北师版九年级数学第二章练习.docx
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北师版九年级数学第二章练习
1.已知关于x的方程x2+mx+m﹣2=0.
(1)若此方程的一个根为1,求m的值;
(2)求证:
不论m取何实数,此方程都有两个不相等的实数根.
2.若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根,求k的取值范围.
3.已知:
关于x的方程x2+2mx+m2﹣1=0
(1)不解方程,判别方程根的情况;
(2)若方程有一个根为3,求m的值.
4.如图,在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路,余下部分作为耕地.若耕地面积需要551米2,则修建的路宽应为多少米?
5.在一块长16m、宽12m的矩形荒地上,要建一个花园,并使花园所占面积为荒地面积的一半,如果如图所示设计,并使花园四周小路宽度都相等,那么小路的宽是多少?
6.如图,有一段15m长的旧围墙AB,现打算利用该围墙的一部分(或全部)为一边,再用32m长的篱笆围成一块长方形场地CDEF.
(1)怎样围成一个面积为126m2的长方形场地?
(2)长方形场地面积能达到130m2吗?
如果能,请给出设计方案,如果不能,请说明理由.
7.如图,有一段15m长的旧围墙AB,现打算利用该围墙的一部分(或全部)为一边,再用32m长的篱笆围成一块长方形场地CDEF,
(1)怎样围成一个面积为120m2的长方形场地?
(2)长方形场地面积能达到150m2吗?
如果能,请给出设计方案,如果不能,请说明理
8.对二次三项式x2﹣4x﹣1配方3x2+6x﹣7配方
把x2﹣4x+1化为a(x+h)2+k(其中h、k是常数)的形式是 .
已知x,y为有理数,且满足x2+y2﹣4x+6y+13=0,求代数式xy2的值.
9.如图△ABC,∠B=90∘,AB=6,BC=8.点P从A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动,与此同时,点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动.如果P、Q分别从A、B同时出发,当点Q运动到点C时,两点停止运动,问:
(1)经过几秒,△PBQ的面积等于8cm2?
(2)△PBQ的面积会等于10cm2吗?
若会,请求出此时的运动时间;若不会,请说明理由.
如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=6cm,BC=8cm,点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动,点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动.
(1)如果P、Q同时出发,几秒钟后,可使△PCQ的面积为8平方厘米?
(2)点P、Q在移动过程中,是否存在某点时刻,使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半?
若存在,求出运动的时间;若不存在,说明理由.
1.某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20件,每件盈利44元,为了扩大销售,增加盈利,尽快减少库存,商场决定采取适当的减价措施,经调查发现,如果每件衬衫每降1元,商场平均每天可多售出5件.若商场平均每天要盈利1600元,每件衬衫应降价多少元?
2.某商店经销一批小家电,每个小家电的成本为40元.据市场分析,销售单价定为50元时,一个月能售出500件;若销售单价每涨1元,月销售量就减少10件.针对这种小家电的销售情况,该商店要保证每月盈利8640元,同时又要使顾客得到实惠,那么销售单价应定为多少元?
4.某商场将进货价为30元的台灯以40元售出,平均每月能售出600个.调查表明:
这种台灯的售价每上涨1元,其销售量就将减少10个.为了实现平均每月10000元的销售利润,商场决定采取调控价格的措施,扩大销售量,减少库存,这种台灯的售价应定为多少元?
15.水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤,然后以每斤4元的价格出售,每天可售出100斤,通过调查发现,这种水果每斤的售价每降低0.1元,每天可多售出20斤,为保证每天至少售出260斤,张阿姨决定降价销售.
(1)若将这种水果每斤的售价降低x元,则每天的销售量是 斤(用含x的代数式表示);
(2)销售这种水果要想每天盈利300元,张阿姨需将每斤的售价降低多少元?
1.参加一次聚会的每两个人都握了一次手,所有人共握手21次,若有x人参加聚会,请列出满足题意的方程.
2.已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0.
(1)当该方程的一个根为1时,求a的值及该方程的另一根;
(2)求证:
不论a取何实数,该方程都有两个不相等的实数根.
3.已知关于x的一元二次方程x2+(2k﹣3)x﹣3k=0.
