电磁场与电磁波课后习题及答案.docx

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电磁场与电磁波课后习题及答案

电磁场与电磁波课后习题及答案

　　　　　　习题解答　　如题图所示为一长方形截面的导体槽，槽可视为无限长，其上有一块与槽相绝缘的盖板，槽的电位为零，上边盖板的电位为　　U0，求槽内的电位函数。

　　解根据题意，电位?

（x,y）满足的边界条件为　　y?

）?

a（y,?

）0①?

（0,）0②?

（x,0?

　　③　　?

（x,b）?

U0　　根据条件①和②，电位?

（x,y）的通解应取为　　y?

（x,y）?

?

Ansinh（n?

1?

n?

yn?

x）sin（）aa　　boU0条件③，有　　a题图　　U0?

?

Ansinh（?

　　axn?

1n?

bn?

x）sin（）aa　　sin（两边同乘以　　　　n?

x）a，并从0到a对x积分，得到　　a2U0n?

xAn?

sin（）dx?

asinh（n?

ba）?

a0　　4U0?

n?

1,3,5,?

n?

sinh（n?

ba）2U0?

（1?

cosn?

）?

?

n?

2,4,6,n?

sinh（n?

ba）?

0，　　?

（x,y）?

故得到槽内的电位分布　　4U01?

sinh?

n?

1,3,5nn?

（ban?

ysinh（）a?

nx）sin（a　　）两平行无限大导体平面，距离为b，其间有一极薄的导体片y?

d到y?

b（?

?

?

x?

?

）。

上板和薄片保持电位　　U0，下板保持零电位，求板间电位的解。

设在薄片平面上，从y?

0到　　y?

d，电位线性变化，?

（0,y）?

U0yd。

　　yU0解应用叠加原理，设板间的电位为　　?

（x,y）?

?

1（x,y）?

?

2（x,y）　　其中，　　boxydxyoxy题图　　?

1（x,y）为不存在薄片的平行无限大导体平面间的电位，即?

1（x,y）?

U0yb；?

2（x,y）是两个电位为零　　的平行导体板间有导体薄片时的电位，其边界条件为：

①　　　　?

2（x,0）?

?

2（x,b）?

0　　②　　?

2（x,y）?

0（x?

?

）　　U0?

U?

y?

?

0b?

2（0,y）?

?

（0,y）?

?

1（0,y）?

?

?

U0y?

U0y?

b?

d③　　（0?

y?

d）（d?

y?

b）　　?

?

xn?

y?

nb?

2（x,y）?

?

Ansin（）e?

（x,y）的通解为bn?

1根据条件①和②，可设2　　U0?

U?

y?

n?

y?

?

0bAnsin（）?

?

?

bn?

1?

U0y?

U0y?

b?

d条件③有　　sin（两边同乘以　　d（0?

y?

d）（d?

y?

b）　　n?

y）b，并从0到b对y积分，得到　　b2U2Uyn?

y11n?

yAn?

0?

（1?

）sin（）dy?

0?

（?

）ysin（）dy?

2U02bsin（n?

d）b0bbbddbb（n?

）db　　?

xU02bU0?

1n?

dn?

y?

nby?

sin（）sin（）e2?

2?

（x,y）?

bd?

bbn?

1n故得到　　求在上题的解中，除开定出边缘电容。

　　U0yb一项外，其他所有项对电场总储能的贡献。

并按　　Cf?

2WeU02解在导体板上，相应于　　?

2（x,y）的电荷面密度　　?

?

?

2?

?

?

02?

y?

y?

0?

x2?

0U0?

1n?

d?

nb?

?

sin（）e?

?

dn?

1nb　　则导体板上相应的总电荷　　?

?

x2?

0U0n?

d?

nb4?

Ub00q2?

?

?

2dx?

2?

?

2dx?

?

2?

?

sin（）edx?

?

2?

12sin（n?

d）n?

db?

dn?

1nb0n?

1?

?

0?

?

?

　　2?

2?

0bU011n?

dWe?

q2U0?

?

sin（）?

222?

dn?

