第二章28函数与方程.docx
- 文档编号:23868649
- 上传时间:2023-05-21
- 格式:DOCX
- 页数:18
- 大小:108.85KB
第二章28函数与方程.docx
《第二章28函数与方程.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《第二章28函数与方程.docx(18页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
第二章28函数与方程
§2.8 函数与方程
最新考纲
考情考向分析
结合二次函数的图象,了解函数的零点与方程根的联系,判断一元二次方程根的存在性及根的个数.
利用函数零点的存在性定理或函数的图象,对函数是否存在零点进行判断或利用零点(方程实根)的存在情况求相关参数的范围,是高考的热点,题型以选择、填空题为主,也可和导数等知识交汇出现解答题,中高档难度.
1.函数的零点
(1)函数零点的定义
对于函数y=f(x)(x∈D),把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)(x∈D)的零点.
(2)三个等价关系
方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点.
(3)函数零点的判定(零点存在性定理)
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.
2.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系
Δ>0
Δ=0
Δ<0
二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象
与x轴的交点
(x1,0),(x2,0)
(x1,0)
无交点
零点个数
2
1
0
概念方法微思考
函数f(x)的图象连续不断,是否可得到函数f(x)只有一个零点?
提示 不能.
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.( × )
(2)函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点(函数图象连续不断),则f(a)·f(b)<0.( × )
(3)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在b2-4ac<0时没有零点.( √ )
(4)f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x,当x∈(4,+∞)时,恒有h(x) 题组二 教材改编 2.[P92A组T5]函数f(x)=lnx-的零点所在的大致区间是( ) A.(1,2)B.(2,3) C.和(3,4)D.(4,+∞) 答案 B 解析 ∵f (2)=ln2-1<0,f(3)=ln3->0 且函数f(x)的图象在(0,+∞)上连续不断,f(x)为增函数, ∴f(x)的零点在区间(2,3)内. 3.[P88例1]函数f(x)=ex+3x的零点个数是( ) A.0B.1C.2D.3 答案 B 解析 由f′(x)=ex+3>0,得f(x)在R上单调递增,又f(-1)=-3<0,f(0)=1>0,因此函数f(x)有且只有一个零点. 题组三 易错自纠 4.函数f(x)=ln2x-3lnx+2的零点是( ) A.(e,0)或(e2,0)B.(1,0)或(e2,0) C.(e2,0)D.e或e2 答案 D 解析 f(x)=ln2x-3lnx+2=(lnx-1)(lnx-2), 由f(x)=0得x=e或x=e2. 5.已知函数f(x)=x-(x>0),g(x)=x+ex,h(x)=x+lnx(x>0)的零点分别为x1,x2,x3,则( ) A.x1 C.x2 答案 C 解析 作出y=x与y=(x>0),y=-ex,y=-lnx(x>0)的图象,如图所示,可知选C. 6.若二次函数f(x)=x2-2x+m在区间(0,4)上存在零点,则实数m的取值范围是. 答案 (-8,1] 解析 m=-x2+2x在(0,4)上有解,又-x2+2x=-(x-1)2+1,∴y=-x2+2x在(0,4)上的值域为(-8,1],∴-8 题型一 函数零点所在区间的判定 1.函数f(x)=lnx-的零点所在的区间是( ) A.(1,2)B.(2,3) C.(3,4)D.(4,5) 答案 B 解析 函数f(x)=lnx-在(1,+∞)上是增函数,且在(1,+∞)上连续.因为f (2)=ln2-2<0,f(3)=ln3-1>0,所以f (2)f(3)<0,所以函数的零点所在的区间是(2,3). 2.若a A.(a,b)和(b,c)内B.