汇率和利率共同变化的仿射模式.docx
- 文档编号:23795452
- 上传时间:2023-05-20
- 格式:DOCX
- 页数:26
- 大小:37.73KB
汇率和利率共同变化的仿射模式.docx
《汇率和利率共同变化的仿射模式.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《汇率和利率共同变化的仿射模式.docx(26页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
汇率和利率共同变化的仿射模式
汇率共同变化的仿射模式
摘要
本文利用仿射期限结构模式来描述汇率和利率的共同变化趋势。
汇率波动性小,利率波动性大,本文还特别解决了如何使二者的变化趋势达到一致的问题。
利用不完全市场的方法,汇率的波动和利率和定价机制都是不相关的,所以在仿射结构中,这种方法使不可实行的。
卡尔曼为6对国家建立了最大五系数模式,通过过滤估算,提出并证明了本文中的模式。
在这个模式中,汇率的高度波动和利率有关,但是和定价机制无关。
一,引言
Biger、Hull(1983)和GarmanandKohlhagen(1983)首先把汇率的变化设定为扩散过程建模。
他们利用几何布朗运动描述汇率和利率固定的变化模式。
随着更好的利率模式应运而生,更多的工作放在了延伸这些模式上,目的是也能描述汇率的变化趋势。
比如,Amin和Jarrow(1991)调整了Heath-Jarrow-Morton(1992)预期利率模式,用来描述汇率的变化趋势。
之后,Nielsen、Sa`a-Requejo(1993)和Sa`a-Requejo(1994)总结了Cox-Ingersoll-Ross(1985)模式,将其至于多个货币的环境中。
最近描述汇率和利率共同变化的模式是Bakshi和Chen(1997)提出的。
他们使用了总平衡方法。
Brandt和Santa-Clara(2002)提出了不完全市场的方法框架。
最近,最常被使用的利率模式就是Duffie-Kan的仿射期限结构模式的子模式或变型。
本文将研究如何扩展仿射期限结构模式,来描述汇率和利率的共同变化趋势。
人们都知道,汇率的波动范围比利率的波动要大得多。
这就需要在不违反涉及到汇率、定价规则和利率的基本定价公式的前提下,提出把汇率从利率中部分分离开来的模式。
一种分离的方法就是不完全市场方法。
在这种方法中,汇率的波动趋势和利率以及定价原则都是有关的。
在本文中,这种方法在仿射框架下并不可行。
本文提出了一种不同的方法。
按照这种方法,汇率的高波动趋势和利率有关,和定价原则无关。
这些理论上的讨论都包括在本文的第二部分。
Dai和Singleton(2000)根据直接引起所有N个状态变量条件变化的状态变量的数目,把N-因数(因素)仿射期限结构模式素归类于N+1的子模式中。
例如,在N-因数模式中,n个状态变量能引起条件变化。
这些模式都属于被称为An(N)的子模式。
在这些子模式中,有一个包括其他模式的最大模式。
为了证明本文提出的方法,在第三部分中,对六对国家采用最大An(5)仿射模式。
在对每对国家最适用的模式中,汇率的高波动趋势和利率有关,而和定价准则无关,这不是事先推出来的。
选取模式的结果也给解决共同因素和局部因素(见Ahn(2004)、Mosburger和Schneider(2005))的问题带来了启示。
二,理论
2.1基本定价公式
我们首先要回顾包括汇率、定价准则和利率的基本定价公式。
公式使用离散时间算法Duffie(2001)提供给我们更多的资产定价变化的离散时间算法。
为了简化标记,我们讨论的两组国家被称为:
国内和国外。
我们认定M来代表国内定价核(也被称为国家价格紧缩指数、国家定价核、随即折扣系数或者国家价格密度),M∗来代表国外定价核;rt代表从时间t到时间t+1期间内的国内短期利率,r∗t代表国外短期利率;S代表汇率,被定义为单位外国货币按照本国货币换算的价格,而s代表S的自然对数。
在两个国家里,基本定价公式为
(1)
单位国内货币在时间t被投资到一个国内附息账户中,在时间t+1变为ert。
经发现,时间t+1收在时间t益在时间t的价格ert的定价是用国内的定价核Et[(Mt+1/Mt)ert]得出的。
另一方面,在时间t+1的ert来自于时间t的单位国内货币,因此时间t的价格是1。
这也就解释了公式
(1)的左边。
同样,公式
(1)的右边也可以利用外国货币解释。
在各国之间,Backus、Foresi和Telmer(2001)显示需要满足下面这个公式:
(2)
一个国内投资者在时间t把单位国内货币以汇率St换成国外货币,并把钱存到一个国外附息账户中,最后以汇率St+1在时间t+1把钱再换成国内货币,所以最终在时间t+1持有(St+1/St)er∗t个单位国内货币。
通过推出公式
(1)类似的方法就能推出公式
(2)的左边。
公式
(2)也是用类似的方法推出的,也就是设定一个外国投资者从单位外国货币开始投资。
定价公式
(1)把利率和定价核联系在了一起。
公式
(2)把汇率和定价核以及利率都联系在一起。
关键的问题就是,如何规定汇率的变化,才能满足公式
(2)?
