北京市石景山一模及答案.docx
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北京市石景山一模及答案
2020年石景山区高三统一测试一模
数学
本试卷共6页,满分为150分,考试时间为120分钟.请务必将答案答在答题卡上,
在试卷上作答无效,考试结束后上交答题卡.
第一部分(选择题共40分)
、选择题共10小题,每小题4分,共40分•在每小题列出的四个选项中,选出符合题
目要求的一项.
1.
设集合P{1,2,3,4},Q{x||x|3,xR},贝UPQ等于
对应的复数是
方案有()种
粗线表示一正方体被某平面截得的几
何体的三视图,则该几何体的体积为
A.2B.4C.5D.8
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
9.
设f(x)是定义在R上的函数,若存在两个不等实数X1,X2
具有性质P的函数的个数为
第二部分(非选择题共110分)
、填空题共5小题,每小题5分,共25分.
uuv1J3uuvJ31
11.已知向量BA(22),BC(T,2),则ABC
—,则S4
FM的延长线交y轴于
13名一线中小学教师
整数a,b的值依次为
14.已知F是抛物线C:
y24x的焦点,M是C上一点,
点N•若M为FN的中点,贝UFN
15.石景山区为了支援边远山区的教育事业,组织了一支由
三、解答题共6小题,共85分•解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
16.(本小题14分)
如图,在正四棱锥PABCD中,
(I)求证:
BO面PAC;
(n)求二面角APCB的余弦值.
17.(本小题14分)
2020年,北京将实行新的高考方案•新方案规定:
语文、数学和英语是考生的必考科
目,考生还需从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考
科目.若一个学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目,则称该学生的选考方案确
定;否则,称该学生选考方案待确定•例如,学生甲选择物理、化学和生物”三个选考科
目,则学生甲的选考方案确定,物理、化学和生物”为其选考方案.
某校为了解高一年级840名学生选考科目的意向,随机选取60名学生进行了一次调
查,统计选考科目人数如下表:
性别
选考方案确定情况
物理
化学
生物
历史
地理
政治
男生
选考方案确定的有16人
16
16
8
4
2
2
选考方案待确定的有12人
8
6
0
2
0
0
女生
选考方案确定的有20人
6
10
20
16
2
6
选考方案待确定的有12人
2
8
10
0
0
2
(I)估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有多少人?
(n)从选考方案确定的
16名男生中随机选出2名,求恰好有一人选物理、化学、生物
的概率;
(川)从选考方案确定的
16名男生中随机选出2名,
0
设随机变量
1
两名男生选考方案不同
,求的分布列和期望•两名男生选考万案相同
18.(本小题14分)
已知锐角△ABC,同时满足下列四个条件中的三个:
p1
①A=②a=13③c=15④sinC二一
33
(I)请指出这三个条件,并说明理由;(n)求厶ABC的面积•
19.
(本小题15分)
(I)求椭圆C的方程;
(n)证明:
直线0M的斜率与I的斜率的乘积为定值;
(川)延长线段OM与椭圆C交于点P,若四边形OAPB为平行四边形,求此时直线l的
斜率.
20.(本小题14分)
已知函数f(x)x2(x0),g(x)alnx(a0).
(i)若f(x)g(x)恒成立,求实数a的取值范围;
(n)当a1时,过f(x)上一点(1,1)作g(x)的切线,判断:
可以作出多少条切线,
并说明理由.
21.(本小题14分)
有限个元素组成的集合A{31,32,,an},nN*,记集合A中的元素个数为
card(A),即card(A)n.定义AA{xy|xA,yA},集合AA中的元素个数记为card(A+A),当card(A+A)二n(n1时,称集合A具有性质P.
2
(I)A{1,4,7},B{2,4,8},判断集合A,B是否具有性质p,并说明理由;
(n)设集合A{a1,a2,a3,2020},a1a2a32020且aiN*(i1,2,3),若集
合A具有性质P,求a1a2a3的最大值;
(川)设集合A{a1,a2,,an},其中数列{a.}为等比数列,ai0(i1,2,,n)且公
比为有理数,判断集合集合A是否具有性质P并说明理由
数学试卷答案及评分参考
、选择题:
本大题共10个小题,每小题4分,共40分.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
D
A
A
B
D
C
C
B
、填空题:
本大题共5个小题,每小题5分,共25分.
11.―;12.15;13.2,-1;答案不唯一
6
14.3;15.小学中级.
三、解答题:
本大题共6个小题,共85分•解答题应写出文字说明,证明过程或演算步
骤.
16.(本小题14分)
(I)证明:
联结PO.
在正四棱锥PABCD中,
PO底面ABCD.
