青岛版初二上学期知识点总结数学初中教育教育专区.docx
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青岛版初二上学期知识点总结数学初中教育教育专区
初二上学期知识点总结
三角形
几何A级概念:
(要求深刻理解、熟练运用、主要用于几何证明)
1.三角形的角平分线定义:
三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交,这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.(如图)
几何表达式举例:
(1)∵AD平分∠BAC
∴∠BAD=∠CAD
(2)∵∠BAD=∠CAD
∴AD是角平分线
2.三角形的中线定义:
在三角形中,连结一个顶点和它的对边的中点的线段叫做三角形的中线.(如图)
几何表达式举例:
(1)∵AD是三角形的中线
∴BD=CD
(2)∵BD=CD
∴AD是三角形的中线
3.三角形的高线定义:
从三角形的一个顶点向它的对边画垂线,顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线.
(如图)
几何表达式举例:
(1)∵AD是ΔABC的高
∴∠ADB=90°
(2)∵∠ADB=90°
∴AD是ΔABC的高
※4.三角形的三边关系定理:
三角形的两边之和大于第三边,三角形的两边之差小于第三边.(如图)
几何表达式举例:
(1)∵AB+BC>AC
∴……………
(2)∵AB-BC<AC
∴……………
5.等腰三角形的定义:
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.(如图)
几何表达式举例:
(1)∵ΔABC是等腰三角形
∴AB=AC
(2)∵AB=AC
∴ΔABC是等腰三角形
6.等边三角形的定义:
有三条边相等的三角形叫做等边三角形.(如图)
几何表达式举例:
(1)∵ΔABC是等边三角形
∴AB=BC=AC
(2)∵AB=BC=AC
∴ΔABC是等边三角形
7.三角形的内角和定理及推论:
(1)三角形的内角和180°;(如图)
(2)直角三角形的两个锐角互余;(如图)
(3)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和;(如图)
※(4)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
(1)
(2)(3)(4)
几何表达式举例:
(1)∵∠A+∠B+∠C=180°
∴…………………
(2)∵∠C=90°
∴∠A+∠B=90°
(3)∵∠ACD=∠A+∠B
∴…………………
(4)∵∠ACD>∠A
∴…………………
8.直角三角形的定义:
有一个角是直角的三角形叫直角三角形.(如图)
几何表达式举例:
(1)∵∠C=90°
∴ΔABC是直角三角形
(2)∵ΔABC是直角三角形
∴∠C=90°
9.等腰直角三角形的定义:
两条直角边相等的直角三角形叫等腰直角三角形.(如图)
几何表达式举例:
(1)∵∠C=90°CA=CB
∴ΔABC是等腰直角三角形
(2)∵ΔABC是等腰直角三角形
∴∠C=90°CA=CB
10.全等三角形的性质:
(1)全等三角形的对应边相等;(如图)
(2)全等三角形的对应角相等.(如图)
几何表达式举例:
(1)∵ΔABC≌ΔEFG
∴AB=EF………
(2)∵ΔABC≌ΔEFG
∴∠A=∠E………
11.全等三角形的判定:
“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”“HL”.(如图)
(1)
(2)
(3)
几何表达式举例:
(1)∵AB=EF
∵∠B=∠F
又∵BC=FG
∴ΔABC≌ΔEFG
(2)………………
(3)在RtΔABC和RtΔEFG中
∵AB=EF
又∵AC=EG
∴RtΔABC≌RtΔEFG
12.角平分线的性质定理及逆定理:
(1)在角平分线上的点到角的两边距离相等;(如图)
(2)到角的两边距离相等的点在角平分线上.(如图)
几何表达式举例:
(1)∵OC平分∠AOB
又∵CD⊥OACE⊥OB
∴CD=CE
(2)∵CD⊥OACE⊥OB
又∵CD=CE
∴OC是角平分线
13.线段垂直平分线的定义:
垂直于一条线段且平分这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线.(如图)
几何表达式举例:
(1)∵EF垂直平分AB
∴EF⊥ABOA=OB
(2)∵EF⊥ABOA=OB
∴EF是AB的垂直平分线
14.线段垂直平分线的性质定理及逆定理:
(1)线段垂直平分线上的点和这条线段的两个端点的距离相等;(如图)
(2)和一条线段的两个端点的距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.(如图)
几何表达式举例:
(1)∵MN是线段AB的垂直平分线
∴PA=PB
(2)∵PA=PB
∴点P在线段AB的垂直平分线上
15.等腰三角形的性质定理及推论:
(1)等腰三角形的两个底角相等;(即等边对等角)(如图)
(2)等腰三角形的“顶角平分线、底边中线、底边上的高”三线合一;(如图)
(3)等边三角形的各角都相等,并且都是60°.(如图)
(1)
(2)
(3)
几何表达式举例:
(1)∵AB=AC
∴∠B=∠C
(2)∵AB=AC
又∵∠BAD=∠CAD
∴BD=CD
AD⊥BC
………………
(3)∵ΔABC是等边三角形
∴∠A=∠B=∠C=60°
16.等腰三角形的判定定理及推论:
(1)如果一个三角形有两个角都相等,那么这两个角所对边也相等;(即等角对等边)(如图)
(2)三个角都相等的三角形是等边三角形;(如图)
(3)有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形;(如图)
(4)在直角三角形中,如果有一个角等于30°,那么它所对的直角边是斜边的一半.(如图)
(1)
(2)(3)
(4)
几何表达式举例:
(1)∵∠B=∠C
∴AB=AC
(2)∵∠A=∠B=∠C
∴ΔABC是等边三角形
(3)∵∠A=60°
又∵AB=AC
∴ΔABC是等边三角形
(4)∵∠C=90°∠B=30°
∴AC=
AB
17.关于轴对称的定理
(1)关于某条直线对称的两个图形是全等形;(如图)
(2)如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线.(如图)
几何表达式举例:
(1)∵ΔABC、ΔEGF关于MN轴对称
∴ΔABC≌ΔEGF
(2)∵ΔABC、ΔEGF关于MN轴对称
∴OA=OEMN⊥AE
18.勾股定理及逆定理:
(1)直角三角形的两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即a2+b2=c2;(如图)
(2)如果三角形的三边长有下面关系:
a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.(如图)
几何表达式举例:
(1)∵ΔABC是直角三角形
∴a2+b2=c2
(2)∵a2+b2=c2
∴ΔABC是直角三角形
19.RtΔ斜边中线定理及逆定理:
(1)直角三角形中,斜边上的中线是斜边的一半;(如图)
(2)如果三角形一边上的中线是这边的一半,那么这个三角形是直角三角形.(如图)
几何表达式举例:
∵ΔABC是直角三角形
∵D是AB的中点
∴CD=
AB
(2)∵CD=AD=BD
∴ΔABC是直角三角形
几何B级概念:
(要求理解、会讲、会用,主要用于填空和选择题)
一基本概念:
三角形、不等边三角形、锐角三角形、钝角三角形、三角形的外角、全等三角形、角平分线的集合定义、原命题、逆命题、逆定理、尺规作图、辅助线、线段垂直平分线的集合定义、轴对称的定义、轴对称图形的定义、勾股数.
二常识:
1.三角形中,第三边长的判断:
另两边之差<第三边<另两边之和.
2.三角形中,有三条角平分线、三条中线、三条高线,它们都分别交于一点,其中前两个交点都在三角形内,而第三个交点可在三角形内,三角形上,三角形外.注意:
三角形的角平分线、中线、高线都是线段.
3.如图,三角形中,有一个重要的面积等式,即:
若CD⊥AB,BE⊥CA,则CD·AB=BE·CA.
4.三角形能否成立的条件是:
最长边<另两边之和.
5.直角三角形能否成立的条件是:
最长边的平方等于另两边的平方和.
6.分别含30°、45°、60°的直角三角形是特殊的直角三角形.
7.如图,双垂图形中,有两个重要的性质,即:
(1)AC·CB=CD·AB;
(2)∠1=∠B,∠2=∠A.
8.三角形中,最多有一个内角是钝角,但最少有两个外角是钝角.
9.全等三角形中,重合的点是对应顶点,对应顶点所对的角是对应角,对应角所对的边是对应边.
10.等边三角形是特殊的等腰三角形.
11.几何习题中,“文字叙述题”需要自己画图,写已知、求证、证明.
12.符合“AAA”“SSA”条件的三角形不能判定全等.
13.几何习题经常用四种方法进行分析:
(1)分析综合法;
(2)方程分析法;(3)代入分析法;(4)图形观察法.
14.几何基本作图分为:
(1)作线段等于已知线段;
(2)作角等于已知角;(3)作已知角的平分线;(4)过已知点作已知直线的垂线;(5)作线段的中垂线;(6)过已知点作已知直线的平行线.
15.会用尺规完成“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”、“HL”、“等腰三角形”、“等边三角形”、“等腰直角三角形”的作图.
16.作图题在分析过程中,首先要画出草图并标出字母,然后确定先画什么,后画什么;注意:
每步作图都应该是几何基本作图.
17.几何画图的类型:
(1)估画图;
(2)工具画图;(3)尺规画图.
