初二数学体系讲义第2讲全等三角形下.docx
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初二数学体系讲义第2讲全等三角形下
第二讲全等三角形
(二)
一、主要知识点回顾
1.如图1,∵射线OC是∠AOB的平分线,
∴∠AOC=∠______
。
2.如图2,
(1)∵∠AOC=∠BOC,且PE⊥OA于点E,PF⊥OB于点F,
∴_______=PF。
即:
角平分线上的点到角两边的距离相等。
(2)∵PE⊥OA于点E,PF⊥OB于点F,且PE=PF,
∴∠AOC=∠______
。
即:
到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上。
二、感悟与实践
例题1:
如图3,OC是∠AOB的平分线,P是OC上的一点,PD⊥OA交OA于D,PE⊥OB交OB于E,F是OC上的另一点,连接DF,EF。
求证DF=EF。
变式练习1:
如图4,四边形ABCD中,BC=CD,CB⊥AB于B,CD⊥AD于D。
求证:
AB=AD。
例题2:
如图5:
已知:
AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E、F,且BD=CD,求证:
∠B=∠C。
变式练习2:
如图6,四边形ABCD中,AD∥BC,AP平分∠DAB,BP平分∠ABC,点P恰在DC上。
∠C=∠D=90°。
(1)求证:
AP⊥BP;
(2)若∠D=90°,猜想AB、AD、BC之间有何数量关系?
请证明你的结论。
例题3:
已知:
如图7,CE⊥AB于点E,BD⊥AC于点D,BD、CE交于点O,且
OB=OC。
求证:
AO平分∠BAC
变式练习3:
如图8,已知BE⊥AC于E,CF⊥AB于F,BE、CF相交于点D,若
AB=AC。
求证:
AD平分∠BAC。
例题4:
如图9所示,P为∠AOB内一点,OA=OB,且△OPA与△OPB面积相等,
求证:
∠AOP=∠BOP。
变式练习4:
如图10,在△ABC中,AD为∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,△ABC面积是28cm2,AB=20cm,AC=8cm,求DE的长。
三、巩固与提高
(A)巩固练习
1.如图11,在直角△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于点D,若CD=8,则
点D到斜边AB的距离DE=_____________。
2.如图11,△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于D,且BD︰CD=3︰2,
BC=15cm,则点D到AB的距离是__________。
3.如图11所示,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,DE⊥AB,垂足为E。
若
AB=10,
=20,则CD=________。
4.如图11,△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,若AB=10cm,则△DBE的周长等于()。
A.10cmB.8cmC.6cmD.9cm
5.如图12,△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,DE⊥AB于E,DE平分∠ADB,则∠B等于()。
A.22.5°B.25°C.30°D.40°
6.
如图13所示,PC⊥OA于点C,PD⊥OB于点D,PC=PD,∠DPC=130°,则
∠AOP=_______°,∠BOP=_________°。
7.到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的()。
A.三条中线的交点B.三条高的交点
C.三条边的垂直平分线的交点D.三条角平分线的交点
8.已知△ABC中,∠A=80°,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D,则∠BDC=___________度。
9.两个三角形有两个角对应相等,正确说法是()。
A.两个三角形全等
B.两个三角形一定不全等
C.如果还有一角相等,两三角形就全等
D.如果一对等角的角平分线相等,两三角形全等
10.如图14,OB、OC是∠AOD的任意两条射线,OM平分
∠AOB,ON平分∠COD,若∠MON=α,∠BOC=β,
则表示∠AOD的代数式为()。
A.2α-βB.α-βC.α+βD.2α
(B)能力提高
1.如图15,△ABC的两个外角平分线相交于点P,若设∠A=
,
则∠BPC等于()。
A.
B.
C.
D.
2.阅读下题及证明过程:
已知:
如图16,D是△ABC中BC边上一点,E是AD上一点,EB=EC,∠ABE=∠ACE,求证:
∠BAE=∠CAE。
证明:
在△AEB和△AEC中,
∵EB=EC,∠ABE=∠ACE,AE=AE,
∴△AEB≌△AEC……第一步
∴∠BAE=∠CAE……第二步
问上面证明过程是否正确?