1nb相应的电场储能为　　2We4?

0b?

1n?

dCf?

2?

2?

2sin（）U0?

dn?

1nb　　其边缘电容为　　如题图所示的导体槽，底面保持电位　　U0，其余两面电位为零，求槽内的电位的解。

　　解根据题意，电位?

（x,y）满足的边界条件为　　y?

）?

a（y,?

）0①?

（0,y?

0（y?

?

）②?

（x,y）③　　?

（x,0?

）U0　　根据条件①和②，电位?

（x,y）的通解应取为　　oU0　　　　a题图　　　　ax　　?

（x,y）?

?

Ane?

n?

yasin（n?

1?

n?

x）a　　n?

x）a　　条件③，有　　　　U0?

?

Ansin（n?

1?

sin（两边同乘以　　n?

x）a，并从0到a对x积分，得到　　?

4U0,?

a2U0n?

x?

n?

2U0An?

sin（）dx?

（1?

cosn?

）?

?

a?

a?

0，n?

0n?

1,3,5,n?

2,4,6,ya　　?

（x,y）?

故得到槽内的电位分布为　　4U01?

n?

?

e?

n?

1,3,5nn?

xsin（）a　　一长、宽、高分别为a、b、c的长方体表面保持零电位，体积内填充密度为　　?

?

y（y?

b）sin（?

xa）sin（?

zc　　）的电荷。

求体积内的电位?

。

解在体积内，电位?

满足泊松方程　　?

2?

?

2?

?

2?

1?

x?

z?

?

?

?

y（y?

b）sin（）sin（）?

x2?

y2?

z2?

0ac　　　　长方体表面S上，电位?

满足边界条件　　?

S?

0。

此设电位?

的通解为　　?

（x,y,z）?

1?

0?

?

?

Amnpsin（m?

1n?

1p?

1?

?

?

m?

xn?

yp?

z）sin（）sin（）abc　　代入泊松方程，可得　　?

?

?

Amnp[（m?

1n?

1p?

1?

?

?

m?

2n?

2p?

）?

（）?

（）2]?

abc　　sin（m?

xn?

yp?

z?

x?

z）sin（）sin（）?

y（y?

b）sin（）sin（）abcac　　（m?

1或p?

1）　　此可得　　Amnp?

0?

?

2n?

2?

2n?

yA[（）?

（）?

（）]sin（）?

?

1n1abcby（y?

b）　　　　p?

1式，可得　　n?

?

2n?

yA1n1[（）?

（）2?

（）2]?

?

y（y?

b）sin（）dy?

4（b）3（cosn?

?

1）?

abcb0bbn?

　　2?

b?

8b2?

?

3?

（n?

）?

0?

n?

1,3,5,n?

2,4,6,8b2?

　　?

（x,y,z）?

?

故　　　　1?

xn?

y?

zsin（）sin（）sin（）?

51n1?

?

0n?

1,3,5nabc,3[（）2?

（）2?

（）]2abc　　如题图所示的一对无限大接地平行导体板，板间有一与z轴平行的线电荷　　ql，　　其位置为　　（0,d）。

求板间的电位函数。

　　解于在（0,d）处有一与z轴平行的线电荷个区域，则这两个区域中的电位上，可利用?

函数将线电荷ql，以x?

0为界将场空间分割为x?

0和x?

0两　　?

1（x,y）和?

2（x,y）都满足拉普拉斯方程。

而在x?

0的分界面　　ql表示成电荷面密度?

（y）?

ql?

（y?

y0）。

　　电位的边界条件为　　y①　　?

1（x,0）=?

1（x,a）?

0　　?

2（x,0）=?

2（x,a）?

0　　qld?

?

）a②　　1（x,y）?

0（x?

　　ox题　　图　　?

2（x,y）?

0（x?

?

?

）　　　　③　　?

1（0,y）?

?

2（0,y）　　（?

?

2ql?

x?

?

?

1?

x）x?

0?

?

?

?

（y?

d）0　　条件①和②，可设电位函数的通解为　　?

?

1（x,y）?

?

