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两次植树的比较与思考
两次“植树”的比较与思考
张卫星
2015年9月,我参加浙江省信息技术应用提升工程培训,选择的项目是“小学数学交互式教学的初级水平”。
11月底,培训进入教学实践环节。
根据要求,我校至少有一位数学教师要拍摄40分钟的教学视频,其余教师只要拍摄15分钟就可以了。
由于我调到白塔二小担任分管教学的副校长不足三个月,为了营造教研氛围,我决定承担40分钟教学视频拍摄这一任务。
选什么内容呢?
我思索了好几天,最后确定执教人教版数学五年级上册的“植树问题”第一课时。
一、汲取营养
“植树问题”并不陌生,我在2008年11月就上过这一节课,并在2008年12月台州市小学教科室主任实务培训中作了题为“简约充实与数学建模的完美整合”的专题讲座。
在此基础上撰写的《“植树问题”教学设计与说明》在《教学与管理》上发表;撰写的《小步子推进:
数学建模的有效策略》在《教学月刊》上发表,后被中国人民大学主办的《小学各科教与学》杂志全文转载。
可以说,2008年的那次教学比较成功。
当年最让我心动的是如下这一幕。
课例1:
“植树问题”
在学生经历第一次模拟植树(每隔5米)后,我对学生说:
“如果让你来植树,同样全长20米,还可以每隔几米栽1棵?
”一位学生马上说:
“还可以是2米、4米、10米和20米。
”我说:
“为什么?
”他立即说:
“因为20除以它们,能除完。
”我不得不佩服这位学生。
于是我马上出示学习任务——每小组选取其中一种方案进行画图研究,看看间隔数和棵数之间到底有什么关系?
在经历一番探究与交流后,课件呈现如表1所示:
表1“植树问题”探讨一
全长(米)
间隔长度(米)
两端都栽
间隔数(个)
棵数(个)
20
5
4
5
4
5
6
10
2
3
20
1
2
2
10
11
这个时候,我又追问:
“除了路长是20米,还可以是几米?
怎么种?
下面请同学们用自己喜欢的方式去植树,路的全长与间隔长度由你们自己决定,不过每小组只能确定一种方案去植树。
”
学生再次展开探究,结果汇报如表2所示:
表2“植树问题”探讨二
全长(米)
间隔长度(米)
两端都栽
间隔数(个)
棵数(棵)
60
20
3
4
80
10
8
9
160
10
16
17
最后,我问道:
“观察这两张表格,你发现了什么?
”一个学生马上说:
“棵数=间隔数+1;间隔数=棵数-1。
”另一个学生也抢着说:
“间隔长度×间隔数=全长。
”预设的答案如期而至,我不得不赞叹学生的聪明才智。
“除了这两个发现,还有新的发现吗?
”我及时追问。
教室里顿时安静下来。
这时,一位小男孩突然举手说:
“老师,我有新的发现!
”“你来谈谈!
”我鼓励他。
“老师,我发现间隔数增加8-3=5个,棵树也增加9-4=5个。
间隔数增加16-8=8个,棵数也增加17-9=8棵!
”小男生的回答出乎我的意外,这个结论我事先都没想到。
我只能微笑着说:
“此时,应该有……”旋即,教室里响起一片掌声。
“老师,老师,我也有新的发现!
”一个小女生轻轻地说!
我示意大家安静下来,小女生说:
“间隔长度都是10米,全长由80米扩大到160米,扩大了2倍,结果间隔数也扩大了16÷8=2倍!
”教室再次掌声如潮……
那么,当初为什么会有这样精彩的一幕呢?
原来,当初为了突出“分散建模”这一主题,在教学时做了两个处理。
一是对教学内容进行了简化。
关于一条线段的植树问题有三种情形,但我为了突出基本模型的构建,只教学第一种情形——两端都种。
这样一来,学生就有了足够的时间和空间进行建模体验。
二是充实建模过程。
为了让学生真正理解植树问题的基本模型,我把建模过程分成八小步进行,可以说达到了充分细化。
其建模的主要过程如下:
创设原型,理解间隔与间隔数;解读问题中蕴含的数学信息;教师模拟栽树;学生第一次利用泡沫和牙签模拟栽树;学生利用画线段图的方式第二次模拟栽树;学生第三次模拟栽树;信息汇总,植树问题基本模型水到渠成;解释植树模型中“1”的含义。
而上述这一幕其实就是这八步当中的五、六、七三步,前面四步的经历也为这三步的成功做好了铺垫。
二、再展风采
七年后重新执教这一课,不可能重走老路。
七年前我也曾经想过用“整体建模”来教学这一课,但自己说服不了自己,最终选择了分散建模。
七年后,我的经历更加丰富,理应给自己一个挑战。
于是,我决定用整体建模的策略演绎这一课。
(一)纸上谈兵:
预设整体建模思路
整体思路已定,如何展开?
