一元二次方程根的情况试题练习题.docx
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一元二次方程根的情况试题练习题
一元二次方程根的情况练习题(含答案)
一.选择题
1.一元二次方程2x2﹣5x﹣2=0的根的情况是( )
A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根
C.只有一个实数根D.没有实数根
2.一元二次方程3x2﹣4x+1=0的根的情况为( )
A.没有实数根B.只有一个实数根
C.两个相等的实数根D.两个不相等的实数根
3.一元二次方程x2﹣7x﹣2=0的实数根的情况是( )
A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根
C.没有实数根D.不能确定
4.一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情况是( )
A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根
C.无实数根D.无法确定
5.a,b,c为常数,且(a﹣c)2>a2+c2,则关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况是( )
A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根
C.无实数根D.有一根为0
6.一元二次方程2x2﹣3x+1=0的根的情况是( )
A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根
C.只有一个实数根D.没有实数根
7.一元二次方程2x2﹣3x+1=0根的情况是( )
A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根D.没有实数根
8.y=
x+1是关于x的一次函数,则一元二次方程kx2+2x+1=0的根的情况为( )
A.没有实数根B.有一个实数根
C.有两个不相等的实数根D.有两个相等的实数根
9.一元二次方程x2+2x+1=0的根的情况( )
A.有一个实数根B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根D.没有实数根
10.一元二次方程x2﹣x﹣1=0的根的情况为( )
A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根D.没有实数根
11.一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的根的情况为( )
A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根
C.只有一个实数根D.没有实数根
12.一元二次方程4x2+1=4x的根的情况是( )
A.没有实数根B.只有一个实数根
C.有两个相等的实数根D.有两个不相等的实数根
13.方程x2﹣2x+3=0的根的情况是( )
A.有两个相等的实数根B.只有一个实数根
C.没有实数根D.有两个不相等的实数根
14.已知一元二次方程2x2﹣5x+3=0,则该方程根的情况是( )
A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根
C.两个根都是自然数D.无实数根
15.一元二次方程x2+x+
=0的根的情况是( )
A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根
C.无实数根D.无法确定根的情况
16.一元二次方程x2﹣4x+5=0的根的情况是( )
A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根D.没有实数根
17.一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情况是( )
A.有两个不相等的实数根B.有一个实数根
C.有两个相等的实数根D.没有实数根
18.关于x的方程x2﹣mx﹣1=0根的情况是( )
A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根
C.没有实数根D.不能确定的
19.关于x的一元二次方程x2﹣ax+(a﹣1)=0的根的情况是( )
A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根
C.没有实数根D.有两个实数根
二.填空题
21.若关于x的一元二次方程x2+3x﹣k=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是 .
22.关于x的方程x2+2x+c=0有两个不相等的实数根,则c的取值范围为 .
23.如果关于x的方程x2﹣3x+k=0有两个相等的实数根,那么实数k的值是 .
24.关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有两个相等的实数根,则m的值是 .
25.若关于x的一元二次方程x2+6x+k=0有两个相等的实数根,则k= .
26.若一元二次方程x2﹣2x+k=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是 .
27.如果关于x的方程x2﹣2x+k=0(k为常数)有两个不相等的实数根,那么k的取值范围是 .
28.一元二次方程2x2﹣3x+k=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是 .
29.若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个相等的实数根,则m= .
30.已知k>0,且关于x的方程3kx2+12x+k+1=0有两个相等的实数根,那么k的值等于 .
31.若关于x的一元二次方程ax2+3x﹣1=0有两个不相等的实数根,则a的取值范围是 .
32.若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是 .
33.若方程kx2﹣6x+1=0有两个实数根,则k的取值范围是 .
34.若一元二次方程x2﹣2x+a=0有两个相等的实数根,则a的值是 .
35.已知关于x的方程x2﹣2x+a=0有两个不相等的实数根,则a的取值范围是 .
36.关于x的一元二次方程(a﹣5)x2﹣4x﹣1=0有实数根,则实数a的取值范围是 .
37.关于x的一元二次方程(m﹣2)x2+2x+1=0有实数根,则m的取值范围是 .