A?

n?

xan?

ynesin（n?

1a）　　（x?

0）　　?

?

n?

y2（x,y）?

?

B?

xanensin（n?

1a）　　（x?

0）　　条件③，有　　?

?

?

An?

yBn?

ynsin（）?

nsin（n?

1a?

n?

1a）　　　　?

?

?

An?

n?

y?

n?

nsin（n?

1aa）?

?

Bnn?

1asin（n?

yqa）?

l?

?

（y?

d）0　　式，可得　　An?

Bn　　　　　　　　sin（m?

y将式两边同乘以　　a），并从0到a对y积分，有　　1）　　（

　　　　　　An?

Bn?

2qln?

?

0?

a0?

（y?

d）sin（2qln?

yn?

d）dy?

sin（）an?

?

0a　　n?

d）a　　式和解得　　An?

Bn?

　　　　qln?

?

0sin（?

1（x,y）?

故　　　　1n?

d?

n?

xan?

ysin（）esin（）?

?

?

0n?

1naa　　（x?

0）ql?

?

q?

l2（x,y）?

1?

?

?

nsin（n?

dn?

xan?

ya）esin（a）0n?

1　　（x?

0）　　如题图所示的矩形导体槽的电位为零，槽中有一与槽平行的线电荷　　ql。

求槽内的电位函数。

　　解于在　　（x0,y0）处有一与z轴平行的线电荷ql，以　　x?

x0为界将　　场空间分割为　　0?

x?

x0和x0?

x?

a两个区域，则这两个区（x0,y0）域中的电位?

1（x,y）和?

2（x,y）都满足拉普拉斯方程。

而在x?

x0的　　分界面上，可利用?

函数将线电荷ql表示成电荷面密度　　?

（y）?

ql?

（y?

y0），电位的边界条件为　　①?

1（0,y=），0?

2（a,y）?

0　　②?

1（x,0）=?

1（x,b）?

0　　?

2（x,0）=?

2（x,b）?

0　　③　　?

1（x0,y）?

?

2（x0,y）（?

?

2?

x?

?

?

1?

x）x?

x0?

?

ql?

?

（y?

y0）0　　条件①和②，可设电位函数的通解为　　?

?

1（x,y）?

?

Ansin（n?

yn?

xn?

1b）sinh（b）　　（0?

x?

x0）　　ybqloax题图　　　　　　B?

（x,y）?

?

2n?

1?

nsin（n?

yn?

）sinh[（a?

x）]（x?

x?

a）bb0条件③，有　　?

n?

x0n?

yn?

yn?

Asin（）sinh（）?

Bsin（）sinh[（a?

x0）]?

?

nnbbbbn?

1n?

1　　?

?

?

Ann?

1n?

x0n?

n?

ysin（）cosh（）?

bbb　　qln?

n?

yn?

?

?

（y?

y0）Bnsin（）cosh[（a?

x0）]?

?

0bbbn?

1　　　　?

式，可得　　Ansinh（n?

x0n?

）?

Bnsinh[（a?

x0）]?

0bb　　　　　　sin（将式两边同乘以　　m?

y）b，并从0到b对y积分，有　　2qln?

x0n?

?

Ancosh（）?

Bncosh[（a?

x0）]n?

?

0bb2qln?

y0sin（）n?

?

0b　　　　式和解得　　?

b0?

（y?

y0）sin（n?

y）dy?

b　　An?

　　　　2qln?

y01n?

sinh[（a?

x0）]sin（）sinh（n?

ab）n?

?

0bb　　Bn?

2qln?

x0n?

y01sinh（）sin（）sinh（n?

ab）n?

?

0bb　　?

1（x,y）?

故　　　　1n?

sinh[（a?

x0）]?

?

?

0n?

1nsinh（n?

ab）b2ql?

?

sin（n?

y0n?

xn?

y）sinh（）sin（）bbb　　（0?

x?

x0）　　?

2（x,y）?

n?

x01sinh（）?

?

?

0n?

1nsinh（n?

ab）b2ql?

