人教版数学选修22第一章练习题与解析.docx
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人教版数学选修22第一章练习题与解析
人教版数学选修
2-2第一章练习题及解析
1.曲线y=x3+x-2在P点处的切线平行于直线
y=4x-1,则切线方程为()
A.y=4x
B.y=4x-4
C.y=4x-8
D.y=4x或y=4x-4
[答案]
D
[解析]
y′=lim
y
x
x→0
=lim
[x+x3+x+x-2]-x3+x-2
x
x→0
=lim
((x)
2+3x
x+3x2+1)
x→0
=3x2+1.
由条件知,3x2+1=4,∴x=±1,
当x=1时,切点为(1,0),切线方程为y=4(x-1),
即y=4x-4.
当x=-1时,切点为(-1,-4),切线方程为y+4=4(x+1),
即y=4x.
2.设点P是曲线y=x3-
3x+2上的任意一点,P点处的切线倾斜角为α,则α的取值
3
范围为()
A.0,
π∪
2π,π
B.0,
π∪
5π,π
2
3
2
6
2
π
5
D.
,
C.3π,π
2
6π
[答案]
A
[解析]
设P(x0,y0),
x+x3-3x+x+2-x3+3x-2
∵f′(x)=lim
3
3
x
x→0
=3x2-
3,∴切线的斜率k=3x02-
3,
∴tanα=3x02-3≥-3.
π2
∴α∈0,2∪3π,π.故应选A.
3.设P为曲线C:
y=x2+2x+3上的点,且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为
π
[0,4],则点P横坐标的取值范围为(
)
1
A.[-1,-2]
B.[-1,0]
C.[0,1]
D.[
1,1]
2
[答案]
A
[解析]
考查导数的几何意义.
π
∵y′=2x+2,且切线倾斜角θ∈[0,4],
∴切线的斜率k满足0≤k≤1,即0≤2x+2≤1,
∴-1≤x≤-
1
2.
4.已知f(x)=x2+3xf′
(2),则f′
(2)=________.
[答案]
-2
[解析]
∵f′(x)=2x+3f′
(2),
∴f′
(2)=4+3f′
(2),∴f′
(2)=-2.
1
5.求过点(2,0)且与曲线y=x相切的直线方程.
[解析]
易知(2,0)不在曲线y=
1上,令切点为(x0,y0),则有y0=
1
.①
x
x0
1
1
又y′=lim
y
x+x-x
1
=lim
x
=-
2,
x→0
x
x→0
x
1
所以y′|x=x0=-x20,
1
即切线方程为y=-x20(x-2)
而
y0
1
②
=-2
x0-2
x0
由①②可得x0=1,
故切线方程为y+x-2=0.
6.若直线y=kx是曲线y=x3-3x2+2x上一点处的切线,求实数
k的值.
[解析]
0,x03
-3x02+2x0
),
设切点(x
y
∵x=
x0+
x3-3x0+
x2+2x0+
x
x-x30+3x20-2x0
=(x)2+3x20+3x·x0-6x0-3x+2,
∴limy=3x20-6x0+2,
x→0x
∴k=3x20-6x0+2,切线方程为
y-(x30-3x20+2x0)=(3x20-6x0+2)(x-x0),
切线过原点,
∴0-(x30-3x20+2x0)=(3x20-6x0+2)(0-x0),
3
1
解得x0=0或
2,则k=2
或-
4.
7.已知直线l1为曲线y=x2+x-2在点(1,0)处的切线,l2为该曲线的另一条切线,且l1
⊥l2.
(1)求直线l2的方程;
(2)求由直线l1、l2和x轴所围成的三角形的面积.
[解析]
(1)y′|x=1
=lim
1+x2+1+x-2-12+1-2
=3,
x
x→0
所以l1的方程为:
y=3(x-1),即y=3x-3.
