一次函数及反比例函数的图象与性质.docx
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一次函数及反比例函数的图象与性质
一次函数及反比例函数的图象与性质
主讲:
童丽丹
一、知识要点概述
(一)一次函数
1、一次函数的定义:
形如y=kx+b(k,b为常数且k≠0)的函数叫一次函数.
2、正比例函数的定义:
y=kx(k≠0)叫正比例函数.正比例函数是一次函数的特例.
3、一次函数的图象是一条经过
及(0,b)的一条直线.
4、一次函数的性质:
当k>0时y随x的增大而增大.
当k<0时y随x的增大而减小.
5、一次函数y=kx+b的图象与k、b的符号关系表
k、b的符号
草图
经过的象限
k>0,b>0
直线经过第一、二、三象限
k>0,b<0
直线经过第一、三、四象限
k<0,b>0
直线经过第一、二、四象限
k<0,b<0
直线经过第二、三、四象限
(二)反比例函数
1、反比例函数定义:
形如
叫做反比例函数.自变量的取值范围是x≠0.
2、反比例函数的图象是双曲线.
3、反比例函数
的性质
(1)当k>0时,图象的两分支分别在第一、三象限,在每一象限内y随x的增大而减小.
(2)当k<0时,图象的两分支分别在第二、四象限,在每一象限内y随x的增大而增大.
(三)基本规律
1、确定一次函数的解析式,通常采用待定系数法,由题目已知条件得到关于k,b的二元一次方程组,再求出k,b.
2、对于直线l1:
y=k1x+b1,与l2;y=k2x+b2.
当l1∥l2时,k1=k2且b1≠b2,反之当k1=k2且b1≠b2时,l1∥l2.
3、画一次函数的图象时通常只需描出图象上任两点的坐标,再过这两点画一条直线,一般画出直线y=kx+b与两坐标轴的交点
和(0,b),正比例函数图象过(0,0)和点(1,k).
4、反比例函数
的图象是断开的,产生的原因是自变量的取值范围是x≠0,这两条曲线可以无限地接近x轴、y轴,但永远不会与x轴、y轴相交.双曲线是关于原点成中心对称的,也是轴对称的.
5、过双曲线
上任一点向x轴或y轴引垂线,并连接该点与原点,得到直角三角形,这个直角三角形的面积与点的位置无关,是一个定值为
.这一结论常常用到,应特别记住.
二、典型例题剖析
例1、
(1)若函数
是一次函数,则m=________.
(2)已知m是整数且一次函数y=(m+4)x+m+2的图象不经过第二象限,则m=________.
点评:
(1)一次函数y=kx+b中k≠0这一条件不能忽视.
(2)直线y=kx+b不过第二象限的条件
要特别注意,此时直线经过第一、三象限是正比例函数.
例2、已知y=y1+y2,y1与x-1成正比例,y2与x+1成反比例.当x=0时y=-5,当x=2时y=1,那么当y=-3时x=________.
分析:
根据题意,分别设出y1与y2的函数关系式,根据y=y1+y2,把x、y代入求出比例系数,得到y与x的函数关系式,再求x的值.
注:
这里必须注意,其中的两个比例函数要用两个不同字母k1,k2,千万不要用同一个字母k,这是同学们易错的地方.
例3、已知一直线经过点A(-1,1)和B(1,-5)求直线AB的解析式.
分析:
直线的解析式可设为y=kx+b,因为k,b待定,由直线过A(-1,1)和B(1,-5)可以确定.
解:
设直线AB的解析式为:
y=kx+b(k≠0)
∵点A(-1,1)和B(1,-5)在直线y=kx+b上,
∴直线AB的解析式为y=-3x-2
点评:
求函数的解析式可采用待定系数法,这样把求函数的关系转化为解二元一次方程组的问题来解决,用待定系数法确定一次函数解析式的一般步骤为:
(1)设函数的解析式为y=kx+b(k≠0).
(2)将已知点的坐标代入函数的解析式,得出方程组.
(3)求k,b的值,得函数的解析式.
例4、如图,Rt△ABO的顶点A是双曲线
与直线y=-x+(k+1)在第四象限的交点,AB⊥x轴于B且
.
(1)求这两个函数的解析式;
(2)求直线与双曲线的两个交点A、C的坐标及△AOC的面积.
点评:
与点A在双曲线上位置无关,把△AOC分割为△COE与△AOE,是因为这两个三角形的面积均可求,其OE边上的高分别是C、A两点纵坐标的绝对值,应注意数形结合.
