(1)将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数;
(H)促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大?
5•某公司生产甲,乙两种桶装产品•已知生产甲产品1桶需消耗A原料1千克、B原料2
千克;生产乙产品1桶需消耗A原料2千克、B原料1千克•每桶甲产品利润300元,每桶乙产品利润400元•公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗A、B原料都不超过
12千克•那么该公司每天如何生产获得利润最大?
最大利润是多少?
(作出图象)
6•某生物探测器在水中逆流行进时,所消耗的能量为,其中v为进行时相对于水的速度,
T为行进时的时间(单位:
h),c为常数,n为能量次级数,如果水的速度为4,该生物探
测器在水中逆流行进200.
(1)求T关于v的函数关系式;
(2)①当能量次级数为2时,求探测器消耗的最少能量;
②当能量次级数为3时,试确定v的大小,使该探测器消耗的能量最少.
7•某沿海城市的海边有两条相互垂直的直线型公路11、12,海岸边界近似地看成一条曲线
段.为开发旅游资源,需修建一条连接两条公路的直线型观光大道,且直线与曲线有且仅有
一个公共点P(即直线与曲线相切),如图所示•若曲线段是函数:
“二图象的一段,点M到
X
11、12的距离分别为8千米和1千米,点N到12的距离为10千米,点P到12的距离为2千米.以H、12分别为X、y轴建立如图所示的平面直角坐标系.
(1)求曲线段的函数关系式,并指出其定义域;
(2)求直线的方程,并求出公路的长度(结果精确到1米).
&某自来水厂的蓄水池存有400吨水,水厂每小时可向蓄水池中注水60吨,同时蓄水池又
向居民小区不间断供水,t小时内供水总量为:
<0I.?
吨,(0Wtw24)
(1)从供水开始到第几小时时,蓄水池中的存水量最少?
最少水量是多少吨?
(2)若蓄水池中水量少于80吨时,就会出现供水紧张现象,请问:
在一天的24小时内,有几小时出现供水紧张现象.
9•某公司经销某产品,第x天(1wxw30,x€N*)的销售价格为-20|(a为常数)(元/件),第x天的销售量为50--16|(件),且公司在第18天该产品的销售收入为2016元.
(1)求该公司在第20天该产品的销售收入是多少?
(2)这30天中该公司在哪一天该产品的销售收入最大?
最大收入为多少?
10.某公司生产的某批产品的销售量P万件(生产量与销售量相等)与促销费用x万元满足:
,''(其中0wxwa,a为正常数).已知生产该产品还需投入成本6()万元(不含促
4P
销费用),产品的销售价格定为(4+工)元/件.
P
(1)将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数;
(2)促销费用投入多少万元时,该公司的利润最大?
11.在一次水下考古活动中,潜水员需潜入水深为30米的水底进行作业.其用氧量包含以
下三个方面:
①下潜时,平均速度为每分钟x米,每分钟的用氧量为亠」升;②水底作
90
业需要10分钟,每分钟的用氧量为0.3升;③返回水面时,速度为每分钟-米,每分钟
2x
用氧量为0.2升;设潜水员在此次考古活动中的总用氧量为y升.
(1)将y表示为x的函数;
(1)若x€[4,8],求总用氧量y的取值范围.
12•某公司经过测算投资x百万元,投资项目A与产生的经济效益y之间满足:
(x)=-寺,
+212,投资项目B产生的经济效益y之间满足:
(x)=—,.-+41.
3
(1)现公司共有1千万资金可供投资,应如何分配资金使得投资收益总额最大?
(2)投资边际效应函数F(x)
(1)-f(x),当边际值小于0时,不建议投资,则应如何分配投资?
13.某企业参加A项目生产的工人为1000人,平均每人每年创造利润10万元.根据现实
的需要,从A项目中调出x人参与B项目的售后服务工作,每人每年可以创造利润10(a
-丑)万元(a>0),A项目余下的工人每年创造利润需要提高0.2.
500
(1)若要保证A项目余下的工人创造的年总利润不低于原来1000名工人创造的年总利润,
则最多调出多少人参加B项目从事售后服务工作?
(2)在
(1)的条件下,当从A项目调出的人数不能超过总人数的40%时,才能使得A项目中留岗工人创造的年总利润始终不低于调出的工人所创造的年总利润,求实数a的取值范
围.
14.已知某城市2015年底的人口总数为200万,假设此后该城市人口的年增长率为1%(不考虑其他因素).
(1)若经过x年该城市人口总数为y万,试写出y关于x的函数关系式;
(2)如果该城市人口总数达到210万,那么至少需要经过多少年(精确到1年)?
