大学物理学第3版修订版北京邮电大学出版社下册第九章习题9答案.docx
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大学物理学第3版修订版北京邮电大学出版社下册第九章习题9答案
习题9
9.1选择题
(1)正方形的两对角线处各放置电荷Q,另两对角线各放置电荷q,若Q所受到合力为零,则Q与q的关系为:
()
(A)Q=-23/2q(B)Q=23/2q(C)Q=-2q(D)Q=2q
[答案:
A]
(2)下面说法正确的是:
()
(A)若高斯面上的电场强度处处为零,则该面内必定没有电荷;
(B)若高斯面内没有电荷,则该面上的电场强度必定处处为零;
(C)若高斯面上的电场强度处处不为零,则该面内必定有电荷;
(D)若高斯面内有电荷,则该面上的电场强度必定处处不为零。
[答案:
D]
(3)一半径为R的导体球表面的面点荷密度为σ,则在距球面R处的电场强度()
(A)σ/ε0(B)σ/2ε0(C)σ/4ε0(D)σ/8ε0
[答案:
C]
(4)在电场中的导体内部的()
(A)电场和电势均为零;(B)电场不为零,电势均为零;(C)电势和表面电势相等;(D)电势低于表面电势。
[答案:
C]
9.2填空题
(1)在静电场中,电势不变的区域,场强必定为。
[答案:
相同]
(2)一个点电荷q放在立方体中心,则穿过某一表面的电通量为,若将点电荷由中
心向外移动至无限远,则总通量将。
[答案:
q/6ε0,将为零]
(3)电介质在电容器中作用(a)——(b)——。
[答案:
(a)提高电容器的容量;(b)延长电容器的使用寿命]
(4)电量Q均匀分布在半径为R的球体内,则球内球外的静电能之比。
[答案:
5:
6]
9.3电量都是q的三个点电荷,分别放在正三角形的三个顶点.试问:
(1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷,就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)?
(2)这种平衡与三角形的边长有无关系?
解:
如题9.3图示
(1)以A处点电荷为研究对象,由力平衡知:
q为负电荷
1q22cos30=1qq
4π0a24π03
00(a)3
解得
q¢=-3q
3
(2)与三角形边长无关.
9.4两小球的质量都是m,都用长为l的细绳挂在同一点,它们带有相同电量,静止时两线夹角为2,如题9.4图所示.设小球的半径和线的质量都可以忽略不计,求每个小球所带的电量.
解:
如题9.4图示
解得q=2lsin4mgtan
9.5根据点电荷场强公式E=q,当被考察的场点距源点电荷很近(r→0)时,则场强→
2
∞,这是没有物理意义的,对此应如何理解?
qv
解:
E=qr0仅对点电荷成立,当r→0时,带电体不能再视为点电荷,再用上式求4πr20
场强是错误的,实际带电体有一定形状大小,考虑电荷在带电体上的分布求出的场强不会是无限大.
9.6在真空中有A,B两平行板,相对距离为d,板面积为S,其带电量分别为+q和-q.则2
这两板之间有相互作用力f,有人说f=q,又有人说,因为f=qE,E=q,所
4d2S
2
0S
以f=q.试问这两种说法对吗?
为什么?
f到底应等于多少?
解:
题中的两种说法均不对.第一种说法中把两带电板视为点电荷是不对的,第二种说法把
合场强E=
0S看成是一个带电板在另一带电板处的场强也是不对的.正确解答应为一个
板的电场为E=2qS
的电场力.
9.7长l=15.0cm的直导线AB上均匀地分布着线密度=5.0x10-9C·m-1的正电荷.试求:
(1)在导线的延长线上与导线B端相距a1=5.0cm处P点的场强;
(2)在导线的垂直平分线上与
用l=15cm,=5.010-9Cm-1,a=12.5cm代入得
E=6.74102NC-1方向水平向右
l
2πl+4d
以=5.010-9Ccm-1,l=15cm,d=5cm代入得
EQ=EQy=14.96102NC-1,方向沿y轴正向
9.8一个半径为R的均匀带电半圆环,电荷线密度为,求环心处O点的场强.解:
如9.8图在圆上取dl=Rd
dq=dl=Rd,它在O点产生场强大小为
dE=4πRdR2方向沿半径向外
E=Ex=2πR,方向沿x轴正向.