因为BO平面ABCD
所以POBO•分
在正方形ABCD中BOAC
又因为POIACO,
所以BO面PAC•6
(n)解:
由(i)知,PO,AO,BO两两垂直,
以O为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系分
在正方形ABCD中,因为AB22,
所以AO2•
又因为PB22
所以PO2•
所以点P的坐标为P(0,0,2),点C的坐标为C(2,0,0),
点B的坐标为B(0,2,0)•分
uururn
则PC(2,0,2),CB(2,2,0)•6
(i)知,BO平面
令y1,则
17.(本小题14分)
8+20=28人…1分
解:
(I)由数据知,60人中选考方案确定的学生中选考生物的学生有
所以该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有
840垄392人
60
(n)选考方案确定且为物理,化学,生物”的男生共有8人。
设恰好有一人选物理、化学、生物”为事件A
(A)c8c88p(A)疋15
(川)由数据可知,选考方案确定的男生中有8人选择物理、化学和生物;有4人选择物
理、化学和历史;有2人选择物理、化学和地理;有2人选择物理、化学和政
治.……9
分
的可能取值为0,1.
所以的分布列为:
0
1
P
7
3
10
10
P
(1)
18.(本小题14分)
解:
(I)△ABC同时满足①,②,③.分
理由如下:
若厶ABC同时满足①,④,则在锐角△ABC中,
11
sinC,所以0 326 又因为A-,所以一vA+C- 332 2 所以△ABC不能同时满足①,④,分 所以AABC同时满足②,③.分 因为ca所以CA若满足④ 所以B-,这与AABC是锐角三角形矛盾, 则ac舌,则B? 这与△abc是锐角三角形矛盾 故厶ABC不满足④. 故厶ABC满足①,②,③. (H)因为a2b2c22bccosA, 所以132b2152b15-. 2 解得b8或b7. 所以C为钝角,与题意不符合,所以b8. 所以△ABC的面积S-bcsinA30.3. 2 19.(本小题15分) 分 ••分 …分 解: (I)由已知c1,ec—, a2 又a2b2c2,解得a■2,b1 2 X2 所以椭圆方程为y1. 2 (n)设直线l的方程为yk(x1)(k0) 2 x2彳y1 联立2消去y得 yk(x1)(k0) (2k21)x24k2x2k220,不妨设A(x,yJ月区,y? )……7分 则x1x2 4k2 2k21 因为M为线段AB的中点 所以xm X1X2 2 2k2 2k21 yM 1) k 2k21 所以kOM yM XM 2k 所以kOM 1k 2k (川)若四边形 ULU OAPB为平行四边形,则OA UJU OB ujur OP 92 所以xP为x2 4k2 2k21 ypyiy2«为1)k(x21)k(% x22) 2k 2k2 93 因为点P在椭圆上,所以(丄42s)22 2k21 1 解得k2—即k 22 20. (本小题14分) 所以h(x)=2x- x 22 2xa 令…2x2a2 令h(x)= 当x变化时,h(x),h(x)的变化情况如下表: h(x) — 0 + h(x) 减 极小值 增 令瓜需)0解得0a2e. (n)可作出2条切线. 整理得x01nx。 2x0 m(x)lnx1,令m(x)Inx10解得xe.分 当x变化时,m(x),m(x)的变化情况如下表: x (0,e) e (e,) m(x) — 0 + m(x) 减 极小值 增 所以m(x)在(0,e)上单调递减,在(e,)上单调递增 11124 且m(—^)~2In221—10 eeeee m(e)eIne2e1e10 m(e2)e2Ine22e2110分 1 所以m(x)在G,e)和(e,e2)上各有一个零点,即xlnx2x10有两个不同的解 e 所以过点(1,1)可作出yInx的2条切线. 21.(本小题14分) 解: (I)集合A不具有性质P,集合B具有性质P. AA{2,5,8,11,14},card(A+A)=5笃。 不具有性质P; BB{4,6,8,10,12,16},card(B+B)=6驾①,具有性质P.分 (n)若三个数a,b,c成等差数列,则A{a,b,c}不具有性质p,理由是ac2b. 因为a1a2a32020且aiN*(i1,2,3)所以a32019, 要使a1a2a3取最大,则a32019; a22018,易知{2018,2019,2020}不具有性质P,要使a1a? a3取最大, 则a22017; a12016,要使a1a? a3取最大,检验可得a12013; (a1a2a3)max6049 (川)集合A具有性质P. 设等比数列的公比为为q,所以anaen1(a10)且q为有理数, jikili qqq1分0 m* 因为q为有理数,设q(m,nN)且(m,n互质),因此有 n (巴)ji(-)ki(-)li1即mjimkinjkm1inj1nji (1), nnn (1)式左边是m的倍数,右边是n的倍数,又m,n互质, 显然aiajakai不成立.……12 分 所以card(AA)C: c2凹»,所以集合A具有性质P.……1分 2
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