(1)求证:
此方程总有两个不相等的实数根;
(2)如果方程有一个根为0,求k的值.
4.某地区2013年的人均收入为12000元,2015年的人均收入为14520.求人均收入的年平均增长率.
5.为进一步发展基础教育,自2014年以来,某县加大了教育经费的投入,2014年该县投入教育经费6000万元.2016年投入教育经费8640万元.假设该县这两年投入教育经费的年平均增长率相同.
(1)求这两年该县投入教育经费的年平均增长率;
(2)若该县教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率,请你预算2017年该县投入教育经费多少万元.
1.参加一次聚会的每两个人都握了一次手,所有人共握手21次,若有x人参加聚会,请列出满足题意的方程.
2.已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0.
(1)当该方程的一个根为1时,求a的值及该方程的另一根;
(2)求证:
不论a取何实数,该方程都有两个不相等的实数根.
3.已知关于x的一元二次方程x2+(2k﹣3)x﹣3k=0.
(1)求证:
此方程总有两个不相等的实数根;
(2)如果方程有一个根为0,求k的值.
4.某地区2013年的人均收入为12000元,2015年的人均收入为14520.求人均收入的年平均增长率.
5.为进一步发展基础教育,自2014年以来,某县加大了教育经费的投入,2014年该县投入教育经费6000万元.2016年投入教育经费8640万元.假设该县这两年投入教育经费的年平均增长率相同.
(1)求这两年该县投入教育经费的年平均增长率;
(2)若该县教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率,请你预算2017年该县投入教育经费多少万元.
第二章练习
参考答案与试题解析
一.选择题(共13小题)
1.已知关于x的方程x2+mx+m﹣2=0.
(1)若此方程的一个根为1,求m的值;
(2)求证:
不论m取何实数,此方程都有两个不相等的实数根.
【解答】解:
(1)根据题意,将x=1代入方程x2+mx+m﹣2=0,
得:
1+m+m﹣2=0,
解得:
m=
;
(2)∵△=m2﹣4×1×(m﹣2)=m2﹣4m+8=(m﹣2)2+4>0,
∴不论m取何实数,该方程都有两个不相等的实数根.
2.若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根,求k的取值范围.
【解答】解:
∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根,
∴k≠0且△>0,即(﹣2)2﹣4×k×(﹣1)>0,
解得k>﹣1且k≠0.
∴k的取值范围为k>﹣1且k≠0.
3.已知:
关于x的方程x2+2mx+m2﹣1=0
(1)不解方程,判别方程根的情况;
(2)若方程有一个根为3,求m的值.
【解答】解:
(1)由题意得,a=1,b=2m,c=m2﹣1,
∵△=b2﹣4ac=(2m)2﹣4×1×(m2﹣1)=4>0,
∴方程x2+2mx+m2﹣1=0有两个不相等的实数根;
(2)∵x2+2mx+m2﹣1=0有一个根是3,
∴32+2m×3+m2﹣1=0,
解得,m=﹣4或m=﹣2.
4.如图,在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路,余下部分作为耕地.若耕地面积需要551米2,则修建的路宽应为多少米?
【解答】解:
设修建的路宽为x米.
则列方程为20×30﹣(30x+20x﹣x2)=551,
解得x1=49(舍去),x2=1.
答:
修建的道路宽为1米.
5.在一块长16m、宽12m的矩形荒地上,要建一个花园,并使花园所占面积为荒地面积的一半,如果如图所示设计,并使花园四周小路宽度都相等,那么小路的宽是多少?
【解答】解:
将小路分别平移到最左边和最上边,如图所示.
设小路的宽是xm.
依题意,得(16﹣2x)(12﹣2x)=
×16×12,
整理,得x2﹣14x+24=0,
∴(x﹣2)(x﹣12)=0,
∴x1=2,x2=12(不合题意,舍去)
答:
小路的宽是2m.
6.如图,有一段15m长的旧围墙AB,现打算利用该围墙的一部分(或全部)为一边,再用32m长的篱笆围成一块长方形场地CDEF.
(1)怎样围成一个面积为126m2的长方形场地?
(2)长方形场地面积能达到130m2吗?
如果能,请给出设计方案,如果不能,请说明理由.