(-∞,a)和(a,b)内 C.(b,c)和(c,+∞)内D.(-∞,a)和(c,+∞)内 答案 A 解析 ∵a0, f(b)=(b-c)(b-a)<0,f(c)=(c-a)(c-b)>0, 由函数零点存在性定理可知,在区间(a,b),(b,c)内分别存在零点,又函数f(x)是二次函数,最多有两个零点.因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a,b),(b,c)内,故选A. 3.已知函数f(x)=logax+x-b(a>0且a≠1).当2 答案 2 解析 对于函数y=logax,当x=2时,可得y<1,当x=3时,可得y>1,在同一坐标系中画出函数y=logax,y=-x+b的图象,判断两个函数图象的交点的横坐标在(2,3)内,∴函数f(x)的零点x0∈(n,n+1)时,n=2. 思维升华判断函数零点所在区间的基本依据是零点存在性定理.对于含有参数的函数的零点区间问题,往往要结合图象进行分析,一般是转化为两函数图象的交点,分析其横坐标的情况进行求解. 题型二 函数零点个数的判断 例1 (1)函数f(x)=的零点个数是. 答案 2 解析 当x≤0时,令x2-2=0,解得x=-(正根舍去),所以在(-∞,0]上,f(x)有一个零点;当x>0时,f′(x)=2+>0恒成立,所以f(x)在(0,+∞)上是增函数. 又因为f (2)=-2+ln2<0,f(3)=ln3>0,所以f(x)在(0,+∞)上有一个零点,综上,函数f(x)的零点个数为2. (2)(2018·天津河东区模拟)函数f(x)=|x-2|-lnx在定义域内的零点的个数为( ) A.0B.1C.2D.3 答案 C 解析 由题意可知f(x)的定义域为(0,+∞),在同一直角坐标系中画出函数y=|x-2|(x>0),y=lnx(x>0)的图象,如图所示. 由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为2. (3)函数f(x)=-cosx在[0,+∞)内( ) A.没有零点B.有且仅有一个零点 C.有且仅有两个零点D.有无穷多个零点 答案 B 解析 当x∈时,因为f′(x)=+sinx,>0,sinx>0,所以f′(x)>0,故f(x)在[0,1]上单调递增,且f(0)=-1<0,f (1)=1-cos1>0,所以f(x)在[0,1]内有唯一零点.当x>1时,f(x)=-cosx>0,故函数f(x)在[0,+∞)上有且仅有一个零点,故选B. 思维升华函数零点个数的判断方法 (1)直接求零点. (2)利用零点存在性定理再结合函数的单调性确定零点个数. (3)利用函数图象的交点个数判断. 跟踪训练1 (1)已知函数f(x)=则函数g(x)=f(1-x)-1的零点个数为( ) A.1B.2 C.3D.4 答案 C 解析 g(x)=f(1-x)-1 = = 易知当x≥1时,函数g(x)有1个零点;当x<1时,函数g(x)有2个零点,所以函数g(x)的零点共有3个,故选C. (2)函数f(x)=4cos2·cos-2sinx-|ln(x+1)|的零点个数为. 答案 2 解析 f(x)=2(1+cosx)sinx-2sinx-|ln(x+1)|=sin2x-|ln(x+1)|,x>-1, 函数f(x)的零点个数即为函数y1=sin2x(x>-1)与y2=|ln(x+1)|(x>-1)的图象的交点个数. 分别作出两个函数的图象,如图,可知有两个交点,则f(x)有两个零点. 题型三 函数零点的应用 命题点1 根据函数零点个数求参数 例2 (1)(2018·安庆模拟)若函数f(x)=x2-ax+1在区间上有零点,则实数a的取值范围是( ) A.(2,+∞)B.[2,+∞) C.D. 答案 D 解析 由题意知方程ax=x2+1在上有实数解, 即a=x+在上有解,设t=x+,x∈,则t的取值范围是.所以实数a的取值范围是. (2)已知函数f(x)= 若关于x的方程f(x)=k有三个不同的实根,则实数k的取值范围是. 答案 (-1,0) 解析 关于x的方程f(x)=k有三个不同的实根,等价于函数y=f(x)与函数y=k的图象有三个不同的交点,作出函数的图象如图所示,由图可知实数k的取值范围是(-1,0). 命题点2 根据函数零点的范围求参数 例3若函数f(x)=(m-2)x2+mx+2m+1的两个零点分别在区间(-1,0)和区间(1,2)内,则m的取值范围是. 答案 解析 依题意,结合函数f(x)的图象分析可知,m需满足 即 解得 思维升华根据函数零点的情况求参数有三种常用方法 (1)直接法: 直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围. (2)分离参数法: 先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决. (3)数形结合法: 先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,然后数形结合求解. 