9.9均匀带电的细线弯成正方形,边长为l,总电量为q.
(1)求这正方形轴线上离中心为r
处的场强E;
(2)证明:
在rl处,它相当于点电荷q产生的场强E.
解:
如9.9图示,正方形一条边上电荷q4在P点产生物强dEP方向如图,大小为
l
cos=-cos
v
dEP在垂直于平面上的分量dE⊥=dEPcos
9.10
(1)点电荷q位于一边长为a的立方体中心,试求在该点电荷电场中穿过立方体的一个面的电通量;
(2)如果该场源点电荷移动到该立方体的一个顶点上,这时穿过立方体各面的电通量是多少?
解:
(1)由高斯定理
sEdS=q0
立方体六个面,当q在立方体中心时,每个面上电通量相等
∴各面电通量e=
q
60
(2)电荷在顶点时,将立方体延伸为边长2a的立方体,使q处于边长2a的立方体中心,则
q
240
边长2a的正方形上电通量e=60
对于边长a的正方形,如果它不包含q所在的顶点,则e
如果它包含q所在顶点则e=0.
9.11均匀带电球壳内半径6cm,外半径10cm,电荷体密度为2×10-5C·m-3求距球心5cm,8cm,12cm各点的场强.
解:
高斯定理EdS=q,E4πr2=q
s00
当r=5cm时,q=0,E=0
4π
r=8cm时,q=p(r3-r内3)
9.12半径为R1和R2(R2>R1)的两无限长同轴圆柱面,单位长度上分别带有电量和
-,试求:
(1)r (2)R1 解: 高斯定理EdS=qs0 取同轴圆柱形高斯面,侧面积S=2πrl EdS=E2πrl E=沿径向向外2πr E=0 9.13 两个无限大的平行平面都均匀带电,电荷的面密度分别为1和2,试求空间各处场 强. 解: 如题9.13图示,两带电平面均匀带电,电荷面密度分别为1与2, n: 垂直于两平面由1面指为2面. 9.14半径为R的均匀带电球体内的电荷体密度为,若在球内挖去一块半径为r 两球心O与O点的场强,并证明小球空腔内的电场是均匀的. 解: 将此带电体看作带正电的均匀球与带电-的均匀小球的组合,见题9.14图(a). (1)+球在O点产生电场E10=0, (2)+在O产生电场E10=3dOO' 104πd3 -球在O产生电场E20=0 ∴O点电场E0=30OO' 题9.14图(a)题9.14图(b) (3)设空腔任一点P相对O的位矢为r,相对O点位矢为r(如题8-13(b)图) v EP=EPO+EPO=(r-r)=OO'= 333 ∴腔内场强是均匀的. 9.15一电偶极子由q=1.0×10-6C的两个异号点电荷组成,两电荷距离d=0.2cm,把这电偶极子放在1.0×105N·C-1的外电场中,求外电场作用于电偶极子上的最大力矩. 解: ∵电偶极子p在外场E中受力矩 M=pE Mmax=pE=qlE代入数字 M=1.010-6210-31.0105=2.010-4Nm 9.16两点电荷q1=1.5×10C,q2=3.0×10C,相距r1=42cm,要把它们之间的距离变为r2=25cm,需作多少功? 解: A=r2Fdr=r2q1q2dr=q1q2(1-1) r1r24πr24πrr =-6.5510-6J 外力需作的功A=-A=-6.5510-6J 9.17如题9.17图所示,在A,B两点处放有电量分别为+q,-q的点电荷,AB间距离为2R,现将另一正试验点电荷q0从O点经过半圆弧移到C点,求移动过程中电场力作的功. 9.18 解: 如题9.17图示 9.19如题9.18图所示的绝缘细线上均匀分布着线密度为的正电荷,两直导线的长度和半圆环的半径都等于R.试求环中心O点处的场强和电势. 解: (1)由于电荷均匀分布与对称性,AB和CD段电荷在O点产生的场强互相抵消,取dl=Rd 4πR[sin(-2)-sin2] - 2πR (2)AB电荷在O点产生电势,以U=0 同理CD产生U=ln2 2 4π ll UO=U1+U2+U3=2πln2+4 9.20一电子绕一带均匀电荷的长直导线以2×104m·s-1的匀速率作圆周运动.