高中数学圆的方程典型例题.docx
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高中数学圆的方程典型例题
高中数学圆的方程典型例题
类型一:
圆的方程例1求过两点A(1,4)、B(3,2)且圆心在直线y0上的圆的标准方程并判断点P(2,4)与圆的关系.
分析:
欲求圆的标准方程,需求出圆心坐标的圆的半径的大小,而要判断点P与圆的位置关系,只须看点P与圆心的距离和圆的半径的大小关系,若距离大于半径,则点在圆外;若距离等于半径,则点在圆上;若距离小于半径,则点在圆.
解法一:
(待定系数法)
设圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2.
•.•圆心在y0上,故b0.
圆的方程为(xa)2y2r2.
又•.•该圆过A(1,4)、B(3,2)两点.
2.2
(1a)16r
,-、22
(3a)4r
解之得:
a1,r220.
所以所求圆的方程为(x1)2y220.
解法二:
(直接求出圆心坐标和半径)
因为圆过A(1,4)、B(3,2)两点,所以圆心C必在线段AB的垂直平分线l上,又因为
42
kAB——1,故l的斜率为1,又AB的中点为(2,3),故AB的垂直平分线l的方程为:
13
y3x2即xy10.
又知圆心在直线y0上,故圆心坐标为C(1,0)
.•半径rACJ(11)242J20.
故所求圆的方程为(x1)2y220.
又点P(2,4)到圆心C(1,0)的距离为
dPCV(21)242V25r.
.••点P在圆外.
说明:
本题利用两种方法求解了圆的方程,都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量,然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系,若将点换成直线又该如何来判定宜线与圆的位置关系呢?
22
例2求半径为4,与圆xy4x2y40相切,且和直线y0相切的圆的方程.
分析:
根据问题的特征,宜用圆的标准方程求解.
解:
则题意,设所求圆的方程为圆C:
(xa)2(yb)2r2.
圆C与直线y0相切,且半径为4,则圆心C的坐标为C1(a,4)或C2(a,4).
又已知圆x2y24x2y40的圆心A的坐标为(2,1),半径为3.
若两圆相切,则CA437或CA431.
(1)当G(a,4)时,(a2)2(41)272,或(a2)2(41)212(无解),故可得a22血.
所求圆方程为(x22',10)2
(y4)2
42,或(x22Ji0)2
(y
4)2
42.
2
(2)当C2(a,4)时,(a2)
(41)2
22
7,或(a2)(4
1)2
12
(无解),故
a22柢.
所求圆的方程为(x22...6)2
(y4)2
42,或(x22J6)2
(y
4)2
42.
说明:
对本题,易发生以下误解:
由题意,所求圆与直线y0相切且半径为4,则圆心坐标为C(a,4),且方程形如
(
22222222
xa)(y4)4.又圆xy4x2y40,即(x2)(y1)3,其圆心为
A(2,1),半径为3.若两圆相切,则CA43.故(a2)2(41)272,解之得a22血.所以欲求圆的方程为(x22&0)2(y4)242,或(x22血)2(y4)242.
上述误解只考虑了圆心在直线y0上方的情形,而疏漏了圆心在直线y0下方的情形.另外,误
解中没有考虑两圆切的情况.也是不全面的.
例3求经过点A(0,5),且与直线x2y0和2xy0都相切的圆的方程.
分析:
欲确定圆的方程.需确定圆心坐标与半径,由于所求圆过定点A,故只需确定圆心坐标.又圆与两已知直线相切,故圆心必在它们的交角的平分线上.
解:
•.•圆和直线x2y0与2xy0相切,
圆心C在这两条直线的交角平分线上,
又圆心到两直线x2y0和2xy0的距离相等.
.|x2y||x2y|,,.
.、5、、5
两直线交角的平分线方程是x3y0或3xy0.
又•.•圆过点A(0,5),
圆心C只能在直线3xy0上.
设圆心C(t,3t)
C到直线2xy0的距离等于AC,
.2t3t22
.•—尸一,t(3t5)-
•.5
化简整理得t26t50.