一.选择题(共20小题)
1.(2017•河南)一元二次方程2x2﹣5x﹣2=0的根的情况是( )
A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根
C.只有一个实数根D.没有实数根
【分析】先计算判别式的值,然后根据判别式的意义判断方程根的情况.
【解答】解:
∵△=(﹣5)2﹣4×2×(﹣2)=41>0,
∴方程有两个不相等的实数根.
故选B.
【点评】本题考查了根的判别式:
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2﹣4ac有如下关系:
当△>0时,方程有两个不相等的实数根;当△=0时,方程有两个相等的实数根;当△<0时,方程无实数根.
2.(2017•常德)一元二次方程3x2﹣4x+1=0的根的情况为( )
A.没有实数根B.只有一个实数根
C.两个相等的实数根D.两个不相等的实数根
【分析】先计算判别式的意义,然后根据判别式的意义判断根的情况.
【解答】解:
∵△=(﹣4)2﹣4×3×1=4>0
∴方程有两个不相等的实数根.
故选D.
【点评】本题考查了根的判别式:
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2﹣4ac有如下关系:
当△>0时,方程有两个不相等的实数根;当△=0时,方程有两个相等的实数根;当△<0时,方程无实数根.
3.(2017•扬州)一元二次方程x2﹣7x﹣2=0的实数根的情况是( )
A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根
C.没有实数根D.不能确定
【分析】先计算判别式的值,然后根据判别式的意义判断方程根的情况.
【解答】解:
∵△=(﹣7)2﹣4×(﹣2)=57>0,
∴方程有两个不相等的实数根.
故选A.
【点评】本题考查了根的判别式:
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2﹣4ac有如下关系:
当△>0时,方程有两个不相等的实数根;当△=0时,方程有两个相等的实数根;当△<0时,方程无实数根.
4.(2016•昆明)一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情况是( )
A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根
C.无实数根D.无法确定
【分析】将方程的系数代入根的判别式中,得出△=0,由此即可得知该方程有两个相等的实数根.
【解答】解:
在方程x2﹣4x+4=0中,
△=(﹣4)2﹣4×1×4=0,
∴该方程有两个相等的实数根.
故选B.
【点评】本题考查了根的判别式,解题的关键是代入方程的系数求出△=0.本题属于基础题,难度不大,解决该题型题目时,根据根的判别式得正负确定方程解得个数是关键.
5.(2016•河北)a,b,c为常数,且(a﹣c)2>a2+c2,则关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况是( )
A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根
C.无实数根D.有一根为0
【分析】利用完全平方的展开式将(a﹣c)2展开,即可得出ac<0,再结合方程ax2+bx+c=0根的判别式△=b2﹣4ac,即可得出△>0,由此即可得出结论.
【解答】解:
∵(a﹣c)2=a2+c2﹣2ac>a2+c2,
∴ac<0.
在方程ax2+bx+c=0中,
△=b2﹣4ac≥﹣4ac>0,
∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根.
故选B.
【点评】本题考查了完全平方公式以及根的判别式,解题的关键是找出△=b2﹣4ac>0.本题属于基础题,难度不大,解决该题型题目时,根据根的判别式的符号,得出方程实数根的个数是关键.
6.(2016•邵阳)一元二次方程2x2﹣3x+1=0的根的情况是( )
A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根
C.只有一个实数根D.没有实数根
【分析】代入数据求出根的判别式△=b2﹣4ac的值,根据△的正负即可得出结论.
【解答】解:
∵△=b2﹣4ac=(﹣3)2﹣4×2×1=1>0,
∴该方程有两个不相等的实数根.
故选B.
【点评】本题考查了根的判别式,解题的关键是求出根的判别式△=1.本题属于基础题,难度不大,解决该题型题目时,根据根的判别式的正负确定根的个数是关键.
7.(2016•舟山)一元二次方程2x2﹣3x+1=0根的情况是( )
A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根D.没有实数根
【分析】先求出△的值,再根据△>0⇔方程有两个不相等的实数根;△=0⇔方程有两个相等的实数;△<0⇔方程没有实数根,进行判断即可.