如果在一节课内同时构建植树问题的三种基本模型,肯定要创设一个集中的探究平台。
而要让这个探究平台有效,只能选择一种模拟植树的方法,否则时间无法保证。
经再三斟酌,决定采用画线段图的方式来模拟植树。
而要让学生经历画线段图的模拟过程,又必须要解决间隔、间隔数、棵数等基本概念,还要让学生事先感受三种植树类型的特征。
经过这样一个层次一个层次的推考,整体建模的思路就理顺了。
(二)牛刀小试:
检验预设是否可行
纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行。
事先预设思路是否可行,终究要经过课堂检验。
于是,第一次试教便开始了。
当教学进行到学生画线段图探索三种植树规律时,却发现很多学生的思维出现混乱,找到的植树规律偏差较大。
这样一来,笔者只能一个模型一个模型轮流着讲过去,结果得出三个模型后,下课铃就响了。
事先我已经引导学生解读过棵数、间隔数,也示范过画线段图,为什么还会出现这样的结果呢?
我百思不得其解,只得私下向几个学生了解情况,原因渐渐明朗,主要有两个:
一个是学生不知道如何画线段图,不知道该画几个间隔;另一个是学生不知道在一端栽一端不栽和两端不栽的情况下,棵数和间隔数如何确定。
找到了问题,就要想办法破解。
针对第一个原因,我专门做了一张动态模拟画线段图的幻灯片,让学生模仿着画。
针对第二个问题,我在教学植树三种情况时,就让学生亲身经历数间隔数和棵数的过程,让学生明白其中的奥秘。
可见,实践是检验真理的手段!
只有经过实践,才能知道问题出在哪里,才能找到补救的措施。
(三)真枪实弹:
正式拍摄教学视频
由于时间紧,任务重,一次试教后,正式教学视频拍摄便开始了。
课前忐忑不安,课后却成功满满,我不得不为自己点个赞。
其中最引以为豪的是如下这一幕。
课例2:
再次“植树”
在学生厘清了植树类型及经历模拟植树后,我及时抛出任务:
在全长20米的小路一边植树,每隔5米栽一棵,有几种栽法?
请在表格内用线段图表示出来,同时完成表格其它任务。
接着,我又提出四个要求:
⑴先想一想要画几个间隔才是20米;⑵每个间隔尽量一样长;⑶独立完成后小组交流;⑷线段图要求用直尺画。
学生都开始动起来,认认真真地画线段图并努力思考相关任务,不到5分钟就有学生完成了任务。
不一会儿,教室便由静转动,大家争着要发言。
我先让一位小女生来解说展台上的作品。
对于我的提问,小女生自信地一一解答,解释了所画线段图的含义和类型,第一条线段图“两端都有一棵树,属于两端都栽”。
教师追问“棵树和间隔树之间又有什么关系”,她又准确地回答道:
““棵树=间隔数+1。
”教室里的掌声此起彼伏……
“那第二条线段图属于哪种类型?
棵树和间隔树之间又有什么关系?
”我趁势继续问道,并把问题简化了。
有学生抢着回答:
“第二条线段属于两端不栽,棵树=间隔数-1。
”
“那栽法3有什么特点?
”我继续补问,进一步简化问题。
学生有条理地回答:
“栽法3是一端栽一端不栽,棵数=间隔数。
”
接着,我又和学生一起验证这三个模型,结果准确无误。
最后,课件呈现如图1所示:
图1“植树问题”3种栽法总结
(四)及时反思:
分析建模成功原因
为什么学生能够这样有效地整体建构出这三个模型呢?
其实,经过第一次试教后,我重新思考对策,做足了功课。
我有意识地让学生经历三个阶段模拟植树的过程。
第一阶段是教师模拟。
教学伊始,我形象地展示出的第一次模拟植树的全过程,让学生直观地认识间隔及间隔数。
第二次模拟重在让学生认识植树的类型及特点。
第三次模拟重在让学生学会如何用画线段图的方式模拟植树,为下面学生的模拟做好准备。
第二阶段是学生模拟。
由于有前面三次的示范,学生基本上能完成模拟任务。
“想一想,画几个间隔才是20米?
