完整版变化率问题与导数的概念导学案.docx
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完整版变化率问题与导数的概念导学案
第一章导数及其应用
第1课时变化率问题与导数的概念
a课得学□目标
1.通过物理中的变化率问题和瞬时速度引入导数的概念
2.掌握利用求函数在某点的平均变化率的极限实现求导数的基本步骤
3.通过构建导数概念,使学生体会极限思想,为将来学习极限概念积累学习经验•
4.
通过导数概念的教学教程,使学生体会到从特殊到一般的过程是发现事物变化规律的重要过程.
・iJLilMLIt*从it申豊代
知识徉系梳理
借助多媒体播放2012年伦敦奥运会中国跳水运动员陈若琳夺得女子单人10米跳台冠军
的视频•上节课我们已经学习了平均变化率的问题,我们知道运动员的平均速度不一定能够
反映她在某一时刻的运动状态,而运动员在不同时刻的运动状态是不同的,我们需要借助于
瞬时速度这样的量来刻画,那么我们如何才能求出运动员在某一时刻的瞬时速度呢?
问题1:
根据以上情境,设陈若琳相对于水面的高度h(单位:
m)与起跳后的时间t(单位:
s)存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10,如果用她在某段时间内的平均速度描述其运动状态,那么:
(1)在OWt<0.5这段时间里,运动员的平均速度v=
(2)在1 问题2: 函数y=f(x)从X1到X2的平均变化率公式是.如果用X1与增量△x 表示,平均变化率的公式是. 问题3: 函数f(x)在x=xo处的瞬时变化率的定义: 一般地,函数y=f(x)在x=xo处的瞬时变 化率是=,我们称它为函数y=f(x)在x=xo处的导数,记作f(xo)或y, Ar—HIJeJt-*Dir二殆 即f'(Xo)=二鶴~. 问题4: 在导数的定义中,对△xt0的理解是: △x>0,△x<0,但. 如哄鬥削也,旳氧覃盘化 基础学习交流 2 1.已知函数y=f(x)=x+1,当x=2,△x=0.1时,△y的值为(). A0.40B.0.41C0.43D0.44 2.设函数f(x)在点xo附近有定义,且有f(xo+Ax)-f(x0)=aAx+b(△x)(a,b为常数),则(). Af(x)=aBf(x)=bC.f(x°)=aD.f'(x°)=b 3.一质点按规律s(t)=2t2运动,则在t=2时的瞬时速度为. 4. 求y=2x+4x在点x=3处的导数. £点难点探究 ««- 求平均变化率 2 (1)已知函数f(x)=-x+x的图象上的一点A(-1,-2)及附近一点耳-1+Ax,-2+Ay),则 (2)求y=x2在x=X0附近的平均变化率 求物体运动的瞬时速度 若一物体运动方程为s=: 爲4^( 求此物体在t=1和t=4时的速度. 导数定义的应用 已知f(x°)=2,求. A—D上 才港it为您■削力鼻律牝 ,思维拓展应用 GD" 函数y=5x2+6在区间[2,2+△x]内的平均变化率为. 5閉二 质点M按规律s(t)=at2+1作直线运动(位移单位: m,时间单位: s),若质点M在t=2s时的瞬时速度为8m/s,求常数a的值. 1.自变量x从X0变到Xi时,函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数()• A在区间[xo,xi]上的平均变化率 B.在xo处的变化率 C在xi处的变化量 D在区间[Xo,xi]上的导数 2.函数f(x)=x2在xo到xo+Ax之间的平均变化率为ki,在xo-△x到xo之间的平均变化率为k2,则ki,k2的大小关系是(). Aki>k2Bki=k2 Cki 3.(i)设函数y=f(x),当 兰自变量x 由xo变化到 xo+Ax时,函数值的改变量 ay 为 ⑵设 函 数 y=f(x)=3x2, 则 Ay=f(i+Ax)-f(i)= 5/U '區甕= f'(i)=. 4.已知自由下落物体的运动方程是s=gt2(s的单位是m,t的单位是s),求: (1)物体在to到to+At这段时间内的平均速度; (2)物体在to时的瞬时速度; ⑶物体在to=2s到ti=2.is这段时间内的平均速度;⑷物体在t=2s时的瞬时速度. 全新视角拓展 3 求函数f(x)=x+2x+i在xo=i处的导数f(i). 