【解答】解:
∵a=2,b=﹣3,c=1,
∴△=b2﹣4ac=(﹣3)2﹣4×2×1=1>0,
∴该方程有两个不相等的实数根,
故选:
A.
【点评】此题考查了根的判别式,一元二次方程根的情况与判别式△的关系:
(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根;
(2)△=0⇔方程有两个相等的实数;(3)△<0⇔方程没有实数根.
8.(2016•黔南州)y=
x+1是关于x的一次函数,则一元二次方程kx2+2x+1=0的根的情况为( )
A.没有实数根B.有一个实数根
C.有两个不相等的实数根D.有两个相等的实数根
【分析】由一次函数的定义可求得k的取值范围,再根据一元二次方程的判别式可求得答案.
【解答】解:
∵y=
x+1是关于x的一次函数,
∴
≠0,
∴k﹣1>0,解得k>1,
又一元二次方程kx2+2x+1=0的判别式△=4﹣4k,
∴△<0,
∴一元二次方程kx2+2x+1=0无实数根,
故选A.
【点评】本题主要考查一元二次方程根的判别式,掌握一元二次方程的根与判别式的关系是解题的关键,即①△>0⇔一元二次方程有两个不相等的实数根,②△=0⇔一元二次方程有两个相等的实数根,③△<0⇔一元二次方程无实数根.
9.(2016•兰州)一元二次方程x2+2x+1=0的根的情况( )
A.有一个实数根B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根D.没有实数根
【分析】先求出△的值,再根据△>0⇔方程有两个不相等的实数根;△=0⇔方程有两个相等的实数;△<0⇔方程没有实数根,进行判断即可.
【解答】解:
∵△=22﹣4×1×1=0,
∴一元二次方程x2+2x+1=0有两个相等的实数根;
故选B.
【点评】此题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系:
(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根;
(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根;
(3)△<0⇔方程没有实数根.
10.(2016•怀化)一元二次方程x2﹣x﹣1=0的根的情况为( )
A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根D.没有实数根
【分析】先求出△的值,再判断出其符号即可.
【解答】解:
∵a=1,b=﹣1,c=﹣1,
∴△=b2﹣4ac=(﹣1)2﹣4×1×(﹣1)=5>0,
∴方程有两个不相等的实数根,
故选:
A.
【点评】本题考查的是根的判别式,熟知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△的关系是解答此题的关键.
11.(2015•锦州)一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的根的情况为( )
A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根
C.只有一个实数根D.没有实数根
【分析】先计算判别式得到△=(﹣2)2﹣4×(﹣1)=8>0,然后根据判别式的意义判断方程根的情况.
【解答】解:
根据题意△=(﹣2)2﹣4×(﹣1)=8>0,
所以方程有两个不相等的实数根.
故选:
B.
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2﹣4ac:
当△>0,方程有两个不相等的实数根;当△=0,方程有两个相等的实数根;当△<0,方程没有实数根.
12.(2015•滨州)一元二次方程4x2+1=4x的根的情况是( )
A.没有实数根B.只有一个实数根
C.有两个相等的实数根D.有两个不相等的实数根
【分析】先求出△的值,再判断出其符号即可.
【解答】解:
原方程可化为:
4x2﹣4x+1=0,
∵△=42﹣4×4×1=0,
∴方程有两个相等的实数根.
故选C.
【点评】本题考查的是根的判别式,熟知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△的关系是解答此题的关键.
13.(2015•长春)方程x2﹣2x+3=0的根的情况是( )
A.有两个相等的实数根B.只有一个实数根
C.没有实数根D.有两个不相等的实数根
【分析】把a=1,b=﹣2,c=3代入△=b2﹣4ac进行计算,然后根据计算结果判断方程根的情况.
【解答】解:
∵a=1,b=﹣2,c=3,
∴△=b2﹣4ac=(﹣2)2﹣4×1×3=﹣8<0,
所以方程没有实数根.
故选C.
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)的根的判别式△=b2﹣4ac.当△>0时,方程有两个不相等的实数根;当△=0时,方程有两个相等的实数根;当△<0时,方程没有实数根.