设l2过曲线y=x2+x-2上的点B(b,b2+b-2),
y′|x=b=lim
b+x2+b+x-2-b2+b-2
x
x→0
=2b+1,所以l2的方程为:
y-(b2+b-2)=
(2b+1)·(x-b),即y=(2b+1)x-b2-2.
2
1
22
因为l1⊥l2,所以
3×(2b+
1)=-1,所以b=-
3,所以l2
的方程为:
y=-
3x-9.
1
(2)由
y=3x-3,
x=6,
1
22
得
5,
y=-3x-9,
y=-
2
即l1与l2的交点坐标为
1,-5.
6
2
又l1,l2与x轴交点坐标分别为(1,0),-22,0.3
1×-
5×
22
125
所以所求三角形面积
S=2
2
1+3=12.
8.(2014郑·州一中期中
)函数f(x)的定义域为
R,f(-2)=2013,对任意
x∈R,都有
f′(x)<2x成立,则不等式
f(x)>x2+2009的解集为(
)
A.(-2,2)
B.(-2,+∞)
C.(-∞,-2)
D.(-∞,+∞)
[答案]C
[解析]令F(x)=f(x)-x2-2009,则F′(x)=f′(x)-2x<0,∴F(x)在R上为减函数,
又F(-2)=f(-2)-4-2009=2013-2013=0,
∴当x<-2时,F(x)>F(-2)=0,
∴不等式f(x)>x2+2009的解集为(-∞,-2).
9.已知y=1x3+bx2+(b+2)x+3在R上不是单调增函数,则b的取值范围为________.
3
[答案]
b<-1或b>2
[解析]
若y′=x2+2bx+b+2≥0恒成立,则
=4b2-4(b+2)≤0,∴-1≤b≤2,
由题意b<-1或b>2.
10.(2014·夏三市联考宁)若函数f(x)的导函数f′(x)=x2-4x+3,则f(x+1)的单调递减
区间是________.
[答案](0,2)
[解析]由f′(x)=x2-4x+3<0得1 +1<3得f(x+1)的单调递减区间(0,2). 11.已知函数f(x)=x3+ax2+(2a-3)x-1. (1)若f(x)的单调减区间为(-1,1),则a的取值集合为________. (2)若f(x)在区间(-1,1)内单调递减,则a的取值集合为________. [答案] (1){0} (2){a|a<0} [解析]f′(x)=3x2+2ax+2a-3=(x+1)(3x+2a-3). (1)∵f(x)的单调减区间为(-1,1), ∴-1和1是方程f′(x)=0的两根, 3-2a ∴3 =1,∴a=0,∴a的取值集合为{0}. (2)∵f(x)在区间(-1,1)内单调递减,∴f′(x)<0在(-1,1)内恒成立, 又二次函数y=f′(x)开口向上,一根为-1,∴必有 3-2a 3 >1,∴a<0, ∴a的取值集合为{a|a<0}. [点评] f(x)的单调减区间为(m,n),则必有f′(m)=0,f′(n)=0或x=m,x=n是函 数f(x)的不连续点,f(x)在区间(m,n)上单调递减,则(m,n)是f(x)的单调减区间的子集, f′(x)≤0在(m,n)上恒成立. 1 12.求证: 方程x-2sinx=0只有一个根x=0. 1 [证明]设f(x)=x-2sinx,x∈(-∞,+∞), 1 则f′(x)=1-2cosx>0, ∴f(x)在(-∞,+∞)上是单调递增函数. 而当x=0时,f(x)=0, 1 ∴方程x-2sinx=0有唯一的根x=0. 13.(2013·国大纲文,全21)已知函数f(x)=x3+3ax2+3x+1. (1)当a=-2时,讨论f(x)的单调性; (2)若x∈[2,+∞)时,f(x)≥0,求a的取值范围. [解析] (1)当a=-2时,f(x)=x3-32x2+3x+1, f′(x)=3x2-62x+3. 令f′(x)=0,得x1=2-1,x2=2+1. 