算法设计与分析第2版王红梅胡明习题答案.docx
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算法设计与分析第2版王红梅胡明习题答案
习题1
1.
图论诞生于七桥问题。
出生于瑞士的伟大数学家欧拉(LeonhardEuler,1707—1783)提出并解决了该问题。
七桥问题是这样描述的:
一个人是否能在一次步行中穿越哥尼斯堡(现在叫加里宁格勒,在波罗的海南岸)城中全部的七座桥后回到起点,且每座桥只经过一次,图1.7是这条河以及河上的两个岛和七座桥的草图。
请将该问题的数据模型抽象出来,并判断此问题是否有解。
七桥问题属于一笔画问题。
输入:
一个起点
输出:
相同的点
1,一次步行
2,经过七座桥,且每次只经历过一次
3,回到起点
该问题无解:
能一笔画的图形只有两类:
一类是所有的点都是偶点。
另一类是只有二个奇点的图形。
2.在欧几里德提出的欧几里德算法中(即最初的欧几里德算法)用的不是除法而是减法。
请用伪代码描述这个版本的欧几里德算法
1.r=m-n
2.循环直到r=0
2.1 m=n
2.2 n=r
2.3 r=m-n
3 输出m
3.设计算法求数组中相差最小的两个元素(称为最接近数)的差。
要求分别给出伪代码和C++描述。
//采用分治法
//对数组先进行快速排序
//在依次比较相邻的差
#include
usingnamespacestd;
intpartions(intb[],intlow,inthigh)
{
intprvotkey=b[low];
b[0]=b[low];
while(low { while(low --high; b[low]=b[high]; while(low ++low; b[high]=b[low]; } b[low]=b[0]; returnlow; } voidqsort(intl[],intlow,inthigh) { intprvotloc; if(low { prvotloc=partions(l,low,high);//将第一次排序的结果作为枢轴 qsort(l,low,prvotloc-1);//递归调用排序由low到prvotloc-1 qsort(l,prvotloc+1,high);//递归调用排序由prvotloc+1到high } } voidquicksort(intl[],intn) { qsort(l,1,n);//第一个作为枢轴,从第一个排到第n个 } intmain() { inta[11]={0,2,32,43,23,45,36,57,14,27,39}; intvalue=0;//将最小差的值赋值给value for(intb=1;b<11;b++) cout< cout< quicksort(a,11); for(inti=0;i! =9;++i) { if((a[i+1]-a[i])<=(a[i+2]-a[i+1])) value=a[i+1]-a[i]; else value=a[i+2]-a[i+1]; } cout< return0; } 4.设数组a[n]中的元素均不相等,设计算法找出a[n]中一个既不是最大也不是最小的元素,并说明最坏情况下的比较次数。 要求分别给出伪代码和C++描述。 #include usingnamespacestd; intmain() { inta[]={1,2,3,6,4,9,0}; intmid_value=0;//将“既不是最大也不是最小的元素”的值赋值给它 for(inti=0;i! =4;++i) { if(a[i+1]>a[i]&&a[i+1] { mid_value=a[i+1]; cout< break; } elseif(a[i+1]a[i+2]) { mid_value=a[i+1]; cout< break; } }//for return0; } 5.编写程序,求n至少为多大时,n个“1”组成的整数能被2013整除。 #include usingnamespacestd; intmain() { doublevalue=0; for(intn=1;n<=10000;++n) { value=value*10+1; if(value%2013==0) { cout<<"n至少为: "< break; } }//for return0; } 6.计算π值的问题能精确求解吗? 