14.(2015•重庆)已知一元二次方程2x2﹣5x+3=0,则该方程根的情况是( )
A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根
C.两个根都是自然数D.无实数根
【分析】判断上述方程的根的情况,只要看根的判别式△=b2﹣4ac的值的符号就可以了.
【解答】解:
∵a=2,b=﹣5,c=3,
∴△=b2﹣4ac=(﹣5)2﹣4×2×3=1>0,
∴方程有两个不相等的实数根.
故选:
A.
【点评】此题主要考查了一元二次方程根的判别式,掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系:
(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根;
(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根;(3)△<0⇔方程没有实数根,是解决问题的关键.
15.(2015•珠海)一元二次方程x2+x+
=0的根的情况是( )
A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根
C.无实数根D.无法确定根的情况
【分析】求出△的值即可判断.
【解答】解:
一元二次方程x2+x+
=0中,
∵△=1﹣4×1×
=0,
∴原方程由两个相等的实数根.
故选B.
【点评】本题考查了根的判别式,一元二次方程根的情况与判别式△的关系:
(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根;
(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根;
(3)△<0⇔方程没有实数根.
16.(2014•自贡)一元二次方程x2﹣4x+5=0的根的情况是( )
A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根D.没有实数根
【分析】把a=1,b=﹣4,c=5代入△=b2﹣4ac进行计算,根据计算结果判断方程根的情况.
【解答】解:
∵a=1,b=﹣4,c=5,
∴△=b2﹣4ac=(﹣4)2﹣4×1×5=﹣4<0,
所以原方程没有实数根.
故选:
D.
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)的根的判别式△=b2﹣4ac.当△>0,方程有两个不相等的实数根;当△=0,方程有两个相等的实数根;当△<0,方程没有实数根.
17.(2017•思茅区校级一模)一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情况是( )
A.有两个不相等的实数根B.有一个实数根
C.有两个相等的实数根D.没有实数根
【分析】要判断方程x2﹣4x+4=0的根的情况就要求出方程的根的判别式,然后根据判别式的正负情况即可作出判断.
【解答】解:
∵a=1,b=﹣4,c=4,
∴△=16﹣16=0,
∴方程有两个相等的实数根.
故选C.
【点评】总结:
一元二次方程根的情况与判别式△的关系:
(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根;
(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根;
(3)△<0⇔方程没有实数根.
18.(2017•静安区二模)关于x的方程x2﹣mx﹣1=0根的情况是( )
A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根
C.没有实数根D.不能确定的
【分析】先计算△=(﹣m)2﹣4×1×(﹣1)=m2+4,由于m2为非负数,则m2+4>0,即△>0,根据一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2﹣4ac的意义即可判断方程根的情况.
【解答】解:
△=(﹣m)2﹣4×1×(﹣1)=m2+4,
∵m2≥0,
∴m2+4>0,即△>0,
∴方程有两个不相等的实数根.
故选A.
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2﹣4ac:
当△>0,方程有两个不相等的实数根;当△=0,方程有两个相等的实数根;当△<0,方程没有实数根.
19.(2017•兴庆区校级二模)关于x的一元二次方程x2﹣ax+(a﹣1)=0的根的情况是( )
A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根
C.没有实数根D.有两个实数根
【分析】要判断一元二次方程x2﹣ax+(a﹣1)=0的根的情况,就要求出其判别式,然后根据判别式的正负情况即可作出判断.
【解答】解:
∵△=a2﹣4×1×(a﹣1)=a2﹣4a+4=(a﹣2)2≥0,
∴此方程有两个实数根.
故选D.
【点评】结:
一元二次方程根的情况与判别式△的关系:
(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根;
(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根;
(3)△<0⇔方程没有实数根.
20.(2017•河南)如图,将半径为2,圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°,点O,B的对应点分别为O′,B′,连接BB′,则图中阴影部分的面积是( )
A.
B.2
﹣
C.2
﹣
D.4
﹣
【分析】连接OO′,BO′,根据旋转的性质得到∠OAO′=60°,推出△OAO′是等边三角形,得到∠AOO′=60°,推出△OO′B是等边三角形,得到∠AO′B=120°,得到∠O′B′B=∠O′BB′=30°,根据图形的面积公式即可得到结论.