【解答】解:
(1)设CD=xm,则DE=(32﹣2x)m,
依题意得:
x(32﹣2x)=126,
整理得x2﹣16x+63=0,
解得x1=9,x2=7,
当x1=9时,(32﹣2x)=14
当x2=7时(32﹣2x)=18>15(不合题意舍去)
∴能围成一个长14m,宽9m的长方形场地.
(2)设CD=ym,则DE=(32﹣2y)m,
依题意得y(32﹣2y)=130
整理得y2﹣16y+65=0
△=(﹣16)2﹣4×1×65=﹣4<0
故方程没有实数根,
∴长方形场地面积不能达到130m2.
7.如图,有一段15m长的旧围墙AB,现打算利用该围墙的一部分(或全部)为一边,再用32m长的篱笆围成一块长方形场地CDEF,
(1)怎样围成一个面积为120m2的长方形场地?
(2)长方形场地面积能达到150m2吗?
如果能,请给出设计方案,如果不能,请说明理由.
【解答】解:
(1)设CD=xm,则DE=(32﹣2x)m,依题意得:
x(32﹣2x)=120,
整理得x2﹣16x+60=0,
解得x1=10,x2=6,
当x1=10时,(32﹣2x)=12
当x2=6时(32﹣2x)=20>15(不合题意舍去)
答:
能围成一个长12m,宽10m的长方形场地.
(2)设CD=ym,则DE=(32﹣2y)m,依题意得
y(32﹣2y)=150
整理得y2﹣16y+75=0
△=(﹣16)2﹣4×1×75=﹣44<0
故方程没有实数根,
答:
长方形场地面积不能达到150m2.
8.如图△ABC,∠B=90∘,AB=6,BC=8.点P从A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动,与此同时,点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动.如果P、Q分别从A、B同时出发,当点Q运动到点C时,两点停止运动,问:
(1)经过几秒,△PBQ的面积等于8cm2?
(2)△PBQ的面积会等于10cm2吗?
若会,请求出此时的运动时间;若不会,请说明理由.
【解答】解:
(1)设经过x秒,△PBQ的面积等于8cm2.
∵AP=1•x=x,BQ=2x,
∴BP=AB﹣AP=6﹣x,
∴S△PBQ=
×BP×BQ=
×(6﹣x)×2x=8,
∴x2﹣6x+8=0,
解得:
x=2或4,
即经过2秒或4秒,△PBQ的面积等于8cm2;
(2)设经过y秒,△PBQ的面积等于10cm2,
则S△PBQ=
×(6﹣y)×2y=10,
即y2﹣6y+10=0,
因为△=b2﹣4ac=36﹣4×10=﹣4<0,
所以△PBQ的面积不会等于10cm2.
9.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=6cm,BC=8cm,点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动,点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动.
(1)如果P、Q同时出发,几秒钟后,可使△PCQ的面积为8平方厘米?
(2)点P、Q在移动过程中,是否存在某点时刻,使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半?
若存在,求出运动的时间;若不存在,说明理由.
【解答】解:
(1)设x秒钟后,可使△PCQ的面积为8平方厘米,由题意得:
(6﹣x)•2x=8,
x=2或x=4,
当2秒或4秒时,面积可为8平方厘米;
(2)不存在.
理由:
设y秒时,△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半,由题意得:
(6﹣y)•2y=
×
×6×8
y2﹣6y+12=0.
△=36﹣4×12<0.
方程无解,所以不存在.
10.某地区2013年的人均收入为12000元,2015年的人均收入为14520.求人均收入的年平均增长率.
【解答】解:
设这两年的平均增长率为x,由题意得:
12000(1+x)2=14520,
解得:
x1=﹣2.1(不合题意舍去),x2=0.1=10%.
答:
这两年的平均增长率为10%.
11.为进一步发展基础教育,自2014年以来,某县加大了教育经费的投入,2014年该县投入教育经费6000万元.2016年投入教育经费8640万元.假设该县这两年投入教育经费的年平均增长率相同.
(1)求这两年该县投入教育经费的年平均增长率;
(2)若该县教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率,请你预算2017年该县投入教育经费多少万元.