求带电直线上的线电荷密度.(电子质量m0=9.1×10-31kg,电子电量e=1.60×10-19C) 解: 设均匀带电直线电荷密度为,在电子轨道处场强 E= 2πr ev2 ∴=m 2πrr 得=2π0mv=12.510-13Cm-1 e 9.21空气可以承受的场强的最大值为E=30kV·cm-1,超过这个数值时空气要发生火花放电.今有一高压平行板电容器,极板间距离为d=0.5cm,求此电容器可承受的最高电压.解: 平行板电容器内部近似为均匀电场 U=Ed=1.5104V 9.22证明: 对于两个无限大的平行平面带电导体板(题9.21图)来说, (1)相向的两面上,电荷的面密度总是大小相等而符号相反; (2)相背的两面上,电荷的面密度总是大小相等而符号相同. 证: 如题9.21图所示,设两导体A、B的四个平面均匀带电的电荷面密度依次为1,2, 3,4 题9.21图 (1) 则取与平面垂直且底面分别在A、B内部的闭合柱面为高斯面时,有 ∴+=0说明相向两面上电荷面密度大小相等、符号相反; (2) 在A内部任取一点P,则其场强为零,并且它是由四个均匀带电平面产生的场强叠加而成的,即 又∵ 1=4 说明相背两面上电荷面密度总是大小相等,符号相同. 9.23三个平行金属板A,B和C的面积都是200cm2,A和B相距4.0mm,A与C相距2.0mm.B,C都接地,如题9.22图所示.如果使A板带正电3.0×10-7C,略去边缘效应,问B板和C板上的感应电荷各是多少? 以地的电势为零,则A板的电势是多少? 解: 如题9.22图示,令A板左侧面电荷面密度为1,右侧面电荷面密度为2 (1)∵ 题9.22图 UAC=UAB,即 EACdAC=EABdAB 1EACdAB 2EABdAC qA2qA 2=,1= 23S13S qC=-1S=-qA=-2´10C q=-S=-1´10-7C (2) UA=EACdAC=01dAC=2.3103V 9.23两个半径分别为R1和R2(R1 (1)外球壳上的电荷分布及电势大小; (2)先把外球壳接地,然后断开接地线重新绝缘,此时外球壳的电荷分布及电势;*(3)再使内球壳接地,此时内球壳上的电荷以及外球壳上的电势的改变量. 解: (1)内球带电+q;球壳内表面带电则为-q,外表面带电为+q,且均匀分布,其电势 U=E×dr=qdr=q R2R24πr24πR (2)外壳接地时,外表面电荷+q入地,外表面不带电,内表面电荷仍为-q.所以球壳电势由内球+q与内表面-q产生: U=q-q=0 4πR4πR (3)设此时内球壳带电量为q;则外壳内表面带电量为-q,外壳外表面带电量为-q+q (电荷守恒),此时内球壳电势为零,且 U=q'-q'+-q+q'=0A4πR4πR4πR 得q=R1q R2 外球壳上电势 q'q'-q+q'(R1-R2)q B4πR4πR4πR4πR2 9.24半径为R的金属球离地面很远,并用导线与地相联,在与球心相距为d=3R处有一点电荷+q,试求: 金属球上的感应电荷的电量. 解: 如题9.24图所示,设金属球感应电荷为q,则球接地时电势UO=0 由电势叠加原理有: UO=4πR+4π3R=0 q¢= 9.25有三个大小相同的金属小球,小球1,2带有等量同号电荷,相距甚远,其间的库仑力为F0.试求: (1)用带绝缘柄的不带电小球3先后分别接触1,2后移去,小球1,2之间的库仑力; (2) 小球3依次交替接触小球1,2很多次后移去,小球1,2之间的库仑力. (1)小球3接触小球1后,小球3和小球1均带电 q=q, q=2, 小球3再与小球2接触后,小球2与小球3均带电 3 q=4q ∴此时小球1与小球2间相互作用力 32 F=q'q"-8q=3F 14πr24πr280 (2)小球3依次交替接触小球1、2很多次后,每个小球带电量均为23q 22 3q3q4 ∴小球1、2间的作用力F2=33=4F0 24πr290 9.26在半径为R1的金属球之外包有一层外半径为R2的均匀电介质球壳,介质相对介电常数为r,金属球带电Q.