九图形的相似与全等.docx

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九图形的相似与全等

九、图形的相似与全等

张建良常熟市实验中学

【课标要求】

1、图形的相似

（1）了解比例的基本性质，了解线段的比、成比例的线段，会判断已知线段是否成比例.通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割.

（2）通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积的比等于对应边比的平方.

（3）了解两个三角形相似的概念，探索两个三角形相似的条件及其主要性质.

（4）了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小.

（5）通过典型实例观察和认识现实生活中物体的相似，利用图形的相似解决一些实际问题（如利用相似测量旗杆的高度）.

（6）能建立适当的坐标系，描述物体变换的位置.能灵活运用不同的方式确定物体的位置.

（7）在同一直角坐标系中，感受图形变换后点的坐标的变化.

2、图形的全等

（1）了解图形全等的概念，知道根据图形全等的概念识别全等图形；知道全等图形的对应边、对应角相等，会利用图形的全等解决一些简单的问题.

（2）经历三角形全等的识别方法（若两个三角形的三边分别对应相等，则两个三角形全等；若两个三角形的两边及其夹角分别对应相等，则两个三角形全等；若两个三角形的两角及其夹边分别对应相等，则两个三角形全等）的探索过程，在与三角形相似的比较中加深认识，并运用这些方法识别三角形的全等.

（3）经历直角三角形全等的特殊识别方法（如果两个三角形的斜边及其一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等）的探索过程，并会运用各种方法识别三角形的全等.

3、命题与证明

（1）了解命题、定义、公理的含义，会区分命题的题设（条件）和结论.

（2）结合具体的例子，了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，并知道原命题成立逆命题不一定成立.

（3）通过具体的例子理解反例的作用，知道利用反例可以证明一个命题是错误的.

（4）掌握用综合法证明的格式，体会证明的过程要步步有据.

4、尺规作图

（1）掌握下列基本作图：

画一条线段等与已知线段、画一个角等于已知角、画角的平分线、画线段的垂直平分线、画一条线段的垂线.

（2）会利用基本作图画三角形：

已知三边画三角形；已知两边及其夹角画三角形；已知两角及其夹边画三角形；已知底边及其底边上的高画等腰三角形.

（3）探索如何过一点、两点和不在同一直线上三点作圆.

（4）了解尺规作图的步骤，对于尺规作图题，会写已知、求作和作法.（不要求证明）

【课时分布】

图形的相似及其全等在第一轮复习时大约需要7个课时，其中包括单元测试.下表为内容及课时安排（仅供参考）.

课时数

内　　　容

１

比例线段、相似三角形的判定

2

相似三角形的性质及其应用

１

全等三角形的判定

1

图形相似和全等的综合训练

２

图形相似和全等单元测试与评析

【知识回顾】

相似比k=1

命题证明

定义、命题、公理、定理

证明

三角形全等

三角形全等的识别

直角三角形全等的识别

图形的全等

基本作图

图形的相似

对应边成比例，对应角相等的两个多边形是相似多边形

相似三角形的识别方法和性质

相似三角形

相似多边形

坐标与图形的运动

坐标表示物体的位置

1、知识脉络

．

2、基础知识

比例线段，若

（或a∶b=c∶d），则四条线段a、b、c、d叫做比例线段.

比例基本性质：

若

，则ad=bc.

在比例中运用设k法.

相似多边形，对应边成比例，对应角相等.（识别方法）

相似三角形的相似比（当k=1时,得特殊的相似三角形，称为全等三角形）.

相似三角形的判定定理：

（1）如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么两个三角形相似；

（2）如果一个三角形的两边分别与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角对应相等，那么两个三角形相似；

（3）如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么两个三角形相似；

（4）如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．

相似三角形的性质定理：

（1）若两个三角形相似，则这两个三角形的对应边成比例，对应角相等.

（2）若两个三角形相似，它们对应中线的比，角平分线的比，高的比都等于相似比.

（3）若两个三角形相似，它们周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.

直角三角形中的射影定理.

利用相似三角形的性质解决一些实际问题.

画相似图形，利用位似方法，把一个多边形放大和缩小.

全等三角形的判定定理：

SSS、SAS、ASA、AAS、HL.

命题、定理、公理.

五种基本作图及简单的作图题.

3、能力要求

例1已知△ABC中，∠ACB=90º，CD⊥AB于D，AD∶BD=2∶3且CD=6.

A

B

C

D

┐

求

（1）AB；

（2）AC.

【分析】设AD=2k，BD=3k.根据直角三角形和它斜边上的高，可知△ABC∽△ACD∽△CBD.通过相似三角形对应边成比例求出其中k的大小；但是如果根据用射影定理，那么就可以直接计算出k的大小.

解：

设AD=2k，BD=3k（k>0）.

∵∠ACB=90º，CD⊥AB.∴CD2=AD•BD，

∴62=2k•3k，∴k=

.

