学年高中数学必修一讲义第一章 12 子集.docx
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学年高中数学必修一讲义第一章12子集
考察下列集合
A={1,3},B={1,3,5,6};
C={x|x是长方形},D={x|x是平行四边形};
P={x|x是菱形},Q={x|x是正方形}.
问题1:
观察集合中的元素,集合A与B,C与D具有什么关系?
提示:
集合A中的任意一个元素都是集合B的元素,集合C中的任意一个元素都是集合D的元素.
问题2:
集合P与Q的关系与前两组相似吗?
提示:
不相似.集合P中的元素不都是集合Q中的元素,集合Q中的元素都是集合P中的元素.
问题3:
集合{3}与{1,3},元素3与{1,3}的关系是相同的吗?
提示:
不一样.前两者属集合与集合的关系,后两者是元素与集合的关系.
1.子集
2.子集的性质
文字语言
符号表示
任何一个集合是它本身的子集
A⊆A
空集是任何集合的子集
∅⊆A
在知识点一所考察的A与B,C与D集合中.
问题1:
集合A是集合B的子集,那么集合B是集合A的子集吗?
提示:
集合B不是集合A的子集.
问题2:
集合D是集合C的子集吗?
提示:
集合D不是集合C的子集.
问题3:
你能指出集合C与D的元素的确切关系吗?
提示:
集合C中的元素都是集合D中的元素,但集合D中存在某元素x,它不属于集合C.
[例1] 指出下列各对集合之间的关系:
(1)A={-1,1},B={x∈N|x2=1};
(2)A={-1,1},B={(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)};
(3)P={x|x=2n,n∈Z},Q={x|x=2(n-1),n∈Z};
(4)A={x|x是等边三角形},B={x|x是三角形};
(5)A={x|-1 [思路点拨] 分析集合中元素及元素的特征,用子集、真子集及集合相等的概念进行判断. [精解详析] (1)用列举法表示集合B={1}, (2)集合A的代表元素是数,集合B的代表元素是实数对,故A与B之间无包含关系. (3)∵Q中n∈Z,∴n-1∈Z,Q与P都表示偶数集, ∴P=Q. (4)等边三角形是三边相等的三角形,故 (5)(5)集合B={x|x<5},用数轴表示集合A,B如图所示,由图可发现 [一点通] 判断两个集合A、B之间是否有包含关系的步骤是: 先明确集合A、B中的元素,再分析集合A、B中的元素间的关系.当集合A中的元素都属于集合B时,有A⊆B;当集合A中的元素都属于集合B且B中至少有一个元素不属于集合A时,有当集合A中的元素都属于集合B,并且集合B中的元素都属于集合A时,有A=B. 1.下列图形中,表示M⊆N的是__________. 答案: ③ 答案: ①③④ 3.下面给出的几个关系中: ①{∅}⊆{a,b};②{(a,b)}={a,b};③{a,b}⊆{b,a};④∅⊆{0}.正确的是________. 解析: ①错.②错.③因为{a,b}={b,a},所以{a,b}⊆{b,a}正确.④因为空集是任何一个集合的子集,所以∅⊆{0}正确. 答案: ③④ [例2] (湖北高考改编)已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0 [思路点拨] 先确定集合A和B,再由A⊆C⊆B确定集合C. [精解详析] 因为A={x|x2-3x+2=0,x∈R}={1,2},B={x|0 [一点通] (1)如果一个集合是有限集,且元素个数为n,那么其子集个数为2n个,真子集为2n-1个(除去与本身相等的),非空真子集为2n-2个. (2)如果一个集合是无限集,那么其子集个数为无穷多个. 4.若集合A={x|x2-2x+1=0},则A的子集个数为________. 解析: A={1},故有2个子集∅,A. 答案: 2 解析: 集合M中一定含有元素1,2,3,但同时M≠{1,2,3}且是{1,2,3,4,5,6}的真子集,所以集合M为{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,3,6},{1,2,3,4,5},{1,2,3,4,6},{1,2,3,5,6},共6个. 答案: 6 6.设S是非空集合,且满足两个条件: ①S⊆{1,2,3,4,5};②若a∈S,则6-a∈S.求集合S的个数. 解: 由题意知,S中的元素应满足的条件是: 1,5同时选,2,4同时选,3单独选. 用列举法表示出符合题意的全部集合S为{3},{1,5},{2,4},{1,3,5},{2,3,4},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5},共有7个. [例3] 已知集合A={1,3,x2},B={x+2,1},是否存在实数x,使得B⊆A? 若存在,求出集合A,B;若不存在,说明理由. [思路点拨] 先假设B⊆A,分x+2=3或x+2=x2两种情况,求得x的值,再通过验证元素的特征确定A、B两个集合. [精解详析] 假设存在实数x,使B⊆A, 则x+2=3或x+2=x2. (1)当x+2=3时,x=1,此时A={1,3,1},不满足元素的互异性.故x≠1. (2)当x+2=x2时,即x2-x-2=0, 故x=-1或x=2. ①当x=-1时,A={1,3,1},与元素互异性矛盾, 故x≠-1. ②当x=2时,A={1,3,4},B={4,1},显然有B⊆A. 综上所述,存在x=2,使A={1,3,4},B={4,1}满足B⊆A. [一点通] 解决此类问题的步骤可归纳为: (1)化简: 将所给定的集合化简(本题已说明确); (2)讨论: 根据包含关系的定义,对所有情况进行讨论; (3)构建: 根据包含关系构建方程(或不等式),并求解; (4)整合: 整合各种情况得出结论. 