试求: (1)电介质内、外的场强; (2)电介质层内、外的电势; (3)金属球的电势. 解: 利用有介质时的高斯定理DdS=q (1)介质内(R1rR2)场强 vQrvQr 4πr3内4πr3 介质外(rR2)场强 vQrvQr D=,E外= 4πr3外4πr3 (2)介质外(rR2)电势 U=E外×dr=Q r外4πr 介质内(R1rR2)电势 U=E内×dr+E外×dr =q(1-1)+Q 4πrR4πR (3)金属球的电势 R2QdrQdr R4πr2R24πr2 9.27如题9.27图所示,在平行板电容器的一半容积内充入相对介电常数为r的电介质.试求: 在有电介质部分和无电介质部分极板上自由电荷面密度的比值. vv 解: 如题9.27图所示,充满电介质部分场强为E2,真空部分场强为E1,自由电荷面密度 分别为2与1 由DdS=q0得 D1=1,D2=2 D1=0E1,D2=0rE2 E1=E2 2=0rE2=r 10E1 题9.27图题9.28图 9.28两个同轴的圆柱面,长度均为l,半径分别为R1和R2(R2>R1),且l>>R2-R1,两柱面之间充有介电常数的均匀电介质.当两圆柱面分别带等量异号电荷Q和-Q时,求: (1)在半径r处(R1 (2)电介质中的总电场能量; (3)圆柱形电容器的电容. 解: 取半径为r的同轴圆柱面(S) 当(R1rR2)时,q=Q ∴D=Q 2πrl (1)电场能量密度 D2Q2 28π2r2l2 薄壳中dW=wd=2πrdrl= 8π2r2l24πrl (2)电介质中总电场能量 W=Q2C W=dW=R2Qdr=QlnR2 VR14πrl4πlR (3)电容: ∵ Q22πl C=2W=ln(R/R) 题9.29图 9.29如题9.29图所示,C=0.25F,C=0.15F,C=0.20F.C上电压为50V.求: UAB 解: 电容C1上电量 Q1=C1U1 电容C2与C3并联C23=C2+C3 其上电荷Q23=Q1 U2 Q23C1U12550 C23=C23=35 25 UAB=U1+U2=50(1+25)=86V 9.30C1和C2两电容器分别标明“200pF、500V”和“300pF、900V”,把它们串联起来后等值电容是多少? 如果两端加上1000V的电压,是否会击穿? 解: (1)C1与C2串联后电容 C=C1C2=200300=120pF C+C200+300 (2)串联后电压比 1=2=,而U+U=1000UC212 U=600V,U=400V 即电容C1电压超过耐压值会击穿,然后C2也击穿. 9.31半径为R1=2.0cm的导体球,外套有一同心的导体球壳,壳的内、外半径分别为R2=4.0cm 和R=5.0cm,当内球带电荷Q=3.0×10-8C时,求: (1)整个电场储存的能量; (2)如果将导体壳接地,计算储存的能量; (3)此电容器的电容值. 解: 如图,内球带电Q,外球壳内表面带电-Q,外表面带电Q 题9.31图 (1)在rR和RrR区域 v E=0 在RrR时 Qr 14πr3 rR时 Qr E2= 24πr3 ∴在RrR区域 )24πr2dr W1=R210(Q2 R124πr2 =R2Q2dr=Q2(1-1) R18πr28πRR 在rR区域 W=1(Q)24πr2dr=Q1 2R3204πr28πR ∴总能量 W=W+W=Q(1-1+1) 128πRRR =1.8210-4J W=W1=8Qπ(R1-R1)=1.0110-4J 2W11 (3)电容器电容C=2QW2=4π0/(R11-R12) =4.4910-12F
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