【解答】解:
(1)设该县投入教育经费的年平均增长率为x,根据题意得:
6000(1+x)2=8640
解得:
x1=0.2=20%,x2=﹣2.2(不合题意,舍去),
答:
该县投入教育经费的年平均增长率为20%;
(2)因为2016年该县投入教育经费为8640万元,且增长率为20%,
所以2017年该县投入教育经费为:
y=8640×(1+0.2)=10368(万元),
答:
预算2017年该县投入教育经费10368万元.
12.将进货单价为40元的商品按50元出售时,能卖500个.已知该商品每涨价1元,其销售量就要减少10个,为了赚8000元利润,应涨价多少元?
【解答】解:
设应涨价x元.
(50﹣40+x)(500﹣10x)=8000.
解得x1=10,x2=30.
∴应涨10元或30元,
答:
应涨价10元或30元.
13.对二次三项式x2﹣4x﹣1变形正确的是( )
A.(x+2)2﹣5B.(x+2)2+3C.(x﹣2)2﹣5D.(x﹣2)2+3
【解答】解:
原式=x2﹣4x+4﹣4﹣1
=(x﹣2)2﹣5
故选(C)
二.选择题(共2小题)
14.某商场将进货价为30元的台灯以40元售出,平均每月能售出600个.调查表明:
这种台灯的售价每上涨1元,其销售量就将减少10个.为了实现平均每月10000元的销售利润,商场决定采取调控价格的措施,扩大销售量,减少库存,这种台灯的售价应定为多少元?
这时应进台灯多少个?
【解答】解:
设售价为x元,
依题意列方程(x﹣30)[600﹣(x﹣40)×10]=10000,
解得x1=50,x2=80,
因需扩大销售量,减少库存,所以x2=80应舍去,
当x=50时,[600﹣(x﹣40)×10]=500,
答:
售价为50元时进500个.
15.水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤,然后以每斤4元的价格出售,每天可售出100斤,通过调查发现,这种水果每斤的售价每降低0.1元,每天可多售出20斤,为保证每天至少售出260斤,张阿姨决定降价销售.
(1)若将这种水果每斤的售价降低x元,则每天的销售量是 100+200x 斤(用含x的代数式表示);
(2)销售这种水果要想每天盈利300元,张阿姨需将每斤的售价降低多少元?
【解答】解:
(1)将这种水果每斤的售价降低x元,则每天的销售量是100+
×20=100+200x(斤);
(2)根据题意得:
(4﹣2﹣x)(100+200x)=300,
解得:
x=
或x=1,
当x=
时,销售量是100+200×
=200<260;
当x=1时,销售量是100+200=300(斤).
∵每天至少售出260斤,
∴x=1.
答:
张阿姨需将每斤的售价降低1元.
三.选择题(共4小题)
16.参加一次聚会的每两个人都握了一次手,所有人共握手21次,若有x人参加聚会,请列出满足题意的方程.
【解答】解:
设有x人参加聚会,根据题意得:
x(x﹣1)=2×21,
解得:
x1=7,x2=﹣6(舍去).
答:
有7人参加聚会.
17.利用一面墙(墙的长度不限),另三边用58m长的篱笆围成一个面积为200m2的矩形场地,求矩形的长和宽.
【解答】解:
设垂直于墙的一边为x米,得:
x(58﹣2x)=200
解得:
x1=25,x2=4
∴另一边为8米或50米.
答:
当矩形长为25米时,宽为8米;当矩形长为50米时,宽为4米.
18.某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20件,每件盈利44元,为了扩大销售,增加盈利,尽快减少库存,商场决定采取适当的减价措施,经调查发现,如果每件衬衫每降1元,商场平均每天可多售出5件.若商场平均每天要盈利1600元,每件衬衫应降价多少元?
这时应进货多少件?
【解答】解:
设每件衬衫应降价x元.
根据题意,得(44﹣x)(20+5x)=1600,
解得x1=4,x2=36.
∵“扩大销售量,减少库存”,
∴x1=4应略去,
∴x=36.
20+5x=200.
答:
每件衬衫应降价36元,进货200件.
19.某商店经销一批小家电,每个小家电的成本为40元.据市场分析,销售单价定为50元时,一个月能售出500件;若销售单价每涨1元,月销售量就减少10件.针对这种小家电的销售情况,该商店要保证每月盈利8640元,同时又要使顾客得到实惠,那么销售单价应定为多少元?