考题变式(我来改编): 思维导图构建 求雷嫂值的塔蜃g松1出臥) 廝歌的甲却变牝牢—1 一求学数歩■卜 十平购变化卓®严宀加 愛連运成的n时產鹰」 AAk 导珀dm牡 fJU—2 学习体验廿拿 第一章导数及其应用 第1课时变化率问题与导数的概念 知识体系梳理 问题1: (1);: '九=4.05m/s (2): ;T;「'=-8.2m/s 问题 士如[讥%J Hr —卄一...."卄蚯矶吋 冋题3: \—: 问题4: △x工0 基础学习交流 22 1.BTx=2,△x=0.1,二△y=f(x+Ax)-f(x)=f(2.1)-f (2)=(2.1+1)-(2+1)=0.41. 2.C二='=a+bAx,f'(xo)=b.;: : 「=、i“(a+bAx)=a. 222 3.8s(2+At)-s (2)=2(2+At)-2X2=2(At)+8At, Jr =(2At+8)=8. 222 4.解: Ay=2(3+Ax)+4(3+Ax)-(2X3+4X3)=2(Ax)+16Ax, ]=2Ax+16, =i(2Ax+16)=16, 即y'|x=3=16. 重点难点探究 探究一: 【解析】 222 (1)vAy=f(-1+Ax)-f(-1)=-(-1+Ax)+(-1+Ax)-[-(-1)+(-1)]=-(Ax)+3Ax, •[=^£=-ax+3 ⑵因为Ay=(xo+Ax)2-彳,所以壬=_=2x0+Ax,所以y=x2在x=xo附近的平均变化 率为2x0+Ax. 【小结】1.本题需利用平均变化率的定义来解决,但要注意Ax可正、可负、不可为零, Ay可正、可负、可为零. 2.求平均变化率可根据定义代入公式直接求解,解题的关键是弄清自变量的增量Ax与 函数值的增量Ay,求平均变化率的主要步骤是: (1)先计算函数值的改变量Ay=f(X"-f(xo). (2) 再计算自变量的改变量Ax=X1-x。 . 探究二: 【解析】当t=1时,s=3t2+2, 22 As=s(t+At)-S(t)=3(1+At)+2-(3+2)=6At+3(At), 二v=b: : .-==[上! ‘」(6+3At)=6. 虫Jim、t 2 当t=4时,s=29+3(t-3), 222 As=s(t+At)-S(t)=29+3(4+At-3)-29-3(4-3)=3(At)+6At, v==•-_=(3At+6)=6. ArTlAr屁二1Atut: '' 零. 2.求物体瞬时速度的步骤: (1)设非匀速直线运动的规律s=s(t). (2)求时间改变△t时的位置改变量△S=S(to+At)-S(to). (3)求平均速率•. ⑷计算瞬时速率: 当AtT0时,-—v(常数). jJL. 探究三: 【解析】由已知得: =2, h 当hT0,2hT0,-4hf0, ftu血 [问题]上面的解答遵循导数的定义吗? [结论]没有,在导数的定义形式中,增量Ax的形式多种多样,但是无论增量Ax选择哪 种形式,Ay必须保持相应的形式.即: f'(X0)===(其中a为非 7永mi: t-H)k 零常数). 于是,正确解答为 【小结】对极限的理解和计算,也是对导数概念的准确理解•通过此题可以看出学生是否掌握了导数的概念• 思维拓展应用 应用一: 20+5Ax因为Ay=5(2+Ax)2+6-5X22-6=20Ax+5(Ax)2, 所以平均变化率譬=20+5Ax. 应用二: VAs=s(2+At)-s (2)=a(2+At)2+1-aX22-1=4aAt+a(At)2, ••冒=4a+aAt,訣盍=4a, 即4a=8,二a=2. 应用三: 4 4-2 f'(x)^7= 22 : (3x+3x•△x+△x-8) =3x2-8, •••f⑵=4. =f' (2)=4. 基础智能检测 1.A由平均变化率的定义可知应选A. 2. 应选D D因为△x可正、可负不可为0,所以ki与k2大小关系不确定 3. (1)f(xo+Ax)-f(xo) (2)6△x+3(△x)26+3Ax66 4.解: (1)平均速度为 一二gto+gAt. (2)瞬时速度为 ! 把左_舄(gto+gAt)=gto. ⑶由 (1)得物体在to=2s到ti=2.1s这段时间内的平均速度为 gX2+gXO.1士g. (4)由(3)得物体在t=2s时的瞬时速度为gX2=2g.全新视角拓展 ■/Ay=f(1+Ax)-f (1)=(Ax)3+3(Ax)2+5Ax,
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