如果给定集合是连续数集时,有时也要运用到数形结合法. 7.已知集合A={-2},B={x|ax+1=0,a∈R},B⊆A,求a的值. 解: ∵B⊆A,A≠∅,∴B=∅或B≠∅. 当B=∅时,方程ax+1=0无解,此时a=0. 当B≠∅时,此时a≠0,B={-}, ∴-∈A,即有-=-2,得a=. 综上所述,a=0或a=. 8.已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},若B⊆A,求实数m的取值集合. 解: (1)若B=∅,则m+1>2m-1,即m<2,此时,总有B⊆A,故m<2. (2)若B≠∅,则m+1≤2m-1, 即m≥2. 由B⊆A得, 解得2≤m≤3. 综合 (1) (2)可知m的取值集合是{m|m≤3}. 课时达标训练 (二) 一、填空题 1.集合A={0,1,2}的真子集个数是________. 解析: 集合A的真子集有∅,{0},{1},{2},{0,1},{1,2}和{0,2},共7个. 答案: 7 2.(江西高考改编)若集合A={x∈R|ax2+ax+1=0}中只有一个元素,则a=________. 解析: a=0时不适合题意: a≠0时需Δ=a2-4a=0,解得a=4. 答案: 4 3.已知集合A={1,2,3,4,5,6},B={4,5,6,7,8},C⊆A,C⊆B,则集合C最多含有________个元素. 解析: 由题意知C最多含有3个元素: 4,5,6. 答案: 3 4.已知集合A={-1,1},B={x|ax+1=0},若B⊆A,则实数a的所有可能取值的集合为________. 解析: 由题意知集合B的元素为1或-1或者B为空集,故a=-1或1或0. 答案: {-1,1,0} 5.设A={x|1 解析: (如图) ∴a≥2, 即a的取值范围是{a|a≥2}. 答案: {a|a≥2} 6.已知M={y|y=x2-2x-1,x∈R},N={x|-2≤x≤4},则集合M与N之间的关系是________. 解析: ∵y=(x-1)2-2≥-2, ∴M={y|y≥-2}, 二、解答题 7.已知M={x|x2-3x+2=0},N={x|x2-2x+a=0},若N⊆M,求实数a的取值范围. 解: ∵M={x|x2-3x+2=0}={1,2}, 又N⊆M, ∴N=∅,或N={1},或N={2},或N={1,2}. (1)当N=∅时,方程x2-2x+a=0的判别式 Δ=4-4a<0,即a>1. (2)当N={1}时,有 ∴a=1. (3)当N={2}时,有不成立. (4)当N={1,2}时,有不成立. 综上可知,实数a的取值范围为a≥1. 解: (1)借助数轴可得,a应满足的条件为 或 解得0≤a≤1. (2)同理可得a应满足的条件为 得a无解,所以不存在实数a使B⊆A. 9.已知集合A={x||x-a|=4},集合B={1,2,b}. (1)是否存在实数a,使得对于任意实数b都有A⊆B? 若存在,求出对应的a值;若不存在,说明理由; (2)若A⊆B成立,求出对应的实数对(a,b). 解: (1)若对于任意实数b都有A⊆B,当且仅当集合A中的元素为1,2. ∵A={a-4,a+4}, ∴或 解方程组可知无解, ∴不存在实数a,使得对于任意实数b都有A⊆B. (2)由 (1)易知若A⊆B, 则或或或 解得或或或 则所求实数对为(5,9)或(6,10)或(-3,-7)或(-2,-6). 第2课时 全集、补集 观察下列各组中的3个集合. (1)S={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},A={1,2,3,4,5,},B={6,7,8,9,10,}; (2)S=R,A={x|1≤x≤2},B={x|x<1,或x>2}; (3)S={x|x为中国人},A={x|x为江苏人},B={x|x为不是江苏人的中国人}. 问题1: 各组中,它们都具备什么样的包含关系? 提示: 问题2: 集合S与另两个集合比较具有什么特点? 提示: 集合S中的元素除了属于A的都属于B. 1.补集 自然语言 设A⊆S,由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集,记为∁S_A(读作“A在S中的补集”) 符号语言 ∁SA={x|x∈S,且x∉A} 图形语言 2.全集 如果集合包含我们所要研究的各个集合,那么这个集合可以看作一个全集,全集通常记作U. 1.全集是相对于所要研究的几个集合而言的,在实数范围内讨论集合时,一般用R作为全集. 2.∁UA的数学意义包括两个方面,首先必须具备A⊆U,其次是定义∁UA={x|x∈U,且x∉A}. [例1] (1)(四川高考改编)若全集M={1,2,3,4,5},N={2,4},则∁MN=__________. (2)已知全集U=R,集合M={x|-2≤x≤2},则∁UM=__________. [思路点拨] 利用补集的定义求解.首先明确全集. [精解详析] (1)∵M={1,2,3,4,5},N={2,4},根据补集的定义知∁MN={1,3,5}. (2)把集合M在数轴上表示出来(如图). ∵U=R, ∴∁UM={x|x>2或x<-2}. [答案] (1){1,3,5} (2){x|x>2或x<-2}. [一点通] 求给定集合A的补集通常利用补集的定义,即从全集U中去掉属于集合A的元素后,由所有剩下的元素组成的集合即为A的补集. 1.下列说法: ①若S={1,2,3},A={2,1},则∁SA={2,3}; ②若U={1,2,3},A=∅,则∁UA=A; ③若U={1,2,3},A={1,
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- 学年高中数学必修一讲义第一章 12 子集 学年 高中数学 必修 讲义 第一章