解得:
t1或t5
圆心是(1,3),半径为J5或圆心是(5,15),半径为5/5.
.••所求圆的方程为(x1)2(y3)25或(x5)2(y15)2125.
说明:
本题解决的关键是分析得到圆心在已知两直线的交角平分线上,从而确定圆心坐标得到圆的方程,这是过定点且与两已知直线相切的圆的方程的常规求法.
例4、设圆满足:
(1)截y轴所得弦长为2;
(2)被x轴分成两段弧,其弧长的比为3:
1,在满足条件
(1)
(2)的所有圆中,求圆心到直线l:
x2y0的距离最小的圆的方程.
分析:
要求圆的方程,只须利用条件求出圆心坐标和半径,便可求得圆的标准方程.满足两个条件的圆有无数个,其圆心的集合可看作动点的轨迹,若能求出这轨迹的方程,便可利用点到直线的距离公式,通过求最小值的方法找到符合题意的圆的圆心坐标,进而确定圆的半径,求出圆的方程.
解法一:
设圆心为P(a,b),半径为r.
贝UP到x轴、y轴的距离分别为b和a.
由题设知:
圆截x轴所得劣弧所对的圆心角为90,故圆截x轴所得弦长为V2r.
2_2
••-r2b
又圆截y轴所得弦长为2.
.22
--ra1.
又P(a,b)到直线x2y0的距离为
a2b
、5
a2b
解法二:
同解法一,得
a
2b
j5d.
•■-a2
4b2
4.5bd5d2
将a2
2b2
1代入上式得:
2b2
4.5bd
5d210
上述方程有实根,故
.2
8(5d1)0,
..d芸
5
„5、…./
将d——代入方程得b1.
5
又2b2a21a1.
由a2b1知a、b同号.
故所求圆的方程为(x1)2(y1)22或(x1)2(y1)22.
说明:
本题是求点到直线距离最小时的圆的方程,若变换为求面积最小呢?
类型二:
切线方程、切点弦方程、公共弦方程
例5已知圆O:
x2y24,求过点P2,4与圆O相切的切线.
解:
•.•点P2,4不在圆。
上,
切线PT的直线方程可设为ykx24
根据dr
2k4
.2
J1k2
-一3
解得k—
4
一3
所以y-x
4
即3x4y
24
100
因为过圆外一点作圆得切线应该有两条,可见另一条直线的斜率不存在.易求另一条切线为
x2.
说明:
上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况,要注意补回漏掉的解.
本题还有其他解法,例如把所设的切线方程代入圆方程,用判别式等于0解决(也要注意漏
解).还可以运用x°xy°yr2,求出切点坐标x°、y°的值来解决,此时没有漏解.
2222
例6两圆C1:
xyD1xE1yF10与C2:
xyD2xE2yF20相交于A、B两
点,求它们的公共弦AB所在直线的方程.
分析:
首先求A、B两点的坐标,再用两点式求直线AB的方程,但是求两圆交点坐标的过程太繁.为了避免求交点,可以采用“设而不求”的技巧.
解:
设两圆
Ci、
C2的任-
交点坐标为
(x0,y°),则有
2
x0
2
y0
Dixo
By。
F10
①
2
x0
2
Yo
D2xo
E2Yo
F20
②
①-②得:
(D1D2)x°
(E1E2)y0
F1
F20.
A、B的坐标满足方程
(D1D2)x
(E1
E2)yF1F20.
•••方程(D〔D2)x(E1
E2)yF1
F2
0是过A、B两点的直线方程
又过A、B两点的直线是唯一的.
•.•两圆Ci、C2的公共弦AB所在直线的方程为(DiD2)x(EiE2)yFiF20.
说明:
上述解法中,巧妙地避开了求A、B两点的坐标,虽然设出了它们的坐标,但并没有去求它,而是利用曲线与方程的概念达到了目标.从解题的角度上说,这是一种“设而不求”的技巧,从知识容的角度上说,还体现了对曲线与方程的关系的深刻理解以及对直线方程是一次方程的本质认识.它的应用很广泛.