编写程序,求解满足给定精度要求的π值 #include usingnamespacestd; intmain() { doublea,b; doublearctan(doublex);//声明 a=16.0*arctan(1/5.0); b=4.0*arctan(1/239); cout<<"PI="< return0; } doublearctan(doublex) { inti=0; doubler=0,e,f,sqr;//定义四个变量初 sqr=x*x; e=x; while(e/i>1e-15)//定义精度范围 { f=e/i;//f是每次r需要叠加的方程 r=(i%4==1)? r+f: r-f; e=e*sqr;//e每次乘于x的平方 i+=2;//i每次加2 }//while returnr; } 7.圣经上说: 神6天创造天地万有,第7日安歇。 为什么是6天呢? 任何一个自然数的因数中都有1和它本身,所有小于它本身的因数称为这个数的真因数,如果一个自然数的真因数之和等于它本身,这个自然数称为完美数。 例如,6=1+2+3,因此6是完美数。 神6天创造世界,暗示着该创造是完美的。 设计算法,判断给定的自然数是否是完美数 #include usingnamespacestd; intmain() { intvalue,k=1; cin>>value; for(inti=2;i! =value;++i) { while(value%i==0) { k+=i;//k为该自然数所有因子之和 value=value/i; } }//for if(k==value) cout<<"该自然数是完美数"< else cout<<"该自然数不是完美数"< return0; } 8.有4个人打算过桥,这个桥每次最多只能有两个人同时通过。 他们都在桥的某一端,并且是在晚上,过桥需要一只手电筒,而他们只有一只手电筒。 这就意味着两个人过桥后必须有一个人将手电筒带回来。 每个人走路的速度是不同的: 甲过桥要用1分钟,乙过桥要用2分钟,丙过桥要用5分钟,丁过桥要用10分钟,显然,两个人走路的速度等于其中较慢那个人的速度,问题是他们全部过桥最少要用多长时间? 由于甲过桥时间最短,那么每次传递手电的工作应有甲完成 甲每次分别带着乙丙丁过桥 例如: 第一趟: 甲,乙过桥且甲回来 第二趟: 甲,丙过桥且甲回来 第一趟: 甲,丁过桥 一共用时19小时 9.欧几里德游戏: 开始的时候,白板上有两个不相等的正整数,两个玩家交替行动,每次行动时,当前玩家都必须在白板上写出任意两个已经出现在板上的数字的差,而且这个数字必须是新的,也就是说,和白板上的任何一个已有的数字都不相同,当一方再也写不出新数字时,他就输了。 请问,你是选择先行动还是后行动? 为什么? 设最初两个数较大的为a,较小的为b,两个数的最大公约数为factor。 则最终能出现的数包括: factor,factor*2,factor*3,...,factor*(a/factor)=a.一共a/factor个。 如果a/factor是奇数,就选择先行动;否则就后行动。 习题2 1.如果T1(n)=O(f(n)),T2(n)=O(g(n)),解答下列问题: (1)证明加法定理: T1(n)+T2(n)=max{O(f(n)),O(g(n))}; (2)证明乘法定理: T1(n)×T2(n)=O(f(n))×O(g(n)); (3)举例说明在什么情况下应用加法定理和乘法定理。 (1) (2) (3)比如在 for(f(n)) { for(g(n)) } 中应该用乘法定理 如果在“讲两个数组合并成一个数组时”,应当用加法定理 2.考虑下面的算法,回答下列问题: 算法完成什么功能? 算法的基本语句是什么? 基本语句执行了多少次? 算法的时间复杂性是多少? (1)完成的是1-n的平方和 基本语句: s+=i*i,执行了n次 时间复杂度O(n) (2) (2)完成的是n的平方 基本语句: returnQ(n-1)+2*n–1,执行了n次 时间复杂度O(n) 3.分析以下程序段中基本语句的执行次数是多少,要求列出计算公式。 (1)基本语句2*i 基本语句y=y+i*j执行了2/n次 一共执行次数=n/2+n/2=O(n) (2)基本语句m+=1执行了(n/2)*n=O(n*n) 4.使用扩展递归技术求解下列递推关系式: (1) (2) (1)intT(intn) { if(n==1) return4; elseif(n>1) return3*T(n-1); } (2) intT(intn) { if(n==1) return1; elseif(n>1) return2*T(n/3)+n; } 5.求下列问题的平凡下界,并指出其下界是否紧密。 (1)求数组中的最大元素; (2)判断邻接矩阵表示的无向图是不是完全图; (3)确定数组中的元素是否都是惟一的; (4)生成一个具有n个元素集合的所有子集 (1)Ω(n)紧密? (2)Ω(n*n) (3)Ω(logn+n)(先进行快排,然后进行比较查找) (4)Ω(2^n) 7.画出在三个数a,b,c中求中值问题的判定树。 8.