?

sin（若以　　n?

y0n?

n?

y）sinh[（a?

x）]sin（）bbb（x0?

x?

a）　　y?

y0为界将场空间分割为0?

y?

y0和y0?

y?

b两个区域，则可类似地得到　　?

1（x,y）?

?

sin（1n?

sinh[（b?

y0）]?

?

?

0n?

1nsinh（n?

ba）a2ql?

n?

x0n?

yn?

x）sinh（）sin（）aaa　　（0?

y?

y0）　　?

2（x,y）?

?

sin（n?

y01sinh（）?

?

?

0n?

1nsinh（n?

ba）a2ql?

n?

x0n?

n?

x）sinh[（b?

y）]sin（）aaa（y0?

y?

b）　　如题图所示，在均匀电场　　E0?

exE0中垂直于电场方向放置一根无限长导体圆柱，圆柱　　的半径为a。

求导体圆柱外的电位?

和电场E以及导体表面的感应电荷密度?

。

解在外电场电荷的电位　　E0作用下，导体表面产生感应电荷，圆柱外的电位是外电场E0的电位?

0与感应　　?

in的叠加。

于导体圆柱为无限长，所以电位与变量z无关。

在圆柱面坐标系中，　　外电场的电位为荷的电位　　?

0（r,?

）?

?

E0x?

C?

?

E0rcos?

?

C　　，而感应电　　?

in（r,?

）应与?

0（r,?

）一样按cos?

变化，而且在无限远处为0。

于导体是等位体，　　所以?

（r,?

）满足的边界条件为　　y?

）?

C①?

（a,②　　?

（r,?

）?

?

Es?

C0rco?

r（?

?

）　　E0　　aox　　?

1?

（r,?

）?

?

Ercos?

?

Arcos?

?

C01此可设　　?

1?

Eacos?

?

Aacos?

?

C?

C01条件①，有　　题图　　2A?

aE01于是得到　　故圆柱外的电位为　　?

（r,?

）?

（?

r?

a2r?

1）E0cos?

?

C　　若选择导体圆柱表面为电位参考点，即?

（a,?

）?

0，则C?

0。

导体圆柱外的电场则为　　22?

?

1?

?

aaE?

?

?

?

（r,?

）?

?

er?

e?

?

?

er（1?

）E0cos?

?

e?

（?

1?

）E0sin?

?

rr?

?

r2r2　　导体圆柱表面的电荷面密度为　　?

?

?

?

0?

?

（r,?

）E0co?

sr?

a?

2?

0?

r　　在介电常数为?

的无限大的介质中，沿z轴方向开一个半径为a的圆柱形空腔。

沿x轴方向外加一均匀电场解在电场电场　　E0?

exE0，求空腔内和空腔外的电位函数。

　　E0的作用下，介质产生极化，空腔表面形成极化电荷，空腔内、外的电场E为外加　　E0与极化电荷的电场Ep的叠加。

外电场的电位为?

0（r,?

）?

?

E0x?

?

E0rcos?

而感应电　　荷的电位　　?

in（r,?

）应与?

0（r,?

）一样按cos?

变化，则空腔内、外的电位分别为?

1（r,?

）和　　?

2（r,?

）的边界条件为　　①　　r?

?

时，?

2（r,?

）?

?

E0rcos?

；　　?

（r,?

）为有限值；　　②r?

0时，1r?

a时，?

1（a,?

）?

?

2（a,?

），　　?

0?

?

1?

?

?

?

2?

r?

r　　③　　条件①和②，可设　　?

1（r,?

）?

?

E0rcos?

?

Ar1cos?

　　（r?

a）?

2（r,?

）?

?

E0rcos?

?

A2r?

1cos?

　　（r?

a）　　?

1?

2Aa?

Aa?

?

E?

?

A?

?

?

E?

?

aA22010带入条件③，有1，00A1?

?

此解得　　　　?

?

?

0?

?

?

02E0A2?

?

aE0?

?

?

0，?

?

?

0　　2?

Ercos?

?

?

?

00（r?

a）　　　　?

1（r,?

）?

?

所以　　　　?

