人教A版高中数学必修4刷题练习正余弦函数的奇偶性单调性与最值.docx
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人教A版高中数学必修4刷题练习正余弦函数的奇偶性单调性与最值
第11课时 正、余弦函数的奇偶性、单调性与最值
对应学生用书P23
知识点一
奇偶性与对称性
1.函数:
①y=x2sinx;②y=sinx,x∈[0,2π];③y=sinx,x∈[-π,π];④y=xcosx中,奇函数的个数为( )
A.1B.2C.3D.4
答案 C
解析 ①③④是奇函数,故选C.
2.函数y=sin的图象的一条对称轴方程是( )
A.x=-B.x=-
C.x=D.x=
答案 A
解析 由y=sinx,得x∈R的对称轴为x=kπ+(k∈Z).∴y=sin的对称轴为2x+=kπ+(k∈Z),即x=-π(k∈Z).
当k=1时,x=-,故选A.
3.已知a∈R,函数f(x)=sinx-|a|,x∈R为奇函数,则a等于( )
A.0B.1C.-1D.±1
答案 A
解析 解法一:
易知y=sinx在R上为奇函数,
∴f(0)=0,∴a=0.
解法二:
∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x),即
sin(-x)-|a|=-sinx+|a|,
-sinx-|a|=-sinx+|a|.
∴|a|=0,即a=0.
4.函数y=sin2x+的图象( )
A.关于点,0对称B.关于直线x=对称
C.关于点,0对称D.关于直线x=对称
答案 A
解析 令2x+=+kπ,k∈Z,则x=+,k∈Z,排除B,D;令2x+=kπ,k∈Z,则x=-+,k∈Z,当k=1时,对称中心为,0.
5.函数y=的奇偶性为( )
A.奇函数
B.既是奇函数又是偶函数
C.偶函数
D.非奇非偶函数
答案 D
解析 由题意知,1-sinx≠0,即sinx≠1,
所以函数的定义域为,
由于定义域关于原点不对称,所以该函数是非奇非偶函数.
知识点二
单调性
6.下列关系式中正确的是( )
A.sin11° B.sin168° C.sin11° D.sin168° 答案 C 解析 ∵sin168°=sin(180°-12°)=sin12°,cos10°=sin(90°-10°)=sin80°,由函数y=sinx的单调性,得sin11° 7.求下列函数的单调区间: (1)y=cos2x; (2)y=2sin. 解 (1)函数y=cos2x的单调递增区间、单调递减区间分别由下面的不等式确定: 2kπ-π≤2x≤2kπ,k∈Z,2kπ≤2x≤2kπ+π,k∈Z. ∴kπ-≤x≤kπ,k∈Z,kπ≤x≤kπ+,k∈Z. ∴函数y=cos2x的单调递增区间为,k∈Z,单调递减区间为,k∈Z. (2)y=2sin=-2sin, 函数y=-2sin的单调递增、递减区间,是函数y=2sin的单调递减、递增区间. 令2kπ+≤x-≤2kπ+,k∈Z. 即2kπ+≤x≤2kπ+,k∈Z. 即函数y=2sin的单调递增区间为2kπ+,2kπ+,k∈Z. 令2kπ-≤x-≤2kπ+,k∈Z. 即2kπ-≤x≤2kπ+,k∈Z. 即函数y=2sin的单调递减区间为2kπ-,2kπ+,k∈Z. 知识点三 值域、最值 8.求下列函数的值域. (1)y=sin2x-,x∈0,; (2)y=; (3)y=. 解 (1)由0≤x≤,得-≤2x-≤,由函数图象或单位圆可得原函数的值域为-,1. (2)y= =. ∵-1≤cosx≤1,且-2cos2x+3cosx-1≥0, ∴≤cosx≤1. ∴当cosx=时,ymax==; 当cosx=或cosx=1时,ymin=0. 故所求函数的值域为. (3)解法一: (分离常数) y==-1+, ∵-1≤cosx≤1, ∴1≤2-cosx≤3,≤≤4. ∴≤y≤3,即函数的值域为. 解法二: (数形结合) 设P(2,2),Q(cosx,-cosx). 则Q点在线段y=-x,-1≤x≤1上,而y的取值范围为PQ的斜率的取值范围. 由图可以看出, kPA≤kPQ≤kPB. 而kPA==, kPB==3. ∴≤kPQ≤3, 即函数的值域为. 解法三: (反解) 由y=得(1+y)cosx=2y-2, ∵1+y≠0(否则两边不成立), ∴cosx=. 由|cosx|≤1,即≤1,解得≤y≤3. ∴函数值域为. 9.求关于x的函数y=asinx+b(a,b∈R,a≠0)的最大值、最小值. 