国际象棋是很久以前由一个印度人Shashi发明的,当他把该发明献给国王时,国王很高兴,就许诺可以给这个发明人任何他想要的奖赏。 Shashi要求以这种方式给他一些粮食: 棋盘的第1个方格内只放1粒麦粒,第2格2粒,第3格4粒,第4格8粒,……,以此类推,直到64个方格全部放满。 这个奖赏的最终结果会是什么样呢? #include usingnamespacestd; intmain() { longdoubleresult=1; doublej=1; for(inti=1;i<=64;++i) { j=j*2; result+=j; j++; } cout< return0; } 习题3 1.假设在文本"ababcabccabccacbab"中查找模式"abccac",写出分别采用BF算法和KMP算法的串匹配过 //BF算法 #include usingnamespacestd; intBF(charS[],charT[]) { intindex=0; inti=0,j=0; while((S[i]! ='\0')&&(T[j]! ='\0')) { if(S[i]==T[j]) { i++; j++; } else{ ++index; i=index; j=0; } } if(T[j]=='\0') returnindex+1; else return0; } intmain() { chars1[19]="ababcabccabccacbab"; chars2[7]="abccac"; cout< return0; } //KMP算法 #include usingnamespacestd; voidGetNext(charT[],intnext[])//求模式T的next值 { inti,j,len; next[0]=-1; for(j=1;T[j]! ='\0';j++)//依次求next[j] { for(len=j-1;len>=1;len--)//相等子串的最大长度为j-1 { for(i=0;i if(T[i]! =T[j-len+i])break; if(i==len) { next[j]=len;break; } }//for if(len<1) next[j]=0;//其他情况,无相等子串 }//for } intKMP(charS[],charT[])//求T在S中的序号 { inti=0,j=0; intnext[80];//假定模式最长为80个字符 GetNext(T,next); while(S[i]! ='\0'&&T[j]! ='\0') { if(S[i]==T[j]) { i++;j++; } else{ j=next[j]; if(j==-1){i++;j++;} } } if(T[j]=='\0')return(i-strlen(T)+1);//返回本趟匹配的开始位置 else return0; } intmain() { chars1[]="ababcabccabccacbab"; chars2[]="abccac"; cout< return0; } 2.分式化简。 设计算法,将一个给定的真分数化简为最简分数形式。 例如,将6/8化简为3/4。 #include usingnamespacestd; intmain() { intn;//分子 intm;//分母 intfactor;//最大公因子 intfactor1; cout<<"输入一个真分数的分子与分母: "< cin>>n>>m; intr=m%n;//因为是真分数所以分母一定大于分子 factor1=m; factor=n; while(r! =0) { factor1=factor; factor=r; r=factor1%factor; } cout<<"输出该真分数的最简分数: "<<(n/factor)<<"/"<<(m/factor)< return0; } 3.设计算法,判断一个大整数能否被11整除。 可以通过以下方法: 将该数的十进制表示从右端开始,每两位一组构成一个整数,然后将这些数相加,判断其和能否被11整除。 例如,将562843748分割成5,62,84,37,48,然后判断(5+62+84+37+48)能否被11整除 //将一个大整数看成一个数组 //数组的奇数位对应数的10倍加上数组偶数对应数的本身 //验证结果能否被11整除 #include usingnamespacestd; intmain() { inta[9]={5,6,2,8,4,3,7,4,8}; intresult=0;//result为题目要求的各位之和 for(inti=0;i! =9;++i) { if(i%2==0) result+=a[i];//i为偶数位时,结果加上其对应数组数的本身 else result+=a[i]*10;//i为奇数位时,结果加上对应数组数的10倍 } if(result%11==0) cout<<"该整数能被11整除"< else cout<<"该整数不能被11整除"< return0; } 4.