15.上海磁悬浮列车工程西起龙阳路地铁站,东至浦东国际机场,全线长35.已知运行中
磁悬浮列车每小时所需的能源费用(万元)和列车速度()的立方成正比,当速度为100
时,能源费用是每小时0.04万元,其余费用(与速度无关)是每小时5.12万元,已知最大速度不超过C()(C为常数,0vC<500).
(1)求列车运行全程所需的总费用y与列车速度v的函数关系,并求该函数的定义域;
(2)当列车速度为多少时,运行全程所需的总费用最低?
16.经市场调查,某商品每吨的价格为x(1vxv14)百元时,该商品的月供给量为y1万
吨,y1=2-a(a>0);月需求量为y2万吨,y2=———x2-」一1.当该商品的需求量大于
2224112
供给量时,销售量等于供给量;当该商品的需求量不大于供给量时,销售量等于需求量•该商品的月销售额等于月销售量与价格的乘积.
(1)若1,问商品的价格为多少时,该商品的月销售额最大?
7
(2)记需求量与供给量相等时的价格为均衡价格,若该商品的均衡价格不低于每吨6百元,
求实数a的取值范围.
17.某种产品具有一定时效性,在这个时期内,由市场调查可知:
每件产品获利a元,在不
作广告宣传的前提下可卖出b件;若作广告宣传,广告费为1(n€N)千元时比广告费为n千元时多卖出;件,设作n(n€N)千元广告时销售量为件.
严1
(1)试写出销售量与n(n€N)的函数关系式.
(2)当10,4000时,厂家应作几千元广告,才能获取最大利润?
18•某工厂生产某种黑色水笔,每百支水笔的成本为30元,并且每百支水笔的加工费为m
元(其中m为常数,且3WmW6).设该工厂黑色水笔的出厂价为x元/百支(35根据市场调查,日销售量与成反比例,当每百支水笔的出厂价为40元时,日销售量为10
万支.
(1)当每百支水笔的日售价为多少元时,该工厂的利润y最大,并求y的最大值.
(2)已知工厂日利润达到1000元才能保证工厂的盈利•若该工厂在出厂价规定的范围内,
总能盈利,则每百支水笔的加工费m最多为多少元?
(精确到0.1元)
19•某工厂某种产品的年固定成本为250万元,每生产x千件,需另投入成本为C(x),当
年产量不足80千件时,C(x)二丄(万元).当年产量不小于80千件时,C(x)
L1
=51""IH.(万元)•每件商品售价为0.05万元•通过市场分析,该厂生产的商品
X
能全部售完.
(I)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式;
(n)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?
20.为了提高产品的年产量,某企业拟在2013年进行技术改革,经调查测算,产品当年的
产量x万件与投入技术改革费用m万元(m>0)满足3-」一(k为常数).如果不搞技术
ird-1
改革,则该产品当年的产量只能是1万件•已知2013年生产该产品的固定投入为8万元,每生产1万件该产品需要再投入16万元•由于市场行情较好,厂家生产均能销售出去,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品生产成本的1.5倍(生产成本包括固定投入和再投入
两部分资金)
(1)试确定k的值,并将2013年该产品的利润y万元表示为技术改革费用m万元的函数
(利润=销售金额-生产成本-技术改革费用);
(2)该企业2013年的技术改革费用投入多少万元时,厂家的利润最大?
并求出最大利润.
21.我国发射的天宫一号飞行器需要建造隔热层.已知天宫一号建造的隔热层必须使用20年,每厘米厚的隔热层建造成本是6万元,天宫一号每年的能源消耗费用C(万元)与隔热
层厚度x(厘米)满足关系式:
I•:
・■■■--,若无隔热层,则每年能源消耗
3x+5'
费用为8万元.设f(x)为隔热层建造费用与使用20年的能源消耗费用之和.
(I)求C(x)和f(x)的表达式;
()当隔热层修建多少厘米厚时,总费用f(x)最小,并求出最小值.
22.某厂生产某种产品的年固定成本为250万元,每生产x万件,需另投入的成本为C(x)(单位:
万元),当年产量小于80万件时,C(x)12+10x;当年产量不小于80万件时,C
3
(x)=51川』-1450.假设每万件该产品的售价为50万元,且该厂当年生产的该产品能
全部销售完.
(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数关系式;
(2)年产量为多少万件时,该厂在该产品的生产中所获利润最大?
最大利润是多少?
23.某厂生产一种机器的固定成本(即固定收入)为0.5万元,但每生产一台,需要增加可
变成本(即另增加收入)0.25万元•市场对此产品的年需求量为500台,销售的收入函数为
2
-:
.''(万元)(0百台)
2
(1)把利润表示为年产量的函数;
(2)年产量是多少时,工厂所得利润最大?