例7、过圆x2y21外一点M(2,3),作这个圆的两条切线MA、MB,切点分别是A、B,求直线AB的方程。
练习:
22
1.求过点M(3,1),且与圆(x1)2y24相切的直线l的方程.
解:
设切线方程为y1k(x3),即kxy3k10,
•.•圆心(1,0)到切线l的距离等于半径2,
3切线万程为y1-(x3),即3x4y130,
4
当过点M的直线的斜率不存在时,其方程为x3,圆心(1,0)到此直线的距离等于半径2,
故直线x3也适合题意。
所以,所求的直线l的方程是3x4y130或x3.
一一.一22_5
2、过坐标原点且与圆xy4x2y—0相切的直线的方程为
2
解:
设直线方程为ykx,即
kxy0.L圆方程可化为(x2)2(y1)2-圆心为(2,
2
J虽翩徂k3八1……
_]/,11工2.日「22,""寸rx3,..次/Jy。
人换
y项
3
3、已知直线5x12ya0与圆x22xy20相切,则a的值为.
解:
..•圆(x1)2y21的圆心为(1,0),半径为1,J:
科21,解得a8或a18.
类型三:
弦长、弧问题
例8、求直线l:
3xy6
0被圆C:
x2y22x4y0截得的弦AB的长.
例12、若直线yxm与曲线y寸4x2有且只有一个公共点,数m的取值围.
解:
..•曲线y<4x2表示半圆x2y24(y0),利用数形结合法,可得实数m的取值围
是2m2或m2J2.
例13圆(x3)2(y3)29上到直线3x4y110的距离为1的点有几个?
分析:
借助图形直观求解.或先求出直线11、l2的方程,从代数计算中寻找解答.
解法一:
圆(x3)2(y3)29的圆心为。
1(3,3),半径r3.
334311
设圆心。
1到直线3x4y110的距离为d,则d,—23.
\3242
如图,在圆心。
1同侧,与直线3x4y110平行且距离为1的直线11与圆有两个交点,这两个交点符合题意.
又rd321.
与直线3x4y110平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意.
符合题意的点共有3个.
解法二:
符合题意的点是平行于直线3x4y110,且与之距离为1的直线和圆的交点.设
m11
所求直线为3x4ym0,则d\=1,
3242
m115,即m6,或m16,也即
11:
3x4y60,或l2:
3x4y160.
d1
3242
334316
3242
••-11与。
1相切,与圆。
1有一个公共点;12与圆。
1相交,与圆。
1有两个公共点.即符合题意的点共3个.
说明:
对于本题,若不留心,则易发生以下误解:
334311|
设圆心O1到直线3x4y110的距离为d,则d1123.
、3242
..•圆。
1到3x4y110距离为1的点有两个.
显然,上述误解中的d是圆心到直线3x4y110的距离,dr,只能说明此直线与圆有
两个交点,而不能说明圆上有两点到此直线的距离为1.
到一条直线的距离等于定值的点,在与此直线距离为这个定值的两条平行直线上,因此题中所求的点就是这两条平行直线与圆的公共点.求直线与圆的公共点个数,一般根据圆与直线的位置关系来判断,即根据圆心与直线的距离和半径的大小比较来判断.
22
练习1:
直线xy1与圆xy2ay0(a0)没有公共点,贝Ua的取值围是
解:
依题意有
a,解得J21
aJ21..,a0,0aJ21.
练习2:
若直线y
kx2与圆(x
2)2(y3)21有两个不同的交点,则k的取值围
解:
依题意有
",
解得0k
4,k的取值围是(0,4).
33
3、
圆x2
2
y2x4y
30上到直线x
y10的距离为J2的点共有()
分析:
(A)1个
(B)2个
(C)3个
(D)4个
4、
过点
把x2
y22x4y3。
化为x12
2
y28,圆心为1,2,半径为
圆心到直线的距离为V2,所以在圆上共有三个点到直线的距离等于V2,所以选C.
P3,4作直线l,当斜率为何值时,直线l与圆C:
x12y224有公共点,如
图所示.