数字游戏。 把数字1,2,…,9这9个数字填入以下含有加、减、乘、除的四则运算式中,使得该等式成立。 要求9个数字均出现一次且仅出现一次,且数字1不能出现在乘和除的一位数中(即排除运算式中一位数为1的平凡情形)。 ☐☐×☐+☐☐☐÷☐-☐☐=0 5.设计算法求解anmodm,其中a、n和m均为大于1的整数。 (提示: 为了避免an超出int型的表示范围,应该每做一次乘法之后对n取模) #include usingnamespacestd; intsquare(intx) { returnx*x; } //用递归思想 intresultmod(inta,intn) { if(n==0) return1; if(n%2==0) returnsquare(resultmod(a,n/2));//n为偶数的时,取n的一半防止溢出 else returna*resultmod(a,n-1);//n为奇数时,取n-1; } intmain() { inta,n,m; cout<<"请输入a,n,m: "<<""; cin>>a>>n>>m; cout< intresult=resultmod(a,n); cout<<"a^nmodm的结果为: "< return0; } 6.设计算法,在数组r[n]中删除所有元素值为x的元素,要求时间复杂性为O(n),空间复杂性为O (1)。 7.设计算法,在数组r[n]中删除重复的元素,要求移动元素的次数较少并使剩余元素间的相对次序保持不变。 #include usingnamespacestd; voiddeletere(inta[],intN) { intb[100]={0}; inti,k; k=0; staticintj=0; for(i=0;i b[a[i]]++; for(i=0;i<100;i++) { if(b[i]! =0) { if(b[i]==2) { k++; } a[j]=i; j++; } } for(i=0;i cout< } intmain() { inta[]={1,2,1,3,2,4}; deletere(a,6); return0; } //在数组查找相同的元素 //把其中一个相同的数值的元素位置设成一个“特殊数值” //输出所求函数 #include usingnamespacestd; intmain() { inta[]={1,2,1,5,3,2,9,4,5,5,3,5}; inti,j; for(i=0;i<12;i++) { for(j=0;j { if(a[j]==a[i]) a[i]=64787250;//设一个数组不存在的数值 } }//for for(i=0;i<12;i++) { if(a[i]! =64787250) cout< } cout< return0; } 8.设表A={a1,a2,…,an},将A拆成B和C两个表,使A中值大于等于0的元素存入表B,值小于0的元素存入表C,要求表B和C不另外设置存储空间而利用表A的空间。 //先对A进行快排 //将大于0的元素给B,小于0的元素给C #include usingnamespacestd; intpartions(intl[],intlow,inthigh) { intprvotkey=l[low]; l[0]=l[low]; while(low { while(low --high; l[low]=l[high]; while(low ++low; l[high]=l[low]; } l[low]=l[0]; returnlow; } voidqsort(intl[],intlow,inthigh) { intprvotloc; if(low { prvotloc=partions(l,low,high);//将第一次排序的结果作为枢轴 qsort(l,low,prvotloc-1);//递归调用排序由low到prvotloc-1 qsort(l,prvotloc+1,high);//递归调用排序由prvotloc+1到high } } voidquicksort(intl[],intn) { qsort(l,1,n);//第一个作为枢轴,从第一个排到第n个 } intmain() { inta[11]={-2,2,32,43,-23,45,36,-57,14,27,-39}; quicksort(a,11); for(inti=1;i<11;i++) { if(a[i]<0) cout<<"C:
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