有。
假设(3):
若丙话是真,那么甲、乙二人说的话则假。
由甲话是假,推出小强的书不到1000本。
由乙话是假,推出小强的书超过1000本。
这两个结论相互矛盾,所以假设错误。
综上所述,只有第
(2)种假设成立,推出小强一本书也没有。
答:
小强一本书也没有。
小结其实从甲、乙两人的估计中可以直接看出,二者的话相互矛盾,不能同时成立(即同真或同假),其中必有一真一假(至于哪句为真可不必管它)。
因为三句中只有一句为真,所以丙说的话一定为假,推出小强一本书也没有。
做一做2甲、乙、丙、丁4人对A先生的藏书数目作了一个估计。
甲说:
“A先生有5000本书。
”乙说:
“A先生至少有1000本书。
”丙说:
“A先生的书不到2000本。
”丁说:
“A先生最少有1本书。
”这四个人的估计中,只有一句话是对的。
问:
A先生究竟有多少本书?
【例3】田径场上A,B,C,D,E,F六人参加百米决赛。
对于谁是冠军,看台上的甲、乙、丙、丁有以下猜测。
甲说:
冠军不是A就是B;
乙说:
冠军不是C;
丙说:
D,E,F都不可能是冠军;
丁说:
冠军是D,E,F中的一人。
比赛的结果是这四个人中只有一人的猜测是正确的。
问:
谁是冠军?
分析与解根据题意,假设甲猜的是正确的,则乙和丙的猜测也正确,这不符合题意(四人中只有一人的猜测是正确的)。
因此,甲的猜测不正确。
假定乙的猜测是正确的,则甲和丁的猜测也正确,又不符合题意。
因此,乙的猜测不正确,冠军应该是C。
这样只有丙的猜测是正确的,甲、乙、丁的猜测都不正确,符合题意。
答:
C是冠军。
做一做3今天上午有语文、数学、图画、音乐、体育、自然中的三门课,A,B,C,D,E五人争论是哪三门课,五人中有1个人说错了。
A说:
肯定没有音乐课;
B说:
有语文课和体育课;
C说:
音乐课和数学课只有一门;
D说:
没有自然课和图画课;
E说:
C,D有一人说错了。
问:
上午有哪三门课?
谁说错了?
B级培优竞赛·更上层楼
【例4】A,B,C,D四个同学猜测他们之中谁被评为优秀学生。
A说:
“如果B没被评上,那么我也没被评上。
”B说:
“如果我被评上,那么C也被评上。
”C说:
“如果我被评上,那么D也被评上。
”实际上他们之中只有一个人没被评上,并且A,B,C说的都是正确的。
问:
谁没被评上优秀学生?
分析与解由A说的话可以推出B一定被评上,那么A也没被评上,这个结论和“只有一个人没被评上”矛盾。
再由C与B所说的可知:
假如B被评上,则C也被评上;由C被评上可知D也被评上。
因此,A没有被评上优秀学生。
答:
A没有被评上优秀学生。
做一做4老师要甲、乙、丙、丁四名同学中选出两人去参加某项活动,现征求他们的意见。
甲说:
“我服从分配”。
乙说:
“如果甲去,我就去。
”丙说:
“如果我不去,那么乙也不能去。
”丁说:
“我和甲都要去,要不就都不去。
”老师要都满足他们的要求,应选派谁去?
【例5】一次数学竞赛,A,B,C,D,E五位同学得了前五名。
发奖前,老师让他们自己猜一猜各自的名次排列情况。
A说:
B是第三名,C是第五名;
B说:
D是第二名,E是第四名;
C说:
A是第一名,E是第四名;
D说:
C是第一名,B是第二名;
E说:
D是第二名,A是第三名。
老师说:
“你们每人都只猜对了一半。
”老师这么一说,五位同学就把名次弄清楚了。
请你想一想,他们是怎样分析的?
分析与解我们注意到,每个名次仅由一人获得,每个人只猜对一半。
故若一个猜想被否定,则另一个猜想被肯定。
我们采用反推法来否定或肯定猜想,首先由A所说的话开始。
假设B是第三名,则A不是第三名。
由E所说的话,推断D是第二名。
由B说的话,推断E不是第四名。
由C所说的话,推断A是第一名,故C不是第一名。
由C所说的话,推断B是第二名,此与B是第三名矛盾。
故B是第三名的猜想不对。
由A所说的话,因为已判定B不是第三名,所以C一定是第五名,即C不是第一名。
由D所说的话,推断B一定是第二名,所以D不是第二名。
由E所说的话,推断A一定是第三名,所以A不是第一名。
由C所说的话,推断E一定是第四名。
由以上分析,我们已可得到正确猜想:
A——第三名;B——第二名;C——第五名;D——?