跟踪训练2 (1)方程 (a-2x)=2+x有解,则a的最小值为. 答案 1 解析 若方程 (a-2x)=2+x有解,则2+x=a-2x有解,即x+2x=a有解,因为x+2x≥1,故a的最小值为1. (2)已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-m有三个零点,则实数m的取值范围是. 答案 解析 作出函数f(x)的图象如图所示. 当x≤0时,f(x)=x2+x=2-≥-,若函数f(x)与y=m的图象有三个不同的交点,则- 利用转化思想求解函数零点问题 在求和函数零点有关的参数范围问题中,一般有两种思路: (1)函数零点个数可转化为两个函数图象的交点个数,利用数形结合求解参数范围. (2)“a=f(x)有解”型问题,可以通过求函数y=f(x)的值域解决. 例 (1)若函数f(x)=|logax|-2-x(a>0且a≠1)的两个零点是m,n,则( ) A.mn=1B.mn>1 C.0 答案 C 解析 由题设可得|logax|=x,不妨设a>1,m (2)(2018·全国Ⅰ)已知函数f(x)=g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是( ) A.[-1,0)B.[0,+∞) C.[-1,+∞)D.[1,+∞) 答案 C 解析 令h(x)=-x-a, 则g(x)=f(x)-h(x). 在同一坐标系中画出y=f(x),y=h(x)图象的示意图,如图所示. 若g(x)存在2个零点,则y=f(x)的图象与y=h(x)的图象有2个交点. 方法一 平移y=h(x)的图象可知,当直线y=-x-a过点(0,1)时,有2个交点, 此时1=-a,a=-1. 当y=-x-a在y=-x+1上方,即a<-1时,仅有1个交点,不符合题意; 当y=-x-a在y=-x+1下方,即a>-1时,有2个交点,符合题意. 综上,a的取值范围为[-1,+∞). 故选C. 方法二 由图知-a≤1,∴a≥-1. (3)若关于x的方程22x+2xa+a+1=0有实根,则实数a的取值范围为. 答案 (-∞,2-2] 解析 由方程,解得a=-,设t=2x(t>0), 则a=-=- =2-,其中t+1>1, 由基本不等式,得(t+1)+≥2, 当且仅当t=-1时取等号,故a≤2-2. 1.已知函数f(x)=-log2x,在下列区间中,包含f(x)零点的区间是( ) A.(0,1)B.(1,2) C.(2,4)D.(4,+∞) 答案 C 解析 因为f (1)=6-log21=6>0,f (2)=3-log22=2>0,f(4)=-log24=-<0,所以函数f(x)的零点所在区间为(2,4). 2.函数f(x)= -x的零点个数为( ) A.0B.1C.2D.3 答案 B 解析 函数f(x)= -x的零点个数是方程 -x=0的解的个数,即方程 =x的解的个数,也就是函数y= 与y=x的图象的交点个数,在同一坐标系中作出两个函数的图象如图所示,可得交点个数为1. 3.函数f(x)=2x--a的一个零点在区间(1,2)内,则实数a的取值范围是( ) A.(1,3)B.(1,2) C.(0,3)D.(0,2) 答案 C 解析 因为f(x)在(0,+∞)上是增函数,则由题意得f (1)·f (2)=(0-a)(3-a)<0,解得0 4.已知函数f(x)=则使方程x+f(x)=m有解的实数m的取值范围是( ) A.(1,2) B.(-∞,-2] C.(-∞,1)∪(2,+∞) D.(-∞,1]∪[2,+∞) 答案 D 解析 当x≤0时,x+f(x)=m,即x+1=m,解得m≤1;当x>0时,x+f(x)=m,即x+=m,解得m≥2,即实数m的取值范围是(-∞,1]∪[2,+∞).故选D. 5.(2018·昆明模拟)已知关于x的方程=a|x|有三个不同的实数解,则实数a的取值范围是( ) A.(-∞,0)B.(0,1) C.(1,+∞)D.(0,+∞) 答案 C 解析 方程=a|x|有三个不同的实数解等价于函数y=与y=a|x|的图象有三个不同的交点.在同一直角坐标系中作出函数y=与y=a|x|的图象,如图所示,由图易知,a>0.当-2 因为f′(x)=-,则有 解得a=1,所以实数a的取值范围为(1,+∞),故选C. 6.已知f(x)=则函数g(x)=f(x)-ex的零点个数为. 答案 2 解析 函数g(x)=f(x)-ex的零点个数即为函数y=f(x)与y=ex的图象的交点个数.作出函数图象可知有2个交点,即函数g(x)=f(x)-ex有2个零点. 7.