a<}2222.
(1)分别写出下列集合的子集及其个数:
{a},{a,b},{a,b,c}.,
(2)由
(1)你发现集合M中含有n个元素,则集合M有多少个子集,
.P8例4:
设A={4,5,6,8},B={3,5,7,8},求A?
B,A?
B.
解:
A?
B={4,5,6,8}?
{3,5,7,8}={3,4,5,6,7,8}.A?
B={4,5,6,8}?
{3,5,7,8}={5,8}P5例5:
设A={x|-1B,A?
B.
解:
将A={x|-1图1-1-3-4
由图得A?
B={x|-1{x|1B={x|-1{x|1222P6例6:
设集合A={x|x+4x=0},B={x|x+2(a+1)x+a-1=0,a?
R},若A?
B=B,求a的值.
由题意得A={-4,0}.?
A?
B=B,?
BA.?
B=或B?
.,,
22当B=时,即关于x的方程x+2(a+1)x+a-1=0无实数解,,
22则Δ=4(a+1)-4(a-1)<0,解得a<-1.
22当B?
时,若集合B仅含有一个元素,则Δ=4(a+1)-4(a-1)=0,解得a=-1,,
2此时,B={x|x=0}={0}A,即a=-1符合题意.,
若集合B含有两个元素,则这两个元素是-4,0,
22即关于x的方程x+2(a+1)x+a-1=0的解是-4,0.
-4,0,-2(a,1),,则有,2-4,0,a-1.,
解得a=1,则a=1符合题意.
综上所得,a=1或a?
-1.
P9例7:
.已知非空集合A={x|2a+1?
x?
3a-5},B={x|3?
x?
22},则能使A(A?
B)成立的所有a,
值的集合是什么,
2a,1,3a,5,,
2a,1,3,解:
由题意知A(A?
B),即AB,A非空,利用数轴得解得6?
a?
9,,,,
3a,5,22.,即所有a值的集合是{a|6?
a?
9}.
P11例8:
设全集U={x|x是三角形},A={x|x是锐角三角形},B={x|x是钝角三角形}.求
A?
B,(A?
B).
解:
根据三角形的分类可知
A?
B=,,
A?
B={x|x是锐角三角形或钝角三角形},(A?
B)={x|x是直角三角形}.
P11例9:
设U={x|x是小于9的正整数},A={1,2,3},B={3,4,5,6},求A,B.
解:
根据题意,可知U={1,2,3,4,5,6,7,8},所以A={4,5,6,7,8};B={1,2,7,8}.
1x,3P17例10:
.已知函数f(x)=+,x,2
(1)求函数的定义域;
2
(2)求f(-3),f()的值;3
(3)当a>0时,求f(a),f(a-1)的值.
x,3,0,,解:
(1)要使函数有意义,自变量x的取值需满足解得-3?
x<-2或x>-2,,x,2,0.,即函数的定义域是,-3,-2)?
(-2,+?
).
1-3,3
(2)f(-3)=+=-1;,3,2
213332,,3,f()==.28233,23
(3)?
a>0,?
a?
-3,-2)?
(-2,+?
),
即f(a),f(a-1)有意义.
1则f(a)=a,3+;a,2
11f(a-1)=a-1,3,=a,2,.a,1,2a,1
P18例11:
下列函数中哪个与函数y=x相等,
2x2233x
(1)y=();
(2)y=;(3)y=;(4)y=.xxx
2对应关系是x?
x
(1)?
函数y=()的定义域是,0,+?
),解:
函数y=x的定义域是R,x
22?
函数y=()与函数y=x的定义域R不相同.?
函数y=()与函数y=x不相等.xx
3333
(2)?
函数y=的定义域是R,?
函数y=与函数y=x的定义域R相同.xx
3333又?
y==x,?
函数y=与函数y=x的对应关系也相同.xx
33?
函数y=与函数y=x相等.x
22xx(3)?
函数y=的定义域是R,?
函数y=与函数y=x的定义域R相同.
22xx又?
y==|x|,?
函数y=与函数y=x的对应关系不相同.
2x?