例5、如图,已知直线y=-x+2与x轴、y轴分别交于A和点B,另一直线y=kx+b(k≠0)经过点C(1,0),且把△AOB分成两部分.
(1)若△AOB被分成的两部分面积相等,求k和b的值.
(2)若△AOB被分成的两部分面积比为1︰5,求k和b的值.
解:
(1)由直线y=kx+b(k≠0)经过点C(1,0)且把△AOB分成面积相等的两部分,则该直线应为△ABO的中线BC所在的直线,由题意知B点坐标为B(0,2),
∴y=kx+b经过点B(0,2),C(1,0),易求得k=-2,b=2.
(2)如果直线y=kx+b分△AOB两部分的面积比为1︰5,则有两种情形:
①过点C作直线y=kx+b交y轴于点E(0,y0),
例6、已知关于x的函数y=k(x-1)和
它们在同一坐标系的图象大致是( )
A. B. C. D.
解:
选B.
按比例系数的性质进行分类讨论.当k>0时双曲线
在第二、四象限,而直线y=k(x-1)在第一、三、四象限,故只有选B.
例7、已知(-1,y1),(2,y2),(π,y3)在反比例系数
的图象上,则下列结论正确的是( )
A.y1>y2>y3 B.y1>y3>y2
C.y3>y1>y2 D.y2>y3>y1
解:
选B.
无论k为何值,反比例系数-k2-1<0,所以双曲线
的两个分支分别位于第二、四象限.故当x<0时y>0,当x>0,y<0.
∴y1>y2,y1>y3.
又∵2<π,∴y3>y2.
∴y1>y3>y2,选B.
例8、已知反比例函数
的图象上两点A(x1,y1),B(x2,y2),且当x1<0<x2时有y1<y2,则m的取值范围是( )
解:
选C.由x1<0<x2时有y1<y2知1-2m>0,
例9、某批发商欲将一批海产品由A地运往B地,汽车货运公司和铁路货运公司均开办海产品运输业务,已知运输路程为120千米,汽车和火车的速度分别为60千米/时和100千米/时,两货运公司的收费项目及收费标准如下表所示:
运输工具
运输费单价
(元/吨·千克)
冷藏费单价
(元/吨·小时)
过路费
(元)
装卸及管理费
(元)
汽车
2
5
200
0
火车
1.8
5
0
1600
注:
“元/吨·千米”表示每吨货物每千米运费;“元/吨·小时”表示每吨货物每小时冷藏费.
(1)设该批发商待运的海产品有x(吨),汽车货运公司和铁路货运公司所要收取的费用分别为y1(元)和y2(元),试求y1和y2与x的函数关系式.
(2)若该批发商待运的海产品不少于30吨,为节省运费,他应选哪个货运公司承担运输业务?
分析:
这是一道图表信息题,决策题型,读懂题意,列出两个函数关系式是关键.
解:
(1)根据题意有
(2)当y1=y2即222x+1600=250x+200,解得:
x=50;
当y1>y2即250x+200>222x+1600,解得:
x>50;
当y1<y2即250x+200<222x+1600,解得x<50.
当所运产品刚好50吨时,选汽车公司或铁路货运公司中的任意一家均可;当所运产品不少于30吨且不足50吨时,选择汽运公司,当所运海产品多于50吨时,应选择铁路货运公司.
例10、十堰市广电局与长江证券公司联合推出宽带网业务,用户通过宽带网可以享受新闻点播、点击武当、影视欣赏、股市大户室等项服务.其上网费用的方式有:
方式一,每月80元包干;方式二,每月上网时间(x小时)与上网费(y元)的函数关系如图所示;方式三,以0小时为起点,每小时收费1.6元,月收费不超过120元,若设一用户每月上网x小时,月上网总费用y元.
(1)根据图象求出方式二中y与x的函数关系式(0≤x≤100);
(2)试写出方式三中,y与x的函数关系式(0≤x≤75)
(3)试问此用户每月上网60小时,选用哪种方式上网,其费用最少?
分析:
这是一道图象信息题,根据题意,结合图象解题,其中求方式二的解析式是难点,应分0≤x≤50和50≤x≤100两个区间求解析式.
解:
(1)①当0≤x≤50时,y=58.
②当50≤x≤100时,设y=kx+b(k≠0),由图象可知直线经过(50,58),(100,118)两点,
(2)当0≤x≤75时y=1.6x
(3)当x=60时,方式一收费y=80元;
当x=60时,方式二收费y=1.2×60-2=70元;
当x=60时,方式三收费y=1.6×60=96元.
故用户每月上网60小时,应选择方式二上网费用最小.
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