若正确,请写出每一步推理的依据;若不正确,请指出错在哪一步,并写出你认为正确的证明过程。
3.如图17,AB=AC,∠BAC=90°,BD⊥AE于D,CE⊥AE于E,且BD>CE,
求证:
BD=EC+ED。
4.已知,如图18,BD⊥AC于点D,CE⊥AB于点E,BD、CE交于点F,AE=AD。
求证:
点F在∠A的平分线上。
(C)趣味数学
如图19,找出头、脚数字间的规律,把“?
”换成数。
四、考考你
1.到一个角的两边距离相等的点都在_________。
2.∠AOB的平分线上一点M,M到OA的距离为1.5cm,则M到OB的距离为_________。
3.如图19,∠AOB=60°,CD⊥OA于D,CE⊥OB于E,且CD=CE,则∠DOC=________。
4.如图20,在△ABC中,∠C=90°,AD是角平分线,DE⊥AB于E,且DE=3cm,
BD=5cm,则BC=_________cm。
5.如图21示,△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,AB=5,CD=2,则△ABD的面积是______。
五、课外练习
如图22,∠B=∠C,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F。
求证:
BE=CF。
补充讲义全等三角形
(二)
【能力拓展】
1.如图1,在△ABC中,∠B=90°,AB=7,BC=24,AC=25
(1)△ABC内是否有一点P到各边的距离相等?
如果有,请作出这一点,并说明理由;
(2)求这个距离。
2.如图2,ΔABC中,点D、E分别在AB、AC上,∠DBC与∠BCE的平分线交于点P,∠BDE和∠CED的平分线交于点Q。
求证:
A、P、Q三点在同一条直线上。
3.如图3,BN平分∠ABC,P为BN上任意一点,PD⊥BC于D,且AB+BC=2BD,
求证:
∠BAP+∠BCP=180°
图3
【课堂小测】共5小题,每1小题20分,共100分
1.如图4,在△ABC中,∠C=90°,沿过点B的一条直线BE折叠△ABC,使点C恰好落在AB边的中点D处,则∠A的度数=。
E
2.已知,Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于D,若BC=32,且BD∶CD=9∶7,则D到AB的距离为()。
A.18B.16C.14D.12
3.如图5,在△ABC中,AD平分∠BAC,过B作BE⊥AD于E,过E作EF∥AC交AB于F,则()。
A.AF=2BFB.AF=BFC.AF>BFD.AF<BF
4.如图6,已知在△ABC中,AB=AC,D为BC上一点,BF=CD,CE=BD,那么∠EDF等于()。
A.90°-∠AB.90°-
∠AC.180°-∠AD.45°-
∠A
5.已知:
如图7,AB∥CD,O为∠BAC、∠ACD的平分线的交点,OE⊥AC于点E,且OE=2,则两平行线AB和CD之间的距离为。
初二数学讲义第二讲参考答案(56期)
一、主要知识点回顾
1.BOC,AOB;2.
(1)PE;
(2)BOC;AOB;
二、感悟与实践
例题1:
证明:
∵OC是∠AOB的角平分线,PD⊥OA,PE⊥OB,
∴PD=PE,∠AOC=∠BOC,
在Rt△ODP和Rt△OEP中,OP=OP,PD=PE,
∴Rt△ODP≌Rt△OEP(HL),∴OD=OE
在△ODF和△OEP中,OD=OE;∠AOC=∠BOC,OF=OF,
∴△ODF≌△OEP(SAS),∴DF=EF。
变式练习1:
证明:
连结AC,
∵CB⊥AB于B,CD⊥AD于D,BC=CD,
∴∠BAC=∠DAC,∠B=∠D=90°,
∴∠ACB=∠ACD,
∴AB=AD。
例题2:
证明:
∵AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF,
又∵BD=CD,∴△DBE≌△DCF(HL),∴∠B=∠C。
变式练习2:
(1)∵AD∥BC,∴∠DAB+∠ABC=180°,又∵AP平分∠DAB,BP平分∠ABC,
∴∠PAB=
,∠PBA=
,∴∠PAB+∠PBA=90°,∴AP⊥BP。