24.某水产养殖场拟造一个无盖的长方体水产养殖网箱,,为避免混养,箱中要安装一些筛
网,其平面图如下.如果网箱四周网衣(图中实线部分)建造单价为每米长56元,筛网(图中虚线部分)的建造价为每米长48元,网箱底面面积为160平方米,建造单价为每平方米
50元.网衣及筛网的厚度不计.
(1)把建造网箱的总造价y(元)表示为网箱的长x(米)的函数,并求出最低造价;
(2)若要求网箱的长不超过15米,宽不超过12米,则当网箱的长和宽各为多少米时,可使总造价最低?
(结果精确到0.01米)
25.某企业决定从甲、乙两种产品中选择一种进行投资生产,已知投资生产这两种产品的有
关数据如下(单位:
万美元):
年固定成本
每件产品成本
每件产品销售价
每年最多生产的件数
甲产品
30
a
10
200
乙产品
50
8
18
120
其中年固定成本与生产的件数无关,a为常数,且4交0.05x2万美元的特别关税.
(1)写出该厂分别投资生产甲、乙两种产品的年利润y1,y2与生产相应产品的件数x之间的函数关系式;
(2)分别求出投资生产这两种产品的最大利润;
(3)如何决定投资可获得最大年利润.
26.设某企业每月生产电机x台,根据企业月度报表知,每月总产值m(万元)与总支出n
(万兀)近似地满足下列关系:
-,-丄x?
+5,当m-n》0时,称不亏损企业;当m
2444
-nv0时,称亏损企业,且n-m为亏损额.
(1)企业要成为不亏损企业,每月至少要生产多少台电机?
(2)当月总产值为多少时,企业亏损最严重,最大亏损额为多少?
27.为了美化校园环境,学校打算在兰蕙广场上建造一个绚丽多彩的矩形花园,中间有三个
完全一样的矩形花坛,每个花坛面积均为294平方米,花坛四周的过道均为2米,如图所示,设矩形花坛的长为x,宽为y,整个矩形花园面积为S.
(1)试用x,y表示S;
(2)为了节约用地,当矩形花坛的长为多少米时,新建矩形花园占地最少,
占地多少平米?
那
28.某厂每月生产一种投影仪的固定成本为0.5万元,但每生产100台,需要加可变成本(即另增加投入)0.25万元,市场对此产品的年需求量为500台,销售的收入函数为R(x)=5x
2
-(万元)(0Wxw5),其中x是产品售出的数量(单位:
百台)
2
(1)求月销售利润y(万元)关于月产量x(百台)的函数解析式;
(2)当月产量为多少时,销售利润可达到最大?
最大利润为多少?
29.已知某品牌手机公司生产某款手机的年固定成本为40万美元,每生产1万部还需另投
入16万美元.设公司一年内共生产该款手机x万部并全部销售完,每万部的销售收入为R
poo-0(x)万美元,且R(x)=8000_5了600工>40•
T2
I盖X
(I)写出年利润f(x)(万美元)关于年产量x(万部)的函数解析式;
(n)当年产量为多少万部时,公司在该款手机的生产中所获得的利润最大?
并求出最大利
润.
30.首届世界低碳经济大会在南昌召开,本届大会以节能减排,绿色生态"为主题.某单位
在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,采用了新工艺,把二氧化碳转化为一种可利用的
化工产品.已知该单位每月的处理量最少为300吨,最多为600吨,月处理成本y(元)与
月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为….丄且每处理一吨
2
二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元.
(1)该单位每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低?
(2)该单位每月能否获利?
如果获利,求出最大利润;如果不获利,则需要国家至少补贴
多少元才能使该单位不亏损?
31.近年来,某企业每年消耗电费约24万元,为了节能减排,决定安装一个可使用15年的
太阳能供电设备接入本企业电网,安装这种供电设备的工本费(单位:
万元)与太阳能电池
板的面积(单位:
平方米)成正比,比例系数约为0.5,为了保证正常用电,安装后采用太
阳能和电能互补供电的模式•假设在此模式下,安装后该企业每年消耗的电费C(单位:
万
120
元)与安装的这种太阳能电池板的面积x(单位:
平方米)之间的函数关系是C(x)='
x+5
(x>0),记F为该村安装这种太阳能供电设备的费用与该村15年共将消耗的电费之和.
(1)建立F关于x的函数关系式;
(2)当x为多少平方米时,F取得最小值?
最小值是多少万兀?
32.
会产生一些次品,根
某工厂生产一种仪器的元件,由于受生产能力和技术水平的限制,
次品率=次品数/生产量,如0.1表示每生产10件产品,有1件为次品,其余为合格品).已知每生产1万件合格的元件可以盈利2万元,但每生产1万件次品将亏损1万元,故厂方希望定出合适的日产量.