2（r,?

）?

?

[1?

?

?

?

0a2（）]E0rcos?

?

?

?

0r　　（r?

a）　　一个半径为b、无限长的薄导体圆柱面被分割成四个四分之一圆柱面，如题图所示。

　　第二象限和第四象限的四分之一圆柱面接地，第一象限和第三象　　y限分别保持电位　　U0和?

U0。

求圆柱面内部的电位函数。

　　0boU00解题意可知，圆柱面内部的电位函数满足边界条件为　　x　　①?

（0,?

）为有限值；　　?

U0　　题图　　②　　条件①可知，圆柱面内部的电位函数的通解为　　?

U0?

0?

?

（b,?

）?

?

?

?

U0?

?

00?

?

?

?

2?

2?

?

?

?

?

?

?

?

3?

23?

2?

?

?

2?

；　　?

（r,?

）?

?

rn（Ansinn?

?

Bncosn?

）n?

1?

　　（r?

b）　　代入条件②，有此得到　　?

b（Ann?

1?

nsin?

?

Bncno?

s?

?

）b?

（,）　　1An?

nb?

2?

?

?

（b,?

）sinn?

d?

?

01b?

n?

23?

2[?

U0sinn?

d?

?

0?

?

U0sinn?

d?

]?

U0（1?

cosn?

）?

bnn?

?

2U0,n?

1,3,5,?

n?

n?

b?

?

0，n?

2,4,6,　　1Bn?

nb?

2?

?

?

（b,?

）cosn?

d?

?

b?

[?

Un01?

203?

2cosn?

d?

?

0U?

?

0cosn?

d?

]?

　　n?

3?

2U0,?

（?

1）2nn?

b?

U0n?

3n?

（sin?

sin）?

?

0，?

bnn?

22n?

1,3,5,n?

2,4,6,　　?

（r,?

）?

故　　　　2U0?

n?

1,3,5,?

?

n?

31rn（）[sinn?

?

（?

1）2cosn?

]nb　　（r?

b）

　　　　　　如题图所示，一无限长介质圆柱的半径为a、介电常数为?

，在距离轴线有一与圆柱平行的线电荷解在线电荷　　r0（r0?

a）处，　　ql，计算空间各部分的电位。

　　ql作用下，介质圆柱产生极化，介质圆柱内外的电位?

（r,?

）均为线电荷ql的电位　　?

l（r,?

）与极化电荷的电位?

p（r,?

）的叠加，即?

（r,?

）?

?

l（r,?

）?

?

p（r,?

）。

线电荷ql的电位　　?

l（r,?

）?

?

为　　　　yql2?

?

0lnR?

?

ql2?

?

0lnr2?

r02?

2rr0cos?

　　　　而极化电荷的电位　　?

p（r,?

）满足拉普拉斯方程，且是?

的偶函数。

　　a?

o　　?

0ql介质圆柱内外的电位　　?

1（r,?

）和?

2（r,?

）满足的边界条件为分别为　　r0x　　①②　　?

1（0?

为有限值；）　　题图　　?

2（r,?

）?

?

（,?

）r?

（?

）lr?

1?

?

2,?

?

?

1?

?

?

?

02?

r?

r　　　　③r?

a时，　　条件①和②可知，　　?

1（r,?

）和?

2（r,?

）的通解为　　?

?

1（r,?

）?

?

l（r,?

）?

?

Anrncosn?

n?

1?

　　（0?

r?

a）　　　　?

2（r,?

）?

?

l（r,?

）?

?

Bnr?

ncosn?

n?

1　　（a?

r?

?

）　　　　将式～带入条件③，可得到　　?

Aann?

1?

ncosn?

?

?

Bna?

ncosn?

n?

1?

　　　　　　　　?

（An?

nan?

1?

Bn?

0na?

n?

1）cosn?

?

（?

?

?

0）n?

1?

ql?

lnR2?

?

0?

r?

r?

a　　　　n当　　r?

r0时，将lnR展开为级数，有　　lnR?

lnr0?

?

1r（n?

1nr0）cn?

os　　　　　　带入式，得　　?