”这样的问题让学生的模拟更高效。
在模拟的基础上,学生自主提炼出三个植树模型。
对于这样的模型,学生记忆特别深刻。
第三阶段是模拟验证。
学生提炼出的模型是着眼于一种情况的,能否通用必须要经历验证的过程。
为此,我在学生得出模型后,借助课件和学生一起验证这三种模型。
经历验证后,学生对这三个模型深信不疑。
可见,整体建模前需要做足功课。
三、聚沙成塔
虽然间隔七年,但两次教学都比较成功,而我更喜欢后一次教学,因为后一次一节课就完成了三节课的教学任务。
静下心来思索,我发现后一次教学与前一次相比,主要有如下三个改变:
一是教学策略的改变。
前一次的教学策略是分散建模,主要建构一个模型,后一次教学的策略是整体建模,也就是说在第一节课整体建构三种植树模型。
事实表明,在教师的引导下同时建构三种模型,学生能够领悟,而且对植树类型及相应的模型印象深刻。
二是探究内容的改变。
前一次教学主要探究两端都栽的情况下,路长、植树棵数、间隔长度和间隔数之间的关系。
而后一次教学却探究三种类型的植树情况下,路长、植树棵数、间隔长度和间隔数之间的关系。
因此,用线段图画出相应类型的植树模型是后一次教学的难点所在。
由于有事先的示范模拟,学生基本能画出。
特别是探究表格的设计,让学生的探究思路更加清晰。
同时,为了让学生相信自己得出的三个模型,教学时还安排了一个交互式的验证环节,让学生对自己的发现深信不疑。
三是教学媒体的改变。
前一次教学主要借助简易多媒体,后一次教学主要借助电子白板。
为此,我苦练课件制作水平。
特别是模拟植树这一环节,我一开始就想制作动态植树的课件,但一直找不到窍门。
后来无意间想到用插入文本框的方法,从而制作出模拟植树的动态课件,使得课堂教学更加高效。
为了充分尝试交互式教学,我还努力钻研电子白板的使用方法,并设计了以前从未设计过的流程图(略)。
可以说,教学媒体的改变促使我信息技术应用能力的快速提升。
三个改变中最为重要的是教学策略的改变。
与分散建模教学相比,整体建模更强调学习资源的整合与生成,着眼于学习的实践性,重视学生学的过程,强调数学活动的整体推进。
因此,整体建模应当成为数学教学的主流。
通过前后两次教学对比,我最大的收获有如下三点:
⒈通读教材,合理分块。
数学知识的单元编排,是将有内在联系的、具有共同主题的内容构成一个整体,并且根据学生的认知规律,由浅入深、由易到难进行编排。
但如果教师对教材解读不当,按部就班地照本宣科,则容易步入“教学雷同、环节反复、练习重复”的局面。
因此,通读教材,用整体的视角对单元教学内容进行准确定位、合理分块,是实施整体建模的一个必要环节。
如“植树问题”这个单元,主要内容分成两块,一是线段植树,二是环形植树。
而线段植树的三种类型难度系数相近,完全可以分在一块。
⒉有机整合,创设基点。
有时候一节课包含的知识点比较多,这时候就要对这些知识点进行梳理,有机整合,力求把这些知识点融合在一个探究平台中。
然后以这个探究平台为基点,顺势解决所有的知识点。
如四年级“三角形的分类”这一课,可以先让学生统计教材上提供的6个三角形中锐角、钝角和直角的个数,然后以这个统计表为基础,从中发现角的个数规律,从而揭示出三种三角形的概念。
接着,通过这张表来揭示这三种三角形之间的关系。
最后还是回到这张表,让学生回答为什么有了直角就不会出现钝角,为下一节课“三角形内角和”的教学埋下伏笔。
这样以统计表为基点展开建模,整体感明显,效果显著。
⒊提炼任务,整体解决。
即要求老师一下把全部任务交给学生,要求学生一次性思考解决这些问题。
如后一次的“植树问题”教学就是把构建三个植树模型的任务一次性布置给学生,学生在模拟植树的过程中整体建构,并通过比较,深刻领会各模型之间的联系与区别。
总之,在数学教学中我们要注重整体建模观念的确立,注意整体效应的发挥,关注学生整体意识的培养。
我相信,只要我们让整体建模成为一种教学常态,学生的数学素养必将快速提升。
【曾获得长三角城市群2017年“我的教改试验”征文一等奖,并被收入《教改试验的30个样本》(张肇丰、徐士强主编,华东师大出版社2016)。
原文也刊登在《课程教学研究》2016年10期上】
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