E——第四名。
所以,D必为第一名。
做一做5三位老师对四个同学的竞赛结果预测如下。
张老师说:
“小周第一,小高第三”。
李老师说:
“小刘第一,小王第四。
”宋老师说:
“小王第二,小周第三。
”结果四个同学都进入了前四名,而三位老师的预测各对了一半。
请你说出四人的名次。
C级(选学)决胜总决赛·勇夺冠军
【例6】桌上放了8张扑克牌,都是背面向上,牌放置的位置如图1所示。
现已知:
①每张都是A,K,Q,J中的某一张;②这8张牌中至少有1张是Q;③其中只有1张A;④所有的Q都夹在2张K之间;⑤至少有1张K夹在2张J之间;⑥至少有2张K相邻;⑦J与Q互不相邻,A与K也互不相邻。
你知道这8张牌各是什么牌吗?
分析与解为了便于说明8张牌的位置,我们将
其编号,如图2。
根据条件②、④,Q的位置有4种
可能。
情况1,3和6同时为Q;情况2,3为Q;情
况3,6为Q;情况4,4为Q。
下面分别对这4种情
况进行讨论。
情况,3和6同时为Q,则2,4,5,7或2,4,8是K,但这两种情况都不能满足条件⑤,排除。
情况2,3,为Q,则2,4为K。
由条件⑦,A只能在5,7,8的位置上,且6不能为K,又由条件⑥,则1必须为K,同样不能满足条件⑤,排除。
情况3,6为Q,则4,8或5,7为K。
若4,8为K,则不能满足人条件⑤,若5,7为K,由条件⑥,3必须为K,2,4应为J(条件⑤),但这与条件⑦不符,排除。
情况4,4为Q,此时1,6为K,5,7为J,8为K。
现在只剩下2,3两个位置,根据要求可知3为A,2为J。
小结 这是为了解问题的方便,把问题分为不重复、不遗漏的有限种情况,然后对各种情况一一枚举,逐个检验淘汰非解,最终达到解决整个问题的目的。
这就是数学中经常用到的“枚举筛选法”。
下面的问题也是‘枚举筛选法“的具体应用。
做一做6A,B。
C,D四个人分别住在18层高的公寓里,他们的名字分别叫张红、李英、王强、赵刚。
现知道:
①A住的层数比C住的层数高,但D住的层数低;②B住的层数比王强住的层数低;③D住的层数恰好是李英住的层数的5倍;④如果张红住的层数增加2层,那么她与王强相隔的层数恰好和她与赵刚相隔的层数一样;⑤张红住的层数是李英和王强住的层数之和。
根据上述情况,你能确定A,B,C,D分别叫什么名字和住在哪一层楼吗?
巧练习——温故知新(二十七)
A级冲刺名校·基础点晴
1.听到一声响,原来是我房内的玻璃被打破了,我询问了院内的4个孩子,得到的回答如下:
A说:
是B打破的;
B说:
是D打破的;
C说:
不是我打破的;
D说:
B在说谎。
已知其中只有一个孩子说了真话,且肇事者也只是其中的一个孩子,问:
这个人是谁?
2.某大学宿舍里有A,B,C,D,E,F,G七位同学,其中2位来自哈尔滨,2位来自天津,2位来自海南,1位来自广州。
还知道,①D,E来自同一地方;②B,G,F不是北方人;③C没有去过哈尔滨。
问:
A来自什么地方?
3.10个好朋友彼此住得很远,又没有电话,只能靠写信互通消息。
这10个人每人知道一个好消息(每个人各自知道的好消息不同),为让这10个人都知道所有的好消息,他们至少要让邮递员送几封信?
4.油桶中分别装有汽油、柴油、机油中的一种(如下图,图上分别标明了各自的容量),只知道其中一桶是汽油,而柴油的总容量是机油的3倍,但不知道哪一桶是什么油。
请认真思考,根据已知条件推理、判断出每一只桶里装的各是什么油。
5.22名家长(爸爸或妈妈,他们都不是老师)和老师陪同一些小学生参加某次数学竞赛。
已知家长比老师多,妈妈比爸爸多,女老师比妈妈多2人,且至少有1名男老师。
问:
在这22人中,爸爸至少有多少人?
B级培优竞赛·更上层楼
6.张红因病在家休息了一段时间,这期间的气候是:
①下了8次雨,时间是上午或者下午;②当下午下雨时,当天上午恰好是晴天;③有9个下午是晴天;④有13个上午是晴天。
问:
她一共休息了几天?