函数y=与函数y=x不相等.
22xx(4)?
函数y=的定义域是(-?
0)?
(0,+?
),?
函数y=与函数y=x的定义域R不相同,xx
2x?
函数y=()与函数y=x不相等.
P19例12:
某种笔记本的单价是5元,买x(x?
{1,2,3,4,5})个笔记本需要y元,试用三种表示法
表示函数y=f(x).
解:
这个函数的定义域是数集{1,2,3,4,5},用解析法可将函数y=f(x)表示为
y=5x,x?
{1,2,3,4,5}.
用列表法可将函数y=f(x)表示为
笔记本数x12345
钱数y510152025用图象法可将函数y=f(x)表示为图1-2-2-1.
图1-2-2-1
P20例13.下表是某校高一
(1)班三位同学在高一学年度几次数学测试的成绩及班级平均分表:
第一次第二次第三次第四次第五次第六次王伟988791928895张城907688758680赵磊686573727582班平均分88.278.385.480.375.782.6请你对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析.
.
-2-3所示.解:
把“成绩”y看成“测试序号”x的函数,用图象法表示函数y=f(x),如图1-2
王伟同学的数学成绩始终高于班级平均分,学习情况比较稳定而且成绩优秀;张城同学的数学成绩不稳定,总是在班级平均分水平上下波动,而且波动幅度较大;赵磊同学的数学学习成绩呈上升趋势,表明他的数学成绩稳步提高.
P21例14:
.画出函数y=|x|的图象.
x,x,0,,由绝对值的概念,我们有y=,-x,x,0.,
所以,函数y=|x|的图象如图1-2-2-10所示.
P21例15:
某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定:
(1)乘坐汽车5千米以内(含5千米),票价2元;
(2)5千米以上,每增加5千米,票价增加1元(不足5千米按5千米计算),如果某条线路的总里程为20千米,请根据题意,写出票价与里程之间的函数解析式,并画出函数的图象.
解:
设里程为x千米时,票价为y元,根据题意得x?
(0,20,.
由空调汽车票价制定的规定,可得到以下函数解析式:
图1-2-2-13
2,0,x,5,,
3,5,x,10,,y=,4,10,x,15,,
5,15,x,20.,
根据这个函数解析式,可画出函数图象,如图1-2-2-13所示.
P22例16:
下列对应是不是从集合A到集合B的映射,为什么,
(1)A=R,B={x?
R|x?
0},对应法则是“求平方”;
(2)A=R,B={x?
R|x>0},对应法则是“求平方”;
(3)A={x?
R|x>0},B=R,对应法则是“求平方根”;
(4)A={平面内的圆},B={平面内的矩形},对应法则是“作圆的内接矩形”.
解:
(1)是映射,因为A中的任何一个元素,在B中都能找到唯一的元素与之对应.
(2)不是从集合A到集合B的映射,因为A中的元素0,在集合B中没有对应的元素.(3)不是从集合A到集合B的映射,因为任何正数的平方根都有两个值,即集合A中的任何元素,在集合B中都有两个元素与之对应.
(4)不是从集合A到集合B的映射.因为一个圆有无穷多个内接矩形,即集合A中任何一个元素在集合B中有无穷多个元素与之对应.
P29例17:
如图1-3-1-3是定义在区间,,5,5,上的函数y=f(x),根据图象说出函数的单调区间,以及在每一单调区间上,它是增函数还是减函数,
解:
函数y=f(x)的单调区间是,-5,2),,-2,1),,1,3),,3,5,.其中函数y=f(x)在区间,-5,2),,1,3)
上是减函数,在区间,-2,1),,3,5,上是增函数.
2P19例18:
(1)画出已知函数f(x)=-x+2x+3的图象;
2
(2)证明函数f(x)=-x+2x+3在区间(-?
1,上是增函数;
(3)当函数f(x)在区间(-?
m,上是增函数时,求实数m的取值范围.
图1-3-1-4
2解:
(1)函数f(x)=-x+2x+3的图象如图1-3-1-4所示.
(2)设x、x?
(-?