(1)试将生产这种仪器的元件每天的盈利额T(万元)表示为日产量x(万件)的函数;
(2)当日产量x为多少时,可获得最大利润?
33.政府鼓励创新、创业,银行给予低息贷款.一位大学毕业生向自主创业,经过市场调研、测算,有两个方案可供选择.
方案1:
开设一个科技小微企业,需要一次性贷款40万元,第一年获利是贷款额的10%,
以后每年比上一年增加25%的利润.
方案2:
开设一家食品小店,需要一次性贷款20万元,第一年获利是贷款额的15%,以后
每年比上一年增加利润1.5万元.两种方案使用期限都是10年,到期一次性还本付息.两
种方案均按年息2%的复利计算(参考数据:
1.259=7.45,1.2510=9.3,1.029=1.20,1.0210=1.22).
(1)10年后,方案1,方案2的总收入分别有多少万元?
(2)10年后,哪一种方案的利润较大?
34.某工厂生产A,B两种产品所得利润分别是P(单位:
万元)和Q(单位:
万元),它们与投入资金t(单位:
万元)的关系有经验公式-t32,',今将50万元资金投
30001005
入经营A,B两种产品,其中对A种产品投资为x(单位:
万元),设经营A,B两种产品的利润和为总利润y(单位:
万元).
(1)试建立y关于x的函数关系式,并指出函数的定义域;
(2)当x为多少时,总利润最大,并求出最大利润.
35.经测定某点处的光照强度与光的强度成正比,与到光源距离的平方成反比,比例常数为
k(k>0),现已知相距3m的A,B两光源的光的强度分别为a,b,它们连线上任意一点C
(异于A,B)处的光照强度y等于两光源对该处光源强度之和,设(m),已知1时点C处的光照强度是丄,2时点C处的光照强度是3k.
4
(1)试将y表示为x的函数,并给出函数的定义域;
(2)问连线上何处光照强度最小,并求出最小值.
36.阅读下面的一段文字,并解决后面的问题:
我们可以从函数的角度来研究方程的解的个数的情况,例如,研究方程2x3-3x2-6=0的解
的情况:
因为方程2x3-3x2-6=0的同解方程有x3,:
3,2x-3=等多种形式,所以,
我们既可以选用函数3,,:
3,也可以选用函数2x-3,■,通过研究两函数图象的位置
关系来研究方程的解的个数情况.因为函数的选择,往往决定了后续研究过程的难易程度,所以从函数的角度来研究方程的解的情况,首先要注意函数的选择.
请选择合适的函数来研究该方程「-的解的个数的情况,记k为该方程的解的个数.请
Ke
写出k的所有可能取值,并对k的每一个取值,分别指出你所选用的函数,画出相应图象(不需求出a,b的数值).
1.6
P(x)
37•—小型机械加工厂生产某种零件的年固定成本为15万元,每生产1千件需另投入
万元•设该加工厂一年内生产该种零件x千件并全部销售完,每千件的销售收入为
万元,且P(x)=
6-备/«i<12
廻-鬱x>12
(1)写出年利润y(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式;
(2)年产量为多少千件时,该工厂在这种零件的生产中所获得的年利润最大.
(注:
年利润=年销售收入-年总成本)
38.某产品生产厂家生产一种产品,每生产这种产品x(百台),其总成本为G(x)(万元),其中固定成本为42万元,且每生产1百台的生产成本为15万元(总成本=固定成本+生产
成本).销售收入R(x)(万元)满足•「一厂’「''假定该产品产销平衡
〔165,x>5
(即生产的产品都能卖掉),根据上述规律,完成下列问题:
(1)写出利润函数(x)的解析式(利润=销售收入-总成本);
(2)要使工厂有盈利,求产量x的范围;
(3)工厂生产多少台产品时,可使盈利最大?
39.某单位有员工1000名,平均每人每年创造利润10万元.为了增加企业竞争力,决定优化产业结构,调整出x(x€N*)名员工从事第三产业,调整后他们平均每人每年创造利润
为10(a-:
,)万元(a>0),剩下的员工平均每人每年创造的利润为原来(1+丫)倍.
500500
(I)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润,则最多
可以调整出多少名员工从事第三产业;
(H)若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润,则a的最大取
值是多少.
40.已知美国苹果公司生产某款手机的年固定成本为40万美元,每生产1只还需另投入16
美元.设苹果公司一年内共生产该款手机x万只并全部销售完,每万只的销售收入为R(x)
f400-O万美元,且R(x)=*7400_40000工〉40
(1)写出年利润W(万元)关于年产量x(万只)的函数解析式;
(2)当年产量为多少万只时,苹果公司在该款手机的生产中所获得的利润最大?
并求出最大利润.
函数应用题40道汇编
参考答案与试题解析