7.一个盒子A内装有写上自然数的纸片若干张,已知:
(1)1在A内。
(2)如果自然数n在A内,则2n+1也在A内。
(3)如果自然数3n+1在A内,则n也在A内。
试问,8号否在A内?
请说明道理。
8.在一次数学考试后,老师说:
“A,B,C,D,E五位同学正好得了前五名,且任何两人的名次都不同。
”然后老师请这五位同学猜猜他们的名次。
A说:
C一定是第一名;
B说:
E是第二名;
C说:
A不可能是第四或第五名;
D说:
B一定是第三名;
E说:
D可能是第一名或第二名。
然而,老师说:
你们都犯错了。
那么,正确的名次应该是怎样的呢?
9.A,B,C,D,E五个人分别来自五个不同的国家:
英、日、美、法、德(姓名与国家的顺序不一定相同)。
小王、小李、小张、小林正在猜测他们各是哪国人。
小王说:
B是德国人,D是法国人;
小李说:
A是英国人,E是美国人;
小张说:
C是美国人,D是日本人;
小林说:
B是法国人,E是德国人。
后来,事实证明他们每个人都只说对了一人,也都说错了一人。
那么,你能猜出A、B、C、D、E各是哪个国家的人吗?
10.我国有“三山五岳”之说,其中五岳指的是东岳泰山、南岳衡山、西岳华山、北岳恒山和中岳嵩山。
在一次电视台举办的竞赛中,主持人拿出这五座山的图片(图片上有编号),让甲、乙、丙、丁、戊五位参赛选手来猜,每人说出两个。
五位选手的回答如下:
甲:
2号是嵩山,3号是华山;
乙:
4号是泰山,2号是衡山;
丙:
1号是泰山,5号是恒山;
丁:
4号是恒山,3号是衡山;
戊:
2号是华山,5号是嵩山。
主持人判定说每位选手都只说对了一半。
那么,正确的答案应该是什么呢?
C级(选学)决胜总决赛·勇夺冠军
11.有一位老师想辨别一下他的三个得意门生哪一个更聪明。
他采用了以下办法:
事先准备5顶帽子,其中3顶是白色的,2顶是黑色的。
试验时,他先把这些帽子让学生看了看,然后要他们闭上眼睛,请他们判断自己头上戴的到底是什么颜色的帽子。
三个学生相互看了看,踌躇了一会儿,忽然他们异口同声地说,自己头上戴的是白色的帽子。
你能够说出他们猜对的道理吗?
12.去韩国看世界杯的6位游客A、B、C、D、E、F分别来自北京、天津、上海、扬州、南京和杭州。
已知:
(1)A和北京人是医生,E和天津人是教师,C和上海人是工程师;
(2)A、B、F和扬州人没出过国,而上海人到过韩国;
(3)南京人比A年龄大,杭州人比B年龄大,F最年轻;
(4)B和北京人一起去广州,C和南京人一起去汉城。
则A是人,职业是;B是人,职业是;
C是人,职业是;D是人,职业是;
E是人,职业是;G是人,职业是。
13.老师让A,B,C,D,E五位同学都闭上眼睛,然后给他们每人都戴上一顶红色或蓝色的帽子,再让他们睁开眼睛,这样每个人都能看到其他四个人的帽子而看不到自己的帽子。
于是,他们说了下面的一段话:
A:
我看见三个红帽子和一个蓝帽子;
B:
我看见四个蓝帽子;
C:
我看见一个红帽子和三个蓝帽子;
E:
我看见四个红帽子。
然而老师发现,戴红帽子的同学说的都是实话,而戴蓝帽子的同学说的都是谎话。
那么,请你判断这五位同学分别戴的是什么颜色的帽子?
14.A,B,C,D,E,F六人的国籍各不相同,分别是美、德、英、法、日、意,当然这里的名字顺序不一定与上面的国籍顺序相同,且每一个人只能有一种职业。
已知:
(1)A和美国国籍的人都是工程师;
(2)E和日本籍的人都是教师;
(3)C和德国籍的人都是工人;
(4)B和F曾当过兵,而德国籍的人却从未当过兵;
(5)法国籍的人比A年龄大,意大利籍的人比C年龄大;
(6)B同美国籍的人下周都要到国外去旅游,他俩都选择了去英国,而C同法国籍的人下周要去瑞士去度假。
请问:
A,B,C,D,E,F这六人各是哪国人?
巧总结:
本节我的收获是:
。
不足之处有:
。
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