当x∈(-∞,2-1)时,f′(x)>0,f(x)在(-∞,2-1)上是增函数; 当x∈(2-1,2+1)时,f′(x)<0,f(x)在(2-1,2+1)上是减函数; 当x∈(2+1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)在(2+1,+∞)上是增函数. 5 (2)由f (2)≥0得a≥-4. 5 当a≥-4,x∈(2,+∞)时, 2+2ax+1)≥3(x2-5 3(x- 1 f′(x)=3(x 2x+1)= 2)(x-2)>0, 所以f(x)在(2,+∞)上是增函数,于是当 x∈[2,+∞)时,f(x)≥f (2)≥0. 5 综上,a的取值范围是 [-4,+∞). 14.曲线y=x在点(-1,-1)处的切线方程为() x+2 A.y=2x+1 B.y=2x-1 C.y=-2x-3 D.y=-2x-2 [答案] A [解析] 本小题主要考查导数的运算及其几何意义,直线的点斜式方程等基础知识. -1+x --1 -1+x+2 ∵f′(-1)=lim x x→0 =lim -1+x+1+x 2 =lim =2, x→0 1+xx x→0 1+x ∴曲线在(-1,-1)处的切线方程为 y-(-1)=2(x+1),即y=2x+1. 15.过点P(-2,0)作曲线y=x的切线,求切线方程. [解析] 因为点P不在曲线y=x上, 故设切点为Q(x0,x0),∵y′= 1, 2 x ∴过点Q的切线斜率为: 1= x0,∴x0=2, 2 x0x0+2 ∴切线方程为: y-2=1 (x-2), 2 2 即: x-22y+2=0. 16.函数f(x)的定义域为R,导函数f′(x)的图象如图所示,则函数f(x)() A.无极大值点、有四个极小值点 B.有一个极大值点、两个极小值点 C.有两个极大值点、两个极小值点 D.有四个极大值点、无极小值点 [答案]C [解析]设f′(x)与x轴的4个交点,从左至右依次为x1、x2、x3、x4, 当x 当x1 同理,x=x3为极大值点,x=x2,x=x4为极小值点. [点评]有关给出图象研究函数性质的题目,要分清给的是f(x)的图象还是f′(x)的图 象,若给的是f(x)的图象,应先找出f(x)的单调区间及极(最)值点,如果给的是f′(x)的图象,应先找出f′(x)的正负区间及由正变负还是由负变正,然后结合题目特点分析求解. 17.(2014·溪一中期中屯)设f(x)=x3+ax2+bx+1的导数f′(x)满足f′ (1)=2a,f′ (2) =-b,其中常数a、b∈R. (1)求曲线y=f(x)在点(1,f (1))处的切线方程; -x (2)设g(x)=f′(x)e,求函数g(x)的极值. [解析]∵f(x)=x3+ax2+bx+1,∴f′(x)=3x2+2ax+b, ∵f′ (1)=2a,∴3+2a+b=2a, ∵f′ (2)=-b,∴12+4a+b=-b, ∴a=-32,b=-3, 3 3 2 2 ∴f(x)=x - 2x -3x+1,f′(x)=3x-3x-3, 5 ∴f (1)=-2,f′ (1)=-3, 5 ∴切线方程为y-(-2)=-3(x-1), 即6x+2y-1=0. (2)∵g(x)=(3x2-3x-3)e-x,∴g′(x)=(6x-3)e-x+(3x2-3x-3)·(-e-x), ∴g′(x)=-3x(x-3)e-x, ∴当0 ∴g(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,3)上单调递增,在(3,+∞)上单调递减, 所以g极小(x)=g(0)=-3,g极大(x)=g(3)=15e-3. 18.