（An?

nan?

1?

n?

1?

Bn?

0na?

n?

1（?

?

?

0）ql）cosn?

?

?

2?

?

0r0an?

1（）cosn?

?

rn?

10　　　　?

n?

nAa?

Bann式和，有　　　　An?

nan?

1?

Bn?

0na?

n?

1?

?

（?

?

?

0）qlan?

1（）2?

?

0r0r0　　ql（?

?

?

0）1ql（?

?

?

0）a2nAn?

?

Bn?

?

nn2?

?

（?

?

?

）nr2?

?

（?

?

?

）nr000000此解得，　　故得到圆柱内、外的电位分别为　　ql（?

?

?

0）?

1rn?

1（r,?

）?

?

lnr?

r?

2rr0cos?

?

?

（）cosn?

2?

?

02?

?

0（?

?

?

0）n?

1nr0　　　　ql220ql（?

?

?

0）?

1a2n?

2（r,?

）?

?

lnr?

r?

2rr0cos?

?

?

（）cosn?

2?

?

02?

?

0（?

?

?

0）n?

1nr0r　　　　ql220讨论：

利用式，可将式和中得第二项分别写成为　　ql（?

?

?

0）?

1rnql（?

?

?

0）?

（）cosn?

?

（lnR?

lnr0）?

2?

?

0（?

?

?

0）n?

1nr02?

?

0（?

?

?

0）ql（?

?

?

0）?

1a2nql（?

?

?

0）?

（）cosn?

?

（lnR?

?

lnr）?

2?

?

0（?

?

?

0）n?

1nr0r2?

?

0（?

?

?

0）　　其中　　R?

?

r2?

（a2r0）2?

2r（a2r0）cos?

。

因此可将　　?

1（r,?

）和?

2（r,?

）分别写成为　　?

1（r,?

）?

?

2?

0qlq（?

?

?

0）lnR?

llnr02?

?

0?

?

?

02?

?

0（?

?

?

0）1ql2?

?

0lnR?

1?

（?

?

?

0）ql1（?

?

?

0）qllnR?

?

lnr2?

?

0?

?

?

02?

?

0?

?

?

0　　　　?

2（r,?

）?

?

2?

0qlr,?

?

?

0所得结果可知，介质圆柱内的电位与位于的线电荷的电位相同，而介质圆　　a2　　（,0）　　r,qr柱外的电位相当于三根线电荷所产生，它们分别为：

位于的线电荷l；位于0的　　?

?

?

0?

?

?

0qlql?

?

?

?

?

?

00线电荷；位于r?

0的线电荷。

　　?

将上题的介质圆柱改为导体圆柱，重新计算。

　　解导体圆柱内的电位为常数，导体圆柱外的电位?

（r,?

）均为线电荷电荷的电位　　ql的电位?

l（r,?

）与感应　　?

in（r,?

）的叠加，即?

（r,?

）?

?

l（r,?

）?

?

in（r,?

）。

线电荷ql的电位为　　ql2?

?

0lnR?

?

ql2?

?

0lnr2?

r02?

2rr0cos?

　　　　?

l（r,?

）?

?

而感应电荷的电位　　?

in（r,?

）满足拉普拉斯方程，且是?

的偶函数。

　　?

（r,?

）满足的边界条件为　　①?

（r,?

）?

?

lr（?

（r）?

?

）；　　②　　?

（a,?

）?

C。

　　于电位分布是?

的偶函数，并条件①可知，?

（r,?

）的通解为　　?

?

（r,?

）?

?

l（r,?

）?

?

Annr?

cosn?

n?

0　　　　将式和带入条件②，可得到　　?

?

Aa?

nncosn?

?

C?

qln?

02?

?

lna2?

r20?

2ar0cos?

0　　2将　　lna?

r20?

2ar0cos?

展开为级数，有　　lna2?

r2?

0?

2ar?

?

lnr1a0cos0?

?

（r）ncosn?

n?

1n0　　带入式，得　　?

?

A?

nq?

lnacosn?

?

C?

?

?