解 由x∈R知-1≤sinx≤1. 若a>0,则 当sinx=1时,函数y=asinx+b取大值,最大值为a+b. 当sinx=-1时,函数y=asinx+b取最小值,最小值为b-a. 若a<0,则 当sinx=-1时,函数y=asinx+b取最大值,最大值为b-a. 当sinx=1时,函数y=asinx+b取最小值,最小值为a+b. 对应学生用书P24 一、选择题 1.已知函数f(x)=sin(x∈R),下列结论错误的是( ) A.函数f(x)的最小正周期为2π B.函数f(x)在区间上是增函数 C.函数f(x)的图象关于直线x=0对称 D.函数f(x)为奇函数 答案 D 解析 因为f(x)=sin=-cosx,所以T=2π,故A项正确;因为y=cosx在上是减函数,所以y=-cosx在上是增函数,故B项正确;因为f(0)=sin=-1,所以f(x)的图象关于直线x=0对称,故C项正确;f(x)=-cosx是偶函数,故D项错误. 2.若函数f(x)=sin(φ∈[0,2π])是偶函数,则φ=( ) A.B.C.D. 答案 C 解析 ∵f(x)=sin是偶函数,∴f(0)=±1. ∴sin=±1.∴=kπ+(k∈Z).∴φ=3kπ+(k∈Z).又∵φ∈[0,2π],∴当k=0时,φ=.故选C. 3.函数y=4cos2x+4cosx-2的值域是( ) A.[-2,6]B.[-3,6] C.[-2,4]D.[-3,8] 答案 B 解析 令cosx=t,则t∈[-1,1],所以y=4t2+4t-2=(2t+1)2-3,所以y∈[-3,6]. 4.若函数f(x)=sinωx(ω>0)在区间上单调递增,在区间上单调递减,则ω=( ) A.3B.2C.D. 答案 C 解析 因为当0≤ωx≤时,函数f(x)为增函数,当≤ωx≤π时,函数f(x)为减函数,即当0≤x≤时,函数f(x)为增函数,当≤x≤时,函数f(x)为减函数,所以=,所以ω=. 5.已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)(ω>0)的图象关于直线x=对称,且f=0,则ω的最小值为( ) A.2B.4C.6D.8 答案 A 解析 由题设知直线x=,点分别为f(x)图象的对称轴与对称中心, 故+φ=k1π(k1∈Z),+φ=k2π+(k2∈Z), 于是=(k2-k1)π+,故ω的最小值是2. 二、填空题 6.函数y=cosx-在0,上的单调递增区间为________. 答案 0, 解析 由2kπ-π≤x-≤2kπ(k∈Z),得2kπ-≤x≤2kπ+(k∈Z).∵x∈0,,∴0≤x≤.即所求的单调递增区间为0,. 7.已知函数f(x)=2sinx,对任意的x∈R都有f(x1)≤f(x)≤f(x2),则|x1-x2|的最小值为________. 答案 π 解析 由题意知[f(x)]min=f(x1),[f(x)]max=f(x2),所以|x1-x2|min=×2π=π. 8.函数y=log2(sinx)的单调递增区间为________. 答案 2kπ,+2kπ(k∈Z) 解析 由题意,得sinx>0,所以2kπ 三、解答题 9.求函数y=cos2x+4sinx的最大值和最小值,及取到最大值和最小值时的x的取值集合. 解 函数y=cos2x+4sinx=1-sin2x+4sinx=-sin2x+4sinx+1=-(sinx-2)2+5. ∵-1≤sinx≤1,∴当sinx=1,即x=2kπ+,k∈Z时,ymax=4; 当sinx=-1,即x=2kπ-,k∈Z时,ymin=-4. ∴ymax=4,此时x的取值集合是xx=2kπ+,k∈Z; ymin=-4,此时x的取值集合是xx=2kπ-,k∈Z. 10.设函数f(x)=asin2x++b. (1)若a>0,求f(x)的单调递增区间; (2)当x∈0,时,f(x)的值域为[1,3],求a,b的值. 解 (1)由于a>0, 令2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z, 得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z. 所以f(x)的单调递增区间是kπ-,kπ+,k∈Z. (2)当x∈0,时,≤2x+≤, 则≤sin2x+≤1, 由f(x)的值域为[1,3]知, 解得 或解得 综上得: 或
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