(2)AB=AD+BC,
证明:
作PE⊥AB于E,
E
∵AP平分∠DAB,∠D=90°,
∴PE=PD,又∵AP=AP,
∴△PDA≌△PEA(HL),
∴AD=AE,同理可得BC=BE,
又∵AB=AE+BE,∴AB=AD+BC。
例题3:
证明:
∵CE⊥AB于点E,BD⊥AC于点D,
∴∠BEO=∠CDO=90°,又∵OB=OC,∠EOB=∠DOC,
∴△BEO≌△CDO(AAS),∴OE=OD,∴AO平分∠BAC,
变式练习3:
证明:
∵BE⊥AC,CF⊥AB,
∴∠AEB=∠ACE=90°,∠DFB=∠DEC=90°,
在△ABE和△ACF中,∵
,
∴△ABE≌△ACF(AAS),∴AE=AF,
又∵AB=AC,∴BF=CE,
在△DBF和△DCE中,∠FBD=∠DEB,∠BDF=∠CDE,BF=CE,
∴△DBF≌△DCE(AAS),∴DE=DF,∴AD平分∠BAC。
例题4:
证明:
作PE⊥OA于点E,PF⊥OB于点F,
∵OA=OB,且△OPA与△OPB面积相等,
∴PE=PF,∴OP平分∠AOB,∴∠AOP=∠BOP,
变式练习4:
解:
∵AD为∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,∴DE=DF,
又∵
+
=
,∴10DE+4DF=28,
∴14DE=28,∴DE=2。
三、巩固与提高
(A)巩固练习
1.8;2.6;3.4;4.A;5.C;
6.25、25;7.D;8.130;9.D;10.A。
(B)能力提高
1.A;
2.上面证明过程不正确;错在第一步。
正确过程如下:
在△BEC中,∵BE=CE,∴∠EBC=∠ECB,
又∵∠ABE=∠ACE,∴∠ABC=∠ACB,∴AB=AC。
在△AEB和△AEC中,AE=AE。
BE=CE,AB=AC,
∴△AEB≌△AEC,∠BAE=∠CAE。
3.先证△ABD≌△ACE,得BD=AE,AD=EC,∴BD=AD+DE=EC+ED。
4.证明:
连结AF,
∵BD⊥AC于点D,CE⊥AB于点E,∴∠ADB=∠AEC=90°,
又∵AE=AD,AF=AF,∴△ADF≌△AEF(HL),∴DF=EF,
∴点F在∠A的平分线上。
(C)趣味数学
四、考考你
1.这个角的平分线上;2.1.5cm;3.30°;4.8;5.5
五、课外练习
证明:
∵AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,
∴∠BED=∠CFD=90°,DE=DF,又∵∠B=∠C,
∴△DBE≌△DCF(AAS),∴BE=CF。
初二数学补充讲义第二讲参考答案(56期)
【能力拓展】
1.
(1)作∠BAC、∠ACB的平分线,它们的交点P为符合要求的点,如下图所示,
作PF⊥BC,PE⊥AB,PG⊥AC,垂足分别为F、E、G
因为AP是∠BAC的平分线,所以PE=PG
因为CP是∠ACB的平分线,所以PF=PG
所以PE=PG=PF
(2)连接BP,设PE=PG=PF=x
因为
即
AB×BC=
AB
+
AC
+
BC
7×24=(7+24+25)x
∴
,即这个距离为3
2.提示:
先证点P到AB、AC的距离相等,所以点P在∠A的平分线上;然后再证明点Q到AB、AC的距离也相等,所以点Q也在∠A的平分线上。
所以A、P、Q三点在同一直线上(都在∠A的平分线上)
3.证明:
过点P作PE⊥AB于E
∵BN平分∠ABC,PD⊥BC,PE⊥AB
∴∠BEP=∠BDP=∠PDC=90º,PE=PD
在△RtPBE和Rt△PBD中,
∵PB=PB,PE=PD
∴Rt△PBE≌RT△PBD(HL),
∴BE=BD
∵AB+BC=2BD,BE=AB+AE,BC=BD+CD,
∴AE=CD
在△PAE和△PCD中,
∵AE=CD,∠PEA=∠PDC,PE=PD
∴△PAE≌△PCD(SAS),
∴∠PAE=∠PCD
∴∠BAP+∠BCP=∠BAP+∠PAE=180°
【课堂小测】
1.30°2.C3.B4.B5.4
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