分析:
解:
设直线l的方程为
观察动画演示,分析思路.
kx
3k40
根据d
整理得
解得
3k4dk2
3k24k0
P
0k-
3
类型五:
圆与圆的位置关系
问题导学四:
圆与圆位置关系如何确定?
例15:
圆xy22x0和圆x2y24y0的公切线共有条。
解:
..•圆(x1)2y21的圆心为Oi(1,0),半径ri1,圆x2(y2)24的圆心为。
2(0,2),
半径&2,O1O2J5,r1r23,r2r11.:
r2r1O1O2r1r2,■两圆相交.共有2
条公切线。
练习
1:
若圆x2y22mxm240与圆x2y22x4my4m280相切,则实数m的取值集合是.
解:
..•圆(xm)2y24的圆心为O1(m,0),半径r12,圆(x1)2(y2m)29的圆心为
。
2(1,2m),半径「23,且两圆相切,。
1。
2「1「2或。
1。
2「2「1,
J(m1)2(2m)25或寸(m1)2(2m)21,解得m12或m2,或m0或m-,
52
,125_
实数m的取值集合是{12,5,0,2}.
52
2:
求与圆x2y25外切于点P(1,2),且半径为2*侦的圆的方程.
解:
设所求圆的圆心为O1(a,b),则所求圆的方程为(xa)2(yb)220.v两圆外切于点p,
••-OP1O5?
,一(1,2)1(a,b),a3,b6••所求圆的方程为(x3)2(y6)220.313
类型六:
圆中的对称问题
例16、圆x2y22x6y90关于直线2xy50对称的圆的方程是
例17自点A3,3发出的光线l射到x轴上,被x轴反射,反射光线所在
的对称点A的坐标为3,3,其次设过A的圆C的切线方程为
根据dr,即求出圆C的切线的斜率为
4、
—或k
3
进一步求出反射光线所在的直线的方程为
4x3y30或3x4y30
类型七:
圆中的最值问题
19⑴已知圆O1:
(x3)2(y4)21,P(x,y)为圆。
上的动点,求dx2y2的最大、最
小值.
⑵已知圆O2:
(x2)2y21,P(x,y)为圆上任一点.求-—的最大、最小值,求x2y的x1
最大、最小值.
分析:
(1)、
(2)两小题都涉及到圆上点的坐标,可考虑用圆的参数方程或数形结合解决.
(法2)圆上点到原点距离的最大值di等于圆心到原点的距离di加上半径1,圆上点到原点距离
的最小值d2等于圆心到原点的距离di减去半径1.
所以di,324216.
d2324214.
所以dmax36-dmin
即匕H的最大值为土匝,最小值为土查.
x144
此时x2y2cos2sin
图所示,
两条切线的斜率分别是最大、最小值.
2kk2
1k2
1,得k
3一3
4
值是
练习:
则有xcos,y
sin
[0,2)
sin2
…u,•'
cos1
.ucos
usin
2
ucossin
(u
2).
即一u21sin(
)
u2
(tan
u)
2
解法一:
设圆x
y21上任一点P(cos,sin
(u^)
u21
又•,sin(
u2
一u2
解之得:
分析二:
3
4
y2、口…2
-一的几何意义是过圆x
x1
2…、•一
y1上一动点和定点(1,2)的连线的斜率,利用
此直线与圆x
1有公共点,可确定出u
的取值围.
解法二:
22
y2u(x1),此直线与圆xy1有公共点,故点(0,0)到
直线的距离d
另外,直线
2u(x
1)与圆x2y21的公共点还可以这样来处理:
y后得:
(u21)x2(2u24u)x
(u24u3)0,
此方程有实根,故
(2u24u)24(u21)(u24u3)
°,
•一…3
解之得:
u-.
4
说明:
这里将圆上的点用它的参数式表示出来,从而将求变量
u的围问题转化成三角函数的有
关知识来求解.或者是利用其几何意义转化成斜率来求解,使问题变得简捷方便.
3、已知点A(2,2),B(2,6),C(4,2),点P在圆x2y24上运动,求PA2
最大值和最小值.