[lnr1ann?

020?

?

（）cosn?

]0n?

1nr0　　A?

C?

qlql此可得　　2?

?

lnrAa2n00n?

?

0，　　2?

?

0n（r）0故导体圆柱外的电为　　?

（r,?

）?

?

ql2?

?

lnr2?

r20?

2rr0cos?

?

0　　3）　　　　　　qlql?

讨论：

利用式，可将式中的第二项写成为　　ql1a2n?

（）cosn?

?

（lnR?

?

lnr）?

2?

?

0n?

1nr0r2?

?

0　　ql?

其中　　R?

?

r2?

（a2r0）2?

2r（a2r0）cos?

。

因此可将?

（r,?

）写成为　　?

（r,?

）?

?

ql2?

?

0lnR?

ql2?

?

0lnR?

?

ql2?

?

0lnr?

C?

ql2?

?

0lnr0　　此可见，导体圆柱外的电位相当于三根线电荷所产生，它们分别为：

位于q的线电荷l；　　a2　　（,0）　　?

qqr位于0的线电荷l；位于r?

0的线电荷l。

　　在均匀外电场　　E0?

ezE0中放入半径为a的导体球，设导体充电至U0；　　导体上　　充有电荷Q。

试分别计算两种情况下球外的电位分布。

解这里导体充电至时导体球面上的电荷密度在　　U0应理解为未加外电场E0时导体球相对于无限远处的电位为U0，此　　?

?

?

0U0a，q?

4?

?

0aU0。

E总电荷将导体球放入均匀外电场0中后，　　E0的作用下，产生感应电荷，使球面上的电荷密度发生变化，但总电荷q仍保持不变，导体　　球仍为等位体。

设　　?

（r,?

）?

?

0（r,?

）?

?

in（r,?

），其中　　?

0（r,?

）?

?

E0z?

?

E0rcos?

　　是均匀外电场　　E0的电位，?

in（r,?

）是导体球上的电荷产生的电位。

　　电位?

（r,?

）满足的边界条件为①　　r?

?

时，?

（r,?

）?

?

E0rcos?

；　　②r?

a时，　　?

（a,?

）?

C0，　　?

?

0?

S?

?

dS?

q?

r　　其中　　C0为常数，若适当选择?

（r,?

）的参考点，可使C0?

U0。

　　?

2?

1?

（r,?

）?

?

Ercos?

?

Arcos?

?

Br?

C1011条件①，可设　　3A?

aE0，B1?

aU0，C1?

C0?

U01代入条件②，可得到　　3?

2?

1C?

U?

（r,?

）?

?

Ercos?

?

aErcos?

?

aUr00000若使，可得到　　导体上充电荷Q时，令　　Q?

4?

?

0aU0，有　　U0?

Q4?

?

0a　　Q4?

?

0r　　?

（r,?

）?

?

E0rcos?

?

a3E0r?

2cos?

?

利用的结果，得到　　如题图所示，无限大的介质中外加均匀电场　　E0?

ezE0，在介质中有一个半径为　　a的球形空腔。

求空腔内、外的电场E和空腔表面的极化电荷密度。

　　解在电场电场　　E0的作用下，介质产生极化，空腔表面形成极化电荷，空腔内、外的电场E为外加　　E0与极化电荷的电场Ep的叠加。

设空腔内、外的电位分别为?

1（r,?

）和?

2（r,?

），则边界　　条件为①　　r?

?

时，?

2（r,?

）?

?

E0rcos?

；　　?

（r,?

）为有限值；②r?

0时，1r?

a时，?

1（a,?

）?

?

2（a,?

），　　?

0?

?

1?

?

?

?

2?

r?

r　　③　　条件①和②，可设　　?

1（r,?

）?

?

E0rcos?

?

Ar1cos?

?

2（r,?

）?

?

E0rcos?

?

A2r?

2cos?

　　带入条件③，有　　?

3A1a?

A2a?

2，?

?

0E0?

?

0A1?

?

?

E0?

2?

aA2　　a?

?

0o　　　　z　　?

?

?

0?