若函数f(x)=x2+ax+b的两个零点是-2和3,则不等式af(-2x)>0的解集是. 答案 解析 ∵f(x)=x2+ax+b的两个零点是-2,3. ∴-2,3是方程x2+ax+b=0的两根, 由根与系数的关系知 ∴ ∴f(x)=x2-x-6.∵不等式af(-2x)>0, 即-(4x2+2x-6)>0⇔2x2+x-3<0, 解集为. 8.已知函数f(x)=若存在实数b,使函数g(x)=f(x)-b有两个零点,则a的取值范围是. 答案 (-∞,0)∪(1,+∞) 解析 令φ(x)=x3(x≤a),h(x)=x2(x>a),函数g(x)=f(x)-b有两个零点,即函数y=f(x)的图象与直线y=b有两个交点,结合图象(图略)可得a<0或φ(a)>h(a),即a<0或a3>a2,解得a<0或a>1,故a∈(-∞,0)∪(1,+∞). 9.定义在R上的奇函数f(x)满足: 当x>0时,f(x)=2019x+log2019x,则在R上,函数f(x)零点的个数为. 答案 3 解析 因为函数f(x)为R上的奇函数, 所以f(0)=0,当x>0时,f(x)=2019x+log2019x在区间内存在一个零点,又f(x)为增函数, 因此在(0,+∞)内有且仅有一个零点. 根据对称性可知函数在(-∞,0)内有且仅有一个零点, 从而函数f(x)在R上的零点个数为3. 10.已知函数f(x)=x,g(x)= x,记函数h(x)=则函数F(x)=h(x)+x-5的所有零点的和为. 答案 5 解析 由题意知函数h(x)的图象如图所示,易知函数h(x)的图象关于直线y=x对称,函数F(x)所有零点的和就是函数y=h(x)与函数y=5-x图象交点横坐标的和,设图象交点的横坐标分别为x1,x2,因为两函数图象的交点关于直线y=x对称,所以=5-,所以x1+x2=5. 11.设f(x)是定义在R上的偶函数,对任意的x∈R,都有f(x-2)=f(x+2),且当x∈[-2,0]时,f(x)=x-1,若函数g(x)=f(x)-loga(x+2)(a>1)在区间[-2,6]内恰有三个零点,求实数a的取值范围. 解 根据题意得f((x+2)-2)=f((x+2)+2),即f(x)=f(x+4),故函数f(x)的周期为4.若方程f(x)-loga(x+2)=0(a>1)在区间[-2,6]内恰有三个不同的实根,则函数y=f(x)和y=loga(x+2)的图象在区间[-2,6]内恰有三个不同的交点,根据图象可知,loga(6+2)>3且loga(2+2)<3,解得 12.关于x的二次方程x2+(m-1)x+1=0在区间[0,2]上有解,求实数m的取值范围. 解 显然x=0不是方程x2+(m-1)x+1=0的解, 0 又∵y=x+在(0,1]上单调递减,在[1,2]上单调递增, ∴y=x+在(0,2]上的取值范围是[2,+∞), ∴1-m≥2,∴m≤-1, 故m的取值范围是(-∞,-1]. 13.已知f(x)是奇函数并且是R上的单调函数,若函数y=f(2x2+1)+f(λ-x)只有一个零点,则实数λ的值是( ) A.B. C.-D.- 答案 C 解析 依题意,方程f(2x2+1)+f(λ-x)=0只有1个解,故f(2x2+1)=-f(λ-x)=f(x-λ)有1个实数解, ∴2x2+1=x-λ,即2x2-x+1+λ=0有两相等实数解, 故Δ=1-8(1+λ)=0,解得λ=-.故选C. 14.定义在R上的奇函数f(x),当x≥0时,f(x)=则函数F(x)=f(x)-的所有零点之和为. 答案 解析 由题意知,当x<0时, f(x)=作出函数f(x)的图象如图所示,设函数y=f(x)的图象与y=交点的横坐标从左到右依次为x1,x2,x3,x4,x5,由图象的对称性可知,x1+x2=-6,x4+x5=6,x1+x2+x4+x5=0,令-=,解得x3=,所以函数F(x)=f(x)-的所有零点之和为. 15.已知函数f(x)是偶函数,f(0)=0,且x>0时,f(x)是增函数,f(3)=0,则函数g(x)=f(x)+lg|x+1|的零点个数为. 答案 3 解析 画出函数y=f(x)和y=-lg|x+1|的大致图象,如图所示. ∴由图象知,函数g(x)=f(x)+lg|x+1|的零点的个数为3. 16.已知函数f(x)=若f(x)=m有四个零点a,b,c,d,求abcd的取值范围. 解 作出函数f(x)的图象,不妨设a 则-log2a=log2b,∴ab=1. 又根据二次函数的对称性,可知c+d=7, ∴cd=c(7-c)=7c-c2(2 ∴abcd的取值范围是(10,12).
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 第二章 28函数与方程 第二 28 函数 方程
![提示](https://static.bdocx.com/images/bang_tan.gif)