类型八:
轨迹问题
例21、
基础训练:
已知点M与两个定点O(0,0),A(3,0)的距离的比为
1…
-,求点M
2
PB
PC2的
的轨迹方程.
例22、
已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆(x1)2
y24上运动,求线段AB
的中点M的轨迹方程
例23如图所示,已知圆O:
x2y24与y轴的正方向交于A点,点B在直线y2上运动,过B做圆。
的切线,切点为C,求ABC垂心H的轨迹.
分析:
按常规求轨迹的方法,设H(x,y),找x,y的关系非常难.由于H点随B,C点运动
而运动,可考虑H,B,C三点坐标之间的关系.
解:
设H(x,y),C(x,y),连结AH,CH,
BC是切线OC
OAOC,
则AHBC,CHAB,所以OC//AH,CHZ/OA,所以四边形AOCH是菱形.
x.
2,2
又C(x,y)满足xy4,
所以x2(y2)24(x0)即是所求轨迹方程.
说明:
题目巧妙运用了三角形垂心的性质及菱形的相关知识.采取代入法求轨迹方程.做题时应注意分析图形的几何性质,求轨迹时应注意分析与动点相关联的点,如相关联点轨迹方程已知,可考虑代入法.
例24已知圆的方程为x2y2r2,圆有定点P(a,b),圆周上有两个动点A、B,使PAPB,求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.
分析:
利用几何法求解,或利用转移法求解,或利用参数法求解.
解法一:
如图,在矩形APBQ中,连结AB,PQ交于M,显然OMAB,ABPQ,
在直角三角形AOM中,若设Q(x,y),则M(^^,匕上).
22
222
由OMAMOA,即
xa2yb21222
-—)^―)-[(xa)(yb)]r,
224
也即x2y22r2(a2b2),这便是Q的轨迹方程.
解法二:
设Q(x,y)、A(x1,y1)、B(x2,y2),则x;y;r2,x?
2房
2
又PQ
又AB与PQ的中点重合,故xax1x2,yby1y2,即
/、2,,、2八2〜x-
(xa)(yb)2r2(x〔x2ym)d
①+②,有x2y22r2(a2b2).
这就是所求的轨迹方程.
解法三:
设A(rcos,rsin)、B(rcos,rsin)、Q(x,y),
由于APBQ为矩形,故AB与PQ的中点重合,即有
xarcosrcos,①
ybrsinrsin,②
又由PAPB有里——。
地——b1③
rcosarcosa
联立①、②、③消去、,即可得Q点的轨迹方程为x2y22r2(a2b2).
说明:
本题的条件较多且较隐含,解题时,思路应清晰,且应充分利用图形的几何性质,否则,将使解题陷入困境之中.
本题给出三种解法.其中的解法一是几何方法,它充分利用了图形中隐含的数量关系.而解法
二与解法二,从本质上是一样的,都可以称为参数方法.解法二涉及到了x1、x2、y-i、y2四个参
数,故需列出五个方程;而解法三中,由于借助了圆x2y2r2的参数方程,只涉及到两个参数、
故只需列出三个方程便可.上述三种解法的共同之处是,利用了图形的几何特征,借助数形结合的思想方法求解.
练习:
1、由动点P向圆x2y21引两条切线PA、PB,切点分别为A、B,APB=60°,则动点P的轨迹方程是.
解:
设P(x,y)..・APB=60°,OPA=30°..•OAAP,|OP2OA2,投""y22,
化简得x2y24,动点P的轨迹方程是x2y24.
练习巩固:
设A(c,0),B(c,0)(c0)为两定点,动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值
a(a0),求P点的轨迹.
左…皿一,工PA|口v'(xc)2y2
解:
设动点P的坐标为P(x,y).由一a(a0),得』y=a,
脾|v''(xc)2y2
化简得(1a2)x2(1a2)y22c(1a2)xc2(1a2)0.
当a1时,化简得x2y22c(1?
气c20,整理得(xW^c)2y2(二答)2;
1a2a21
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