排列组合公式及恒等式推导证明.docx
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排列组合公式及恒等式推导证明.docx
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排列组合公式及恒等式推导证明
排列组合公式及恒等式推导、
明(word版)
排列组合公式及恒等式推导、证明(word版)
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、排列数公式:
Anm二n(n-1)(n-2)L(n-m+1)=
-n!
(n-m)!
A;=n(n-1)(n-1)L3仓吃1
推导:
把n个不同的元素任选m个排次序或n个全排序,按计数
原理分步进行:
第步,排第位:
有n种选法;
第二步,排第二位:
有(n-1)种选法;
第三步,排第三位:
有(n-2)种选法;
第m步,排第m位:
有(n-m+1)种选法;
根据分步乘法原理,得出上述公式。
二、组合数公式:
y=Aj=n(n-1)0-2)L(n-m+1)=n!
nAj?
m!
m!
(n-m)!
C;=1
推导:
把n个不同的元素任选m个不排序,按计数原理分步进行:
第一步,取第一个:
有n种取法;
第二步,取第二个:
有(n-1)种取法;
第三步,取第三个:
有(n-2)种取法;
I
I
I
I
第m步,取第m个:
有(n-m+1)种取法;
I
I
I
I
最后一步,取最后一个:
有1种取法。
上述各步的取法相乘是排序的方法数,由于选m个,就有m!
种排排法,选n个就有n!
种排法。
故取m个的取法应当除以m!
取n个的取法应当除以n!
。
遂得出上述公式。
证明:
利用排列和组合之间的关系以及排列的公式来推导证明。
将部分排列问题Anm分解为两个步骤:
第一步,就是从n个球中抽m个出来,先不排序,此即定义的组合数问题cnm;
第二步,则是把这m个被抽出来的球全部排序,即全排列A:
。
根据乘法原理,Am=cnmAm即:
Cm=Am=n(n-1)n-2)L(n-m+1)_n!
nAm!
m!
(n-m)!
组合公式也适用于全组合的情况,即求C(n,n)的问题。
根据
上述公式,
C(n,n)_n!
/n!
(n-n)!
_n!
/n!
0!
_1。
这一结果是完全合理的,因为从n个球中抽取所有n个出来,当
然只有1种方法。
三、重复组合数公式:
重复组合定义:
从n个不同的元素中每次取一个,放回后再取下
一个,如此连续m次所得的组合。
重复组合数公式:
Rm_c:
+m-i(m可小于、大于、等于n,n>1)
推导:
可以把该过程看作是一个“放球模型”:
n个不同的元素看作是n个格子,其间一共有(n-1)块相同_—_丄
的隔板,用m个相同的小球代表取m次;则原问题可以简化为将
m个不加区别的小球放进n个格子里面,问有多少种放法;这相当
于m个相同的小球和(n-1)块相同的隔板先进行全排列:
一共有
I
(m+n-1)!
种排法,再由于m个小球和(n-1)块隔板是分别不
加以区分的,所以除以重复的情况:
m!
*(n-1)!
于是答案就是:
Rnm=(m+n-1)!
=席-1m!
(n-1)!
四、不全相异的全排列
在不全相异的n个物体中,假设有ni个物体是相同的,n2个五题是相同的,……,nk个物体是相同的。
n个物体中不相同的物体种类数一共有k种。
那么,这些物体的全排列数是n!
/(ni!
n2!
…nk!
)。
可以想成:
n个物体直接全排列,排列完了以后,去重,第一种物体有ni!
种,第二种物体有m!
种,以此类推。
例:
有3个红球,2个白球,把这五个球排成一行,问有多少种排法?
红球和红球没有区别,白球和白球没有区别。
答:
一共有10种,
aaabb,aabab,aabba,abaab,ababa,baaab,baaba,abbaa,babaa,bbaaa。
五、排列恒等式的证明:
①A;
m-1
=(n-m+1)An
证明:
右边=(n-m
n!
+1)=
(n-m+1)!
(n
n!
=A-m)!
左边=右边
Anm
n!
(n-m)!
n?
(n-1)证明:
右边=n-m(n-m-1)!
左边=右边
左边=右边
证明:
右边=A:
;-An=(n+1)!
-n!
=(n+1)gi!
-n!
二ngi!
=nA:
右边=左边
—n!