(2014山·东省菏泽市期中 )已知函数f(x)=1x2+alnx. 2 (1)若a=-1,求函数f(x)的极值,并指出是极大值还是极小值; (2)若a=1,求证: 在区间[1,+∞)上,函数f(x)的图象在函数 2 3 的图象的下方. g(x)=x 3 [解析] (1)由于函数f(x)的定义域为(0,+∞), 当a=-1时,f′(x)=x-1=x+1x-1, x x 令f′(x)=0得x=1或x=-1(舍去), 当x∈(0,1)时,f′(x)<0,因此函数f(x)在(0,1)上单调递减, 当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,因此函数f(x)在(1,+∞)上单调递增, 则x=1是f(x)的极小值点, 1 所以f(x)在x=1处取得极小值为 f (1)=2. 1 2 2 3 (2)证明: 设F(x)=f(x)-g(x)= 2x+lnx- 3x, 则F′(x)=x+1-2x2=-2x3+x2+1 xx -x-12x2+x+1 = x , 当x>1时,F′(x)<0, 故f(x)在区间[1,+∞)上单调递减, 1 又F (1)=-6<0, ∴在区间[1,+∞)上,F(x)<0恒成立, 即f(x) 因此,当a=1时,在区间[1,+∞)上,函数f(x)的图象在函数 g(x)图象的下方. 19.(2014山·西省太原五中月考)已知函数f(x)=xlnx. (1)求函数f(x)的单调递减区间; (2)若f(x)≥-x 2+ax-6在(0,+∞)上恒成立,求实数 a的取值范围; -2, (3)过点A(-e 0)作函数y=f(x)图象的切线,求切线方程. [解析] (1)∵f′(x)=lnx+1,∴由f′(x)<0得lnx<-1, 1 1 ∴0 (0,e). (2)∵f(x)≥-x2+ax-6,∴a≤lnx+x+ 6, x 设g(x)=lnx+x+6x,则 x2+x-6x+3x-2 g′(x)= x 2 = 2 x , 当x∈(0,2)时,g′(x)<0,函数g(x)单调递减; 当x∈(2,+∞)时,g′(x)>0,函数g(x)单调递增.∴g(x)最小值为g (2)=5+ln2, ∴实数a的取值范围是(-∞,5+ln2]. (3)设切点T(x0,y0),则kAT=f′(x0), x0lnx0 2 ∴ 1 =lnx0+1,即ex0+lnx0+1=0, x0+2 e 设h(x)=e2x+lnx+1,则h′(x)=e2+1x, 当x>0时h′(x)>0,∴h(x)是单调递增函数, ∴h(x)=0最多只有一个根, 1 2 1 1 1 又h(2 ×2 2 0=2 e)=e e+lne+1=0,∴x e, 由f′(x0)=-1 1 得切线方程是x+y+e2=0. 2 1, 20.在曲线y=x(x≥0)上某一点A处作一切线使之与曲线以及 x轴所围成的面积为12 试求: (1)切点A的坐标; (2)过切点A的切线方程. [解析] 如图所示,设切点 A(x0,y0),由y′=2x知过A点的切线 方程为y-y0=2x0(x-x0), 2 即y=2x0x-x0. 令y=0得x=x0,即Cx0,0. 22 设由曲线和过A点的切线及x轴所围成图形的面积为S, 213 S=S曲边△AOB-S△ABC,S曲边△AOB=∫x00xdx=3x0, △ 1 1 -x0 2 1 3 S ABC= 2|BC||AB|·=2 x0 2 ·x 4x 0= 0, 即S=1x03-1x03= 1x03=1. 3 4 12 12 所以x0=1,从而切点 A(1,1),切线方程为 y=2x-1. 21.(2014山·东省德州市期中 )统计表明某型号汽车在匀速行驶中每小时的耗油量 y(升) 关于行驶速度 x(千米/小时)的函数为y= 1 x3-3x+8(0 128000 80 (1)当x=64千米/小时时,行驶100 千米耗油量多少升? (2)若油箱有 22.5升油,则该型号汽车最多行驶多少千米? [解析] (1)当x=64千米/小时
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