∴AB=

.

又∵AC2=AD•AB，∴AC=

.

【说明】解题的方法可以不止一种，本题采用了补充的射影定理来解，其中通过设k法

将两线段的比转化成两线段的长2k和3k，建立关于k的等式.在含有比例的解题中设k法是常用的解题方法之一.

例2已知△ABC中，∠ACB=90º，CH⊥AB，HE⊥BC，HF⊥AC.

A

B

C

F

E

H

求证：

（1）△HEF≌△EHC；

（2）△HEF∽△HBC.

【分析】从已知条件中可以获得四边形CEHF是矩形，要证明三角形全等要收集到三个条件，有公共边EH,根据矩形的性质可知EF=CH,HF=EC.

要证明三角形相似，从条件中得∠FHE=∠CHB=90º,由全等三角形可知，∠HEF=∠HCB,这样就可以证明两个三角形相似.

【证明】∵HE⊥BC，HF⊥AC，

∴∠CEH=∠CFH=90º.又∵∠ACB=90º，∴四边形CEHF是矩形.

∴EF=CH,HF=EC，∠FHE=90º.

又∵HE=EH，

∴△HFE≌△EHC.∴∠HEF=∠HCB.

∵∠FHE=∠CHB=90º，

∴△HEF∽△HBC.

【说明】在这一题的分析过程中，走“两头凑”比较快捷，从已知出发，发现有用的信息，从结论出发，寻找解决问题需要的条件.解题中还要注意上下两小题的“台阶”关系.培养学生良好的思维习惯.

C

E

A

D

M

B

┌

┐

例3两个全等的含30º，60º角的三角板ADE和ABC如图所示放置，E，A，C三点在一条直线上，连接BD，取BD的中点M，连结ME，MC.试判断△EMC的形状，并说明理由.

【分析】判断一个三角形的形状，可以结合所给出的图形作出假设，或许是等腰三角形.这样就可以转化为另一个问题：

尝试去证明EM=MC，要证线段相等可以寻找全等三角形来解决，然而图中没有形状大小一样的两个三角形.这时思考的问题就可以转化为这样一个新问题：

如何构造一对全等三角形？

根据已知点M是直角三角形斜边的中点，产生联想：

直角三角形斜边上的中点是斜边的一半，得：

MD=MB=MA.连结MA后，可以证明△MDE≌△MAC.

【答】：

△EMC的形状是等腰直角三角形.

【证明】连接AM,有题意得,

DE=AC，AD=AB，∠DAE+∠BAC=90º.∴∠DAB=90º.

∴△DAB为等腰直角三角形.

又∵MD=MB，

∴MA=MD=MB，AM⊥DB，∠MAD=∠MAB=45º.

∴∠MDE=∠MAC=105º，∠DMA=90º.

∴△MDE≌△MAC.

∴∠DME=∠AMC，ME=MC.

又∠DME+∠EMA=90º，

∴∠AMC+∠EMA=90º.

∴MC⊥EM.

∴△EMC的形状是等腰直角三角形.

【说明】构造全等三角形是解决这个问题的关键，那么构造全等又如何进行的呢？

对条件的充分认识和对知识点的联想可以找到添加辅助线的途径.构造过程中要不断地转化问题或转化思维的角度.会转化，善于转化，更能体现思维的灵活性.在问题中创设三角板为情境也是考题的一个热点.

例4如图，已知∠MON=90º，等边三角形ABC的一个顶点A是射线OM上的一定点，顶点B与点O重合，顶点C在∠MON内部.

（1）当顶点B在射线ON上移动到B1时，连结AB1为一边的等边三角形AB1C1（保留作图痕迹，不写作法和证明）；

（2）设AB1与OC交于点Q，AC的延长线与B1C1交于点D.求证：

；

（3）连结CC1，试猜想∠ACC1为多少度？

并证明你的猜想.

【分析】用尺规作图画出符合题意的等边三角形AB1C1是对问题

（2）研究的关键.分别以A、B1两点为圆心，AB1长为半径作弧，两弧的交点即为点C1.然后把等积式改写比例式，找出所需的两个相似三角形.

【解】

（1）如图所示；

N

O

A

C

Q

B1

M

C1

D

（B）

【证明】

（2）∵△AOC与△AB1C1等边三角形，

∴∠ACB=∠AB1D=60º.

又∵∠CAQ=∠B1AD,∴△ACQ∽△AB1D；

（3）猜想∠ACC1=90º.

证明:

∵△AOC和△AB1C1为正三角形,AO=AC，AB1=AC1，

∴∠OAC=∠C1AB1，

∴∠OAC-∠CAQ=∠C1AB1-∠CAQ，∴∠OAB1=∠CAC1.∴△AOB1≌△ACC1.

∴∠ACC1=∠AOB1=90º.