【解答】解:
设销售单价应定为x元,根据题意得
(x﹣40)[500﹣(x﹣50)×10]=8640,
整理得x2﹣140x+4864=0,
解得x1=76,x2=64;
因为要使顾客得到实惠,只能取x=64,
答:
销售单价应定为64元.
四.选择题(共3小题)
20.把x2﹣4x+1化为a(x+h)2+k(其中h、k是常数)的形式是 (x﹣2)2﹣3 .
【解答】解:
x2﹣4x+1
=x2﹣4x+4﹣3
=(x﹣2)2﹣3,
故答案为:
(x﹣2)2﹣3.
21.用配方法求得代数式3x2+6x﹣7的最小值是 ﹣10 .
【解答】解:
3x2+6x﹣7
=3(x2+2x)﹣7
=3(x+1)2﹣10,
∴当x=﹣1时,3x2+6x﹣7取得最小值,此时3x2+6x﹣7=﹣10,
故答案为:
﹣10.
22.将二次三项式x2+4x+5化成(x+p)2+q的形式应为 (x+2)2+1 .
【解答】解:
x2+4x+5
=x2+4x+4+1
=(x+2)2+1.
故答案为:
(x+2)2+1.
五.选择题(共1小题)
23.已知x,y为有理数,且满足x2+y2﹣4x+6y+13=0,求代数式xy2的值.
【解答】解:
∵x2+y2﹣4x+6y+13=0,
∴x2﹣4x+4+y2+6y+9=0,
∴(x﹣2)2+(y+3)2=0,
∴x﹣2=0,y+3=0,
解得,x=2,y=﹣3,
则xy2=2×(﹣3)2=18.
六.解答题(共6小题)
24.解方程:
(x﹣4)2=(5﹣2x)2.
【解答】解:
∵(x﹣4)2=(5﹣2x)2,
∴x﹣4=±(5﹣2x)
所以x1=1,x2=3.
25.解方程:
x2﹣2x﹣4=0.
【解答】解:
由原方程移项,得
x2﹣2x=4,
等式两边同时加上一次项系数一半的平方,得
x2﹣2x+1=5,
配方,得
(x﹣1)2=5,
∴x=1±
,
∴x1=1+
,x2=1﹣
.
26.解方程:
(x﹣1)(x﹣3)=8.
【解答】解:
(x﹣1)(x﹣3)=8,
x2﹣4x+3=8,
x2﹣4x=5,
x2﹣4x+4=9,
(x﹣2)2=9,
x﹣2=±3,
x1=3+2=5,x2=2﹣3=﹣1;
27.解方程:
x2﹣6x+5=0(配方法)
【解答】解:
由原方程移项,得
x2﹣6x=﹣5,
等式两边同时加上一次项系数一半的平方32.得
x2﹣6x+32=﹣5+32,即(x﹣3)2=4,
∴x=3±2,
∴原方程的解是:
x1=5,x2=1.
28.已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0.
(1)当该方程的一个根为1时,求a的值及该方程的另一根;
(2)求证:
不论a取何实数,该方程都有两个不相等的实数根.
【解答】解:
(1)设方程的另一个根为x,
则由根与系数的关系得:
x+1=﹣a,x•1=a﹣2,
解得:
x=﹣
,a=
,
即a=
,方程的另一个根为﹣
;
(2)∵△=a2﹣4(a﹣2)=a2﹣4a+8=a2﹣4a+4+4=(a﹣2)2+4>0,
∴不论a取何实数,该方程都有两个不相等的实数根.
29.已知关于x的一元二次方程x2+(2k﹣3)x﹣3k=0.
(1)求证:
此方程总有两个不相等的实数根;
(2)如果方程有一个根为0,求k的值.
【解答】
(1)证明:
在方程x2+(2k﹣3)x﹣3k=0中,△=b2﹣4ac=(2k﹣3)2﹣4×(﹣3k)=4k2﹣12k+9+12k=4k2+9>0,
∴此方程总有两个不相等的实数根.
(2)解:
将x=0代入x2+(2k﹣3)x﹣3k=0中,
﹣3k=0,解得:
k=0.
∴如果方程有一个根为0,k的值为0.
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