※18.几何重要图形和辅助线:
(1)选取和作辅助线的原则:
①构造特殊图形,使可用的定理增加;
②一举多得;
③聚合题目中的分散条件,转移线段,转移角;
④作辅助线必须符合几何基本作图.
(2)已知角平分线.(若BD是角平分线)
①在BA上截取BE=BC构造全等,转移线段和角;
②过D点作DE∥BC交AB于E,构造等腰三角形.
(3)已知三角形中线(若AD是BC的中线)
①过D点作DE∥AC交AB于E,构造中位线;
②
延长AD到E,使DE=AD
连结CE构造全等,转移线段和角;
③∵AD是中线
∴SΔABD=SΔADC
(等底等高的三角形等面积)
(4)已知等腰三角形ABC中,AB=AC
①作等腰三角形ABC底边的中线AD
(顶角的平分线或底边的高)构造全
等三角形;
②作等腰三角形ABC一边的平行线DE,构造
新的等腰三角形.
(5)其它
作等边三角形ABC
一边的平行线DE,构造新的等边三角形;
②作CE∥AB,转移角;
③延长BD与AC交于E,不规则图形转化为规则图形;
④多边形转化为三角形;
⑤延长BC到D,使CD=BC,连结AD,直角三角形转化为等腰三角形;
⑥若a∥b,AC,BC是角平
分线,则∠C=90°.
分式
1.分式的定义:
如果A、B表示两个整式,并且B中含有字母,那么式子
叫做分式。
2.分式有意义、无意义的条件:
分式有意义的条件:
分式的分母不等于0;
分式无意义的条件:
分式的分母等于0。
3.分式值为零的条件:
当分式的分子等于0且分母不等于0时,分式的值为0。
(分式的值是在分式有意义的前提下才可以考虑的,所以使分式为0的条件是A=0,且B≠0.)
(分式的值为0的条件是:
分子等于0,分母不等于0,二者缺一不可。
首先求出使分子为0的字母的值,再检
验这个字母的值是否使分母的值为0.当分母的值不为0时,就是所要求的字母的值。
)
4.分式的基本性质:
分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式,分式的值不变。
用式子表示为(
),其中A、B、C是整式
注意:
(1)“C是一个不等于0的整式”是分式基本性质的一个制约条件;
(2)应用分式的基本性质时,要深刻理解“同”的含义,避免犯只乘分子(或分母)的错误;
(3)若分式的分子或分母是多项式,运用分式的基本性质时,要先用括号把分子或分母括上,再乘或除以同一
整式C;
(4)分式的基本性质是分式进行约分、通分和符号变化的依据。
5.分式的通分:
和分数类似,利用分式的基本性质,使分子和分母同乘适当的整式,不改变分式的值,把几个异分母分式化成
相同分母的分式,这样的分式变形叫做分式的通分。
通分的关键是确定几个式子的最简公分母。
几个分式通分时,通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分
母,这样的分母就叫做最简公分母。
求最简公分母时应注意以下几点:
(1)“各分母所有因式的最高次幂”是指凡出现的字母(或含字母的式子)为底数的幂选取指数最大的;
(2)如果各分母的系数都是整数时,通常取它们系数的最小公倍数作为最简公分母的系数;
(3)如果分母是多项式,一般应先分解因式。
6.分式的约分:
和分数一样,根据分式的基本性质,约去分式的分子和分母中的公因式,不改变分式的值,这样的分式变形叫
做分式的约分。
约分后分式的分子、分母中不再含有公因式,这样的分式叫最简公因式。
约分的关键是找出分式中分子和分母的公因式。
(1)约分时注意分式的分子、分母都是乘积形式才能进行约分;分子、分母是多项式时,通常将分子、分母
分解因式,然后再约分;
(2)找公因式的方法:
①当分子、分母都是单项式时,先找分子、分母系数的最大公约数,再找相同字母的最低次幂,它们的积就
是公因式;
②当分子、分母都是多项式时,先把多项式因式分解。
易错点:
(1)当分子或分母是一个式子时,要看做一个整体,易出现漏乘(或漏除以);
(2)在式子变形中要注意分子与分母的符号变化,一般情况下要把分子或分母前的“—”放在分数线前;
(3)确定几个分式的最简公分母时,要防止遗漏只在一个分母中出现的字母;
7.分式的运算:
分式乘法法则:
分式乘分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为积的分母。
分式除法法则:
分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘。
用式子表示是:
提示:
(1)分式与分式相乘,若分子、分母是单项式,可先将分子、分母分别相乘,然后约去公因式,化为最简
分式;若分子、分母是多项式,先把分子、分母分解公因式,看能否约分,然后再相乘;
(2)当分式与整式相乘时,要把整式与分式的分子相乘作为积的分子,分母不变
(3)分式的除法可以转化为分式的乘法运算;
(4)分式的乘除混合运算统一为乘法运算。