【说明】问题中要求学生画出正△AB1C1，是对学生理解能力和动手能力的考验,教材中安排的五种基本作图，教学中应当给予一定的重视.同时通过比例线段确认要证的相似三角形是常用方法之一.问题（3）是一道结论开放的问题，根据对已知条件的分析，对图形的观察，猜想直角，再根据所推断出的目标，去证明猜想是正确的.这样既培养学生的合情推理能力，也给了学生一个探索的平台.

例5

（1）已知如图①，在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=60º.

求证：

①AC=BD,②∠APB=60º.

（2）如图②，在△AOB和△COD中，OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=α,则AC与BD间的等量关系式为______________；∠APB的大小为_____________.

（3）如图③，在△AOB和△COD中，OA=kOB,OC=kOD（k>1）,∠AOB=∠COD=α,则AC与BD间的等量关系式为_________________；∠APB的大小为_____________.

B

A

C

D

O

P

①

A

C

B

O

P

D

②

A

C

B

P

O

D

③

【分析】要证AC=BD，在图①可以找AC与BD所在的两个三角形全等。

即证明△AOC≌△BOD可以解决.求∠APB的度数可以通过三角形内角和转化成∠AOB的度数.

（2）、（3）题的答案，可以“复制”

（1）题中的解题思路来完成.

【证明】∵△AOB和△COD为正三角形,

∴OA=OB，OD=OC，∠AOB=60º，∠COD=60º.

∵∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，∴∠AOC=∠BOD.

∴△AOC≌△BOD，∴AC=BD.∴∠OAC=∠OBD，

∴∠APB=∠AOB=60º.

（2）AC与BD间的等量关系式为AC=BD；∠APB的大小为α.

（3）AC与BD间的等量关系式为AC=kBD；∠APB的大小为180º-α.

【说明】三个问题的设计是一个逐步深入的过程,有特殊到一般的过程,图形的展示是一个动态过程,但在变化中却蕴含着不变的事项,例如解决问题时都用到了△AOC和△BOD，都用到了三角形内角和定理来决定∠APB与α的大小关系.

（2）、（3）小题的解决思路可从题

（1）中吸取.这也是这样一类变式题常用的思维方法.

例6一块直角三角形木板的一条直角边AB长为1.5m，面积为1.5m2,工人师傅要把它加工成一个面积最大的正方形，请两位同学进行设计加工方案，甲设计方案如图

（1）,乙设计的方案如图

（2）.你认为那位同学设计的方案较好？

试说明理由.（加工损耗忽略，计算结果可保留分数）

【分析】方案

（1）,设正方形的边长为xm，通过相似三角形对应边成比例建立方程,求出边长.

C

A

（1）

B

D

E

F

（2）

C

B

A

D

E

G

F

H

P

方案

（2）,设正方形的边长为xm,通过相似三角形对应高的比等于相似比建立方程,求出边长.

【解】方案

（1）：

有题意可知,DE∥BA，

得△CDE∽△CBA.∴

；

方案

（2）:

作BH⊥AC于H.DE∥AC，得△BDE∽△BAC.

∴

.∵

∴如图

（1）加工出的正方形面积大.

综上所得，甲同学设计的方案较好.

【说明】利用相似三角形的性质解决实际问题，让学生感受生活中的数学.在解决几何中相关的一些计算问题时往往可以转化方程来讨论.当然在教学中可将问题改成：

请你给出设计方案，并加于说明.”这样更突出了问题的探究性，让学生自主探究也是新课标所倡导的.

【复习建议】

1、在复习中注重分析方法的培养，既能对已知条件能够展开丰富的联想，又能反推解决目标问题所需的条件.多注重与学生思维分析上交流的，抓住问题的“思考点”.学好图形相似和全等是掌握平行四边形、圆知识的关键.

2、在复习相似这一单元的计算题方面，要善于利用相似三角形的相关知识建立方程.通过方程将某些几何问题转化为代数问题来解答.

3、在复习相似与全等这一单元的证明题方面，要突出转化的数学思想，通过转化寻找量和量之间的关系，关系在于运动.

4、相似与全等的复习中要进行变式（图）训练，例如改变问题设问的方式，猜想在什么条件下，可以得出结论.或者在已有的条件下猜想可以获得怎样的结论？

可以改变原图形的构造，生产出新的状态下的图形，再问原来的结论还成立吗？

并说明理由.这样将一个静态的几何问题演变为一个动态的几何问题.

5、加强图形相似和全等之间的联系，并关注相似与其他知识的联系.例如联系平行四边形、圆的有关内容，联系求动点在运动过程中生成函数图象的问题（综合题），联系河的宽度，塔的高度测量等实际问题.

企业管理使企业的运作效率大大增强；让企业有明确的发展方向；使每个员工都充分发挥他们的潜能；向顾客提供满意的产品和服务；树立企业形象。

管理就是效益。

企业管理能增强企业竞争力。

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1，企业管理可以增强企业的运作效率；

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