1,,且x=(x-x)(2-x-x).1212
?
x、x?
(-?
1,,且xx-x<0,x+x<2.12121212
?
2-x-x>0.?
f(x)-f(x)<0.?
f(x)函数f(x)=-x+2x+3在区间(-?
1,上是增函数.
2(3)函数f(x)=-x+2x+3的对称轴是直线x=1,在对称轴的左侧是增函数,那么当区间(-?
m,位于对称轴的左侧时满足题意,则有m?
1,即实数m的取值范围是(-?
1,.P30例19:
菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望它达到最高点时爆裂.如果烟花
2距地面的高度hm与时间ts之间的关系为h(t)=-4.9t+14.7t+18,那么烟花冲出去后什么时候是它爆裂的最佳时刻,这时距地面的高度是多少(精确到1m),
2解:
画出函数h(t)=-4.9t+14.7t+18的图象,如图1-3-1-14所示,
显然,函数图象的顶点就是烟花上升的最高点,顶点的横坐标就是烟花爆炸的最佳时刻,纵坐标就是这时距离地面的高度.
图1-3-1-14
2由二次函数的知识,对于函数h(t)=-4.9t+14.7t+18,我们有:
14.7,当t==1.5时,函数有最大值,2,(,4.9)
即烟花冲出去后1.5s是它爆裂的最佳时刻,这时距地面的高度约是29m.
2P31例19求函数y=在区间,2,6,上的最大值和最小值.x,1
解:
设2?
x6,则有12
2[(x,1),(x,1)]2(x,x)222121,f(x)-f(x)===12(x,1)(x,1)(x,1)(x,1)x,1x,1121212
?
2?
x6,?
x-x>0,(x-1)(x-1)>0.122112
2?
f(x)>f(x),即函数y=在区间,2,6,上是减函数.12x,1
2所以,当x=2时,函数y=在区间,2,6,上取得最大值f
(2)=2;x,1
22当x=6时,函数y=在区间,2,6,上取得最小值f(6)=.x,15
P35例20:
判断下列函数的奇偶性:
1145
(1)f(x)=x;
(2)f(x)=x;(3)f(x)=x+;(4)f(x)=.2xx44解:
(1)函数的定义域是R,对定义域内任意一个x,都有f(-x)=(-x)=x=f(x),所是偶函数.
55
(2)函数的定义域是R,对定义域内任意一个x,都有f(-x)=(-x)=-x=-f(x),所以是奇函数.
11(3)函数的定义域是(-?
0)?
(0,+?
),对定义域内任意一个x,都f(-x)=-x+=-(x+)=-f(x),x,x
1所以函数f(x)=x+是奇函数.x
11(4)函数的定义域是(-?
0)?
(0,+?
),对定义域内任意一个x,都有f(-x)==所以22(,x)x
1函数f(x)=是偶函数.2x
P35例21:
判断下列函数的奇偶性.
22x,x222
(1)f(x)=x,x?
-1,2,;
(2)f(x)=;(3)f(x)=+;x,44,xx,1
21,x,x,1(4)f(x)=21,x,x,1
2解:
(1)因为它的定义域关于原点不对称,函数f(x)=x,x?
-1,2,既不是奇函数又不是偶数.
22x,x
(2)因为它的定义域为{x|x?
R且x?
1},并不关于原点对称,函数f(x)=既不是奇函x,1数又不是偶函数.
22(3)?
x,4?
0且4,x?
0,?
x,?
2,
即f(x)的定义域是{,2,2}.
?
f
(2),0,f(,2),0,?
f
(2),f(,2),f
(2),,f
(2).?
f(,x),,f(x),且f(,x),f(x).?
f(x)既是奇函数也是偶函数.(4)函数的定义域是R.
2222221,x,x,11,x,x,11,x,(x,1),1,x,(x,1),?
f(-x)+f(x)==22221,x,x,11,x,x,1(1,x,x,1)(1,x,x,1)
22221,x,x,2x,1,1,x,x,2x,1=22(1,x,x,1)(1,x,x,1)
=0,?
f(,x),,f(x).?
f(x)是奇函数.