【解答】解:
连接OO′,BO′,
∵将半径为2,圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°,
∴∠OAO′=60°,
∴△OAO′是等边三角形,
∴∠AOO′=60°,
∵∠AOB=120°,
∴∠O′OB=60°,
∴△OO′B是等边三角形,
∴∠AO′B=120°,
∵∠AO′B′=120°,
∴∠B′O′B=120°,
∴∠O′B′B=∠O′BB′=30°,
∴图中阴影部分的面积=S△B′O′B﹣(S扇形O′OB﹣S△OO′B)=
×1×2
﹣(
﹣
×2×
)=2
﹣
.
故选C.
【点评】本题考查了扇形面积的计算,等边三角形的判定和性质,旋转的性质,正确的作出辅助线是解题的关键.
二.填空题(共19小题)
21.(2016•河南)若关于x的一元二次方程x2+3x﹣k=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是 k>﹣
.
【分析】由方程有两个不相等的实数根即可得出△>0,代入数据即可得出关于k的一元一次不等式,解不等式即可得出结论.
【解答】解:
∵关于x的一元二次方程x2+3x﹣k=0有两个不相等的实数根,
∴△=32﹣4×1×(﹣k)=9+4k>0,
解得:
k>﹣
.
故答案为:
k>﹣
.
【点评】本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式,解题的关键是根据根的个数结合根的判别式得出关于k的一元一次不等式.本题属于基础题,难度不大,解决该题型题目时,根据根的个数结合根的判别式得出方程(不等式或不等式组)是关键.
22.(2017•大连)关于x的方程x2+2x+c=0有两个不相等的实数根,则c的取值范围为 c<1 .
【分析】根据方程的系数结合根的判别式,即可得出关于c的一元一次不等式,解之即可得出结论.
【解答】解:
∵关于x的方程x2+2x+c=0有两个不相等的实数根,
∴△=22﹣4c=4﹣4c>0,
解得:
c<1.
故答案为:
c<1.
【点评】本题考查了根的判别式,牢记“当△>0时,方程有两个不相等的实数根”是解题的关键.
23.(2016•上海)如果关于x的方程x2﹣3x+k=0有两个相等的实数根,那么实数k的值是
.
【分析】根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式,即可得出关于k的一元一次方程,解方程即可得出结论.
【解答】解:
∵关于x的方程x2﹣3x+k=0有两个相等的实数根,
∴△=(﹣3)2﹣4×1×k=9﹣4k=0,
解得:
k=
.
故答案为:
.
【点评】本题考查了根的判别式以及解一元一次方程,解题的关键是找出9﹣4k=0.本题属于基础题,难度不大,解决该题型题目时,根据方程解的情况结合根的判别式得出方程(不等式或不等式组)是关键.
24.(2016•长春)关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有两个相等的实数根,则m的值是 1 .
【分析】由于关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有两个相等的实数根,可知其判别式为0,据此列出关于m的方程,解答即可.
【解答】解:
∵关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有两个相等的实数根,
∴△=0,
∴22﹣4m=0,
∴m=1,
故答案为:
1.
【点评】本题主要考查了根的判别式的知识,解答本题的关键是掌握一元二次方程有两个相等的实数根,则可得△=0,此题难度不大.
25.(2016•淮安)若关于x的一元二次方程x2+6x+k=0有两个相等的实数根,则k= 9 .
【分析】根据判别式的意义得到△=62﹣4×1×k=0,然后解一次方程即可.
【解答】解:
∵一元二次方程x2+6x+k=0有两个相等的实数根,
∴△=62﹣4×1×k=0,
解得:
k=9,
故答案为:
9.
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2﹣4ac:
当△>0,方程有两个不相等的实数根;当△=0,方程有两个相等的实数根;当△<0,方程没有实数根.
26.(2016•宿迁)若一元二次方程x2﹣2x+k=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是 k<1 .
【分析】直接利用根的判别式得出△=b2﹣4ac=4﹣4k>0进而求出答案.
【解答】解:
∵一元二次方程x2﹣2x+k=0有两个不相
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