_(n-m+1)n!
-mgn!
_(n+1)!
_加
+m===A+1
(n-m)!
(n-m+1)!
(n-m+1)!
(n-m+1)!
⑥1!
+2?
2!
3?
3!
L+n?
n!
(n+1)!
-1
证明:
左边=(2-1)1!
+(3-1)2!
+(4-1)3!
+…
(n+1-1)n!
=2!
-1!
+3!
-2!
+4!
-3!
…(n+1)!
-n!
=(n+1)!
-1!
右边
六、组合恒等式的证明
首先明弄清组合的两个性质公式:
mn-m
Cn=Cn
互补性质:
取出有多少种,剩下就有多少种
分类计数原
mmm-1
Cn+1=Cn+Cn
根据分类计数原理:
要么含有新加元素要么不含新加元素
①Cm=m+1Cm+1
-m
n-m+1m-iCn
(m+1)n!
m+1m+1
Cnn-m
证明:
n-m+1小m-1n-m+1
Cn=g
=C(n-m)(m+1)!
(n-m-1)!
m!
(n-m)!
n!
M=Cnm
m!
(n-m)!
②Cm=
n
nCm
Cn-1
n-m
证
明:
右
边
mm(m-1)!
(n-m+1)!
=1亠』^=」^=Ct
n-mn-mm!
(n-m-1)!
m!
(n-m)!
③Cm:
n
_nQm-1
~Cn-1
m
证明:
.m
n
右边二
n(n-1)!
—g
m(m-1)!
(n-m)!
m!
(n-m)!
=左边
rrr
⑤Cr+Cr+1+Cr+2+L
+Cnr
r+1
Cn+1
证明:
根据组合性质,左边各式可写成:
Crr=C
C;+1=C
C:
+2
C;+3
M
C;1
r+1
r+1
r+1r+1r+2-Cr+1
r+1r+1
=Cr+3-Cr+2
r+1r+1
=Cr+4-Cr+3
C;=C
r+1r+1
=Cn-Cn-1
r+1r+1
n+1-Cn
-C
左右两边相加即得:
Crr+Crr+1+Crr+2+L+Cnr=cn:
;
⑥cn+cn+l+cn
证明:
用数学归纳法证明。
1)当n=1时,Ci0+C;=2=21所以等式成立。
2)假设n=k时,(k>1,k€N*)时等式成立即:
C:
+Ck+C:
+L+C:
=2k
当n二k+1时,
c:
+1+ck+1+c:
+1+L+Ckk+1+c:
:
11
=C°+1+(C;0+C1)+(Ck+C:
)+L+(Ckk-1+C:
)+C阳=(C:
+Ck+C:
+L+C;)+(C:
+Ck+Ci+L+Ckk)
=20
=2k+1
二等式也成立
由1)、2)得,等式对n€N*都成立。
也可用二项式定理证明(略)
7Cn+C;+C;L=C:
+C;+C:
L=2n-1
证明:
用归纳法同上(略)
也可利用上述结论证明(略)
本课件尽量避开用二项式定理,但这比较简单,暂且用一下:
设a=C:
+C;+C;+Lb=C°+Cn+Cn+L
由(1+1)n可得:
a+b=21=2x2n-1
由(1-1)n可得a-b=0
a=b=2-1(不懂的去学学二项式定理)
8C;+2C:
+3C;+L+nC;=ng2n-1
证明:
由mCnm=nCn呼可得:
(还记得这个恒等式吗,不记得就回过头去看③的证明
左边
n-1
n-1
=rC0-1+nCn-1+nC;2-1+nC3-1+LnC=nCn-1+Cn-1+Cn-1+Cn-1+-Cn-1)=ng2n-1
注:
同时利用了⑥的结论。
9cmc:
+cm-icn++L+cma=cn+m
rEmin{m,
n}
用二项式定理证明太麻烦了。
能偷懒就不要太勤快了。
观察左边的每一项,发现均是分别从m个不同素和n个不同元素
中取r个元素的一个组合,其各项之和就是所有取法,即所有组合
j■
数。
其所有组合数当然等于右边。
10c:
)2+(Cn)2+L+(C:
)2=C;n
还是用偷懒法:
根据第⑨的结论并结合组合的互补性质,若
r=m=n
即得些结论。
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