①分式的乘除法混合运算顺序与分数的乘除混合运算相同,即按照从左到右的顺序,有括号先算括号
里面的;
②分式的乘除混合运算要注意各分式中分子、分母符号的处理,可先确定积的符号;
③分式的乘除混合运算结果要通过约分化为最简分式(分式的分子、分母没有公因式)或整式的形式。
分式乘方法则:
分式乘方要把分子、分母各自乘方。
用式子表示是:
(其中n是正整数)
注意:
(1)乘方时,一定要把分式加上括号;
(2)分式乘方时确定乘方结果的符号与有理数乘方相同,即正分式的任何次幂都为正;负分式的偶次幂
为正,奇次幂为负;
(3)分式乘方时,应把分子、分母分别看做一个整体;
(4)在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时,应先算乘方,再算乘除,有多项式时应先分解
因式,再约分。
分式的加减法则:
法则:
同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减。
用式子表示为:
±=
法则:
异分母的分式相加减,先通分,转化为同分母分式,然后再加减。
用式子表示为:
±=±=
注意:
(1)“把分子相加减”是把各个分子的整体相加减,即各个分子应先加上括号后再加减,分子是单项式时括
号可以省略;
(2)异分母分式相加减,“先通分”是关键,最简公分母确定后再通分,计算时要注意分式中符号的处理,
特别是分子相减,要注意分子的整体性;
(3)运算时顺序合理、步骤清晰;
(4)运算结果必须化成最简分式或整式。
分式的混合运算:
分式的混合运算,关键是弄清运算顺序,与分数的加、减、乘、除及乘方的混合运算一样,先算乘方,再算
乘除,最后算加减,有括号要先算括号里面的,计算结果要化为整式或最简分式。
8、分式方程:
含分式,并且分母中含未知数的方程叫做分式方程。
去分母
分式方程的解法:
转化
(1)解分式方程的基本思想方法是:
分式方程-----→整式方程.
(2)解分式方程的一般方法和步骤:
①去分母:
即在方程的两边都同时乘以最简公分母,把分式方程化为整式方程,依据是等式的基本性质;
②解这个整式方程;
③检验:
把整式方程的解代入最简公分母,使最简公分母不等于0的解是原方程的解,使最简公分母等于0
的解不是原方程的解,即说明原分式方程无解。
注意:
①去分母时,方程两边的每一项都乘以最简公分母,不要漏乘不含分母的项;
②解分式方程必须要验根,千万不要忘了!
9、解分式方程的步骤:
(1)能化简的先化简;
(2)方程两边同乘以最简公分母,化为整式方程;(3)解整式方程;(4)验根.
分式方程检验方法:
将整式方程的解带入最简公分母,如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解;否则,这个解不是原分式方程的解。
10、.含有字母的分式方程的解法:
在数学式子的字母不仅可以表示未知数,也可以表示已知数,含有字母已知数的分式方程的解法,也是去分母,
解整式方程,检验这三个步骤,需要注意的是要找准哪个字母表示未知数,哪个字母表示未知数,还要注意题目的
限制条件。
计算结果是用已知数表示未知数,不要混淆。
11、.列分式方程解应用题的步骤是:
(1)审:
审清题意;
(2)找:
找出相等关系;(3)设:
设未知数;(4)列:
列出分式方程;(5)解:
解这个分式方程;(6)验:
既要检验根是否是所列分式方程的解,又要检验根是否符合题意;(7)答:
写出答案。
应用题有几种类型;基本公式是什么?
基本上有五种:
(1)行程问题基本公式:
路程=速度×时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题.
(2)数字问题:
在数字问题中要掌握十进制数的表示法.
(3)工程问题基本公式:
工作量=工时×工效.
(4)顺水逆水问题v顺水=v静水+v水.v逆水=v静水-v水.
数据的分析
1.加权平均数:
加权平均数的计算公式。
权的理解:
反映了某个数据在整个数据中的重要程度。
学会权没有直接给出数量,而是以比的或百分比的形式出现及频数分布表求加权平均数的方法。
2.将一组数据按照由小到大(或由大到小)的顺序排列,如果数据的个数是奇数,则处于中间位置的数就是这组数据的中位数(median);如果数据的个数是偶数,则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数。
3.一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数(mode)。
4.一组数据中的最大数据与最小数据的差叫做这组数据的极差(range)。
5. 方差越大,数据的波动越大;方差越小,数据的波动越小,就越稳定。
6.平均数受极端值的影响众数不受极端值的影响,这是一个优势,中位数的计算很少不受极端值的影响。
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