专题70 瓜豆原理中动点轨迹圆或圆弧型最值问题解析版.docx
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专题70瓜豆原理中动点轨迹圆或圆弧型最值问题解析版
专题70瓜豆原理中动点轨迹圆或圆弧型最值问题
【专题说明】
动点的轨迹为定圆时,可利用:
“一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与半径之和,最小值为定点到圆心的距离与半径之差”的性质求解。
确定动点轨迹为圆或者圆弧型的方法:
(1)动点到定点的距离不变,则点的轨迹是圆或者圆弧。
(2)当某条边与该边所对的角是定值时,该角的顶点的轨迹是圆,具体运用如下;
见直角,找斜边,想直径,定外心,现圆形
见定角,找对边,想周角,转心角,现圆形
【知识精讲】
如图,P是圆O上一个动点,A为定点,连接AP,Q为AP中点.
考虑:
当点P在圆O上运动时,Q点轨迹是?
【分析】观察动图可知点Q轨迹是个圆,而我们还需确定的是此圆与圆O有什么关系?
考虑到Q点始终为AP中点,连接AO,取AO中点M,则M点即为Q点轨迹圆圆心,半径MQ是OP一半,任意时刻,均有△AMQ∽△AOP,QM:
PO=AQ:
AP=1:
2.
【小结】确定Q点轨迹圆即确定其圆心与半径,
由A、Q、P始终共线可得:
A、M、O三点共线,
由Q为AP中点可得:
AM=1/2AO.
Q点轨迹相当于是P点轨迹成比例缩放.
根据动点之间的相对位置关系分析圆心的相对位置关系;
根据动点之间的数量关系分析轨迹圆半径数量关系.
如图,P是圆O上一个动点,A为定点,连接AP,作AQ⊥AP且AQ=AP.
考虑:
当点P在圆O上运动时,Q点轨迹是?
【分析】Q点轨迹是个圆,可理解为将AP绕点A逆时针旋转90°得AQ,故Q点轨迹与P点轨迹都是圆.接下来确定圆心与半径.
考虑AP⊥AQ,可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO;
考虑AP=AQ,可得Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO,且可得半径MQ=PO.
即可确定圆M位置,任意时刻均有△APO≌△AQM.
如图,△APQ是直角三角形,∠PAQ=90°且AP=2AQ,当P在圆O运动时,Q点轨迹是?
【分析】考虑AP⊥AQ,可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO;
考虑AP:
AQ=2:
1,可得Q点轨迹圆圆心M满足AO:
AM=2:
1.
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