给出公式
(1),满足公式
(2)的一个充分不必要的条件就是
(3)
因此,根据公式(3)确定S就回答了之前提出的问题。
这些是具体确定汇率的方法吗?
因为公式(3)是公式
(2)的充分不必要条件,所以可以找到满足公式
(2)但不满足公式(3)的S。
那么根据公式(3)和不根据公式(3)的这两种方法,应该采用哪一个呢?
还是两种方法都是可行的?
我们将会在以下两小分中解决这些问题。
2.2汇率和利率的变化趋势
Backus等人(2001)研究了涉及汇率的仿射模式的两个特别案例。
在两个案例中,汇率都是通过公式(3)具体确定的。
他们的模式很难说明汇率和利率的经验变化特征。
他们在论文297页进行的讨论显示了他们面对的困难是因为比起利率来,汇率的波动的幅度更大。
公式
(1)把利率和定价核联系起来;反过来,公式(3)用严格的计算方式把定价核和汇率联系起来。
所以在这些模式中,通过公式
(1)和公式(3)把汇率和利率紧密的联系起来就解释了为什么这些模式很难协调波动幅度大的汇率和波动幅度小的利率。
换言之,如果在这些模式中,汇率和利率相关联,那么二者的波动幅度要么都大,要么都小。
这些分析似乎表明,具体确定汇率使用的计算步骤要满足公式
(2),但不满足公式(3)。
这样就考虑到了一个事实,就是按照经验,汇率的波动范围比利率的波动范围要大。
Brandt和Santa-Clara(2002)提出了不完全市场法。
按照标记的习惯,Mt一般是用在离散时间中,而函数的自变量,比如M(t)都是用在连续时间的情况下。
按照这种标记的习惯,Brandt和Santa-Clara在论文176页的函数(24)把汇率定为:
S(t)=
在这个函数中,O(t)是和M(t)、M∗(t)以及“所有的国内资产和国外资产”都相关的鞅。
公式(3)连续时间的形式会把汇率定为S(t)=M∗(t)/M(t)。
额外的引入O(t)计算步骤的结果就是,汇率的确定就不是根据公式(3)了,这在一定程度上把汇率的计算步骤从利率的计算步骤脱离开来。
因此,该模式能够兼容波动幅度大的汇率和波动幅度小的利率。
然而,对于一个外国人而言,同样的汇率被表示为单位国内货币比对应的若干单位外国货币:
1/S(t)=
按照同样的推理,1/(O(t))也应该是满足类似相关条件的鞅。
特殊情况除外,一般而言,O(t)是鞅,1/(O(t))也是鞅。
这些困难是针对Brandt和Santa-Clara模式的计算吗,还是针对所有按照公式
(2)而不是公式(3)计算汇率的方法?
我们就会在仿射结构下,回答这个问题。
2.3汇率变化的限制因素
在继续论述之前,我们首先要明确“在仿射条件内”的意思。
对于单个国家的利率期限结构模式,“在仿射条件内”的意思非常简单。
根据Duffie和Kan(1996),N个状态变量(有时也被成为系数)的矢量X根据风险中性条件下的仿射扩散改变,短期利率r是状态变量的放射函数。
Dai和Singleton(2000)为了保证接纳度和识别度,给参数设定了条件。
扩展以上的框架,把汇率包括在内的最简单的方法就是把汇率st也确定为是状态变量的放射函数:
(4)
在这个公式中,a是一个标量,b是常系数的一个N-矢量。
按照这种方法,用于债券和衍生产品定价的仿射期限结构模式也能对汇率进行易处理的解析。
而且这也是一个基本的要求,因为如果st不再是状态变量的放射函数的话,那么所处的条件也就不是仿射条件了。
在这个延伸的模式中,规定状态常量变化趋势的法则和单个国家的模式相同;在每个国家中,短期利率依旧是状态常量的放射函数;对其中一个国家的状态常量变化和短期利率,Dai和Singleton(2000)所设的参数限制也没有改变。
而且在具体确定其他国的短期利率和汇率时,也没有对增加的参数设定限制条件。
换言之,我们采用了典型的Dai和Singleton单个国家模式和他们对参数设定的限制条件,然后增加了每个其他国家短期利率的仿射函数1和对数汇率的仿射函数过程。
在这些增加的仿射函数中,我们没有给参数设定新的限制条件。
我们继续称这些扩展模式为标准模式。
显然,保持状态常量状态常量动态和参数的限制条件不变的情况下,Dai和Singleton(2000)在单个国家条件下的可采纳性,放到多个国家的条件下仍然可以保持。
然而,我们需要确认扩展的模式,在没有对额外的参数设定任何限制条件的情况下,仍然具有可鉴别性。
因此,我们需要显示在扩展的模式中至少存在一个估算过程,使所有参数都具有可鉴别性。
这个估算过程是通过遵循扩展过程的步骤被发现的。
在进行扩展之前,Dai和Singleton保证了单个国家典型仿射期限结构模式的鉴别性。
所以我们可以首先估算出单个模式。
同时能估算出状态变量的时间数列。
在扩展到多个国家的时候,对于每个增加的国家,需要把短期利率归位到现有的状态变量中,来估算这个国家短期利率的状态变量仿射函数的参数。
公式(4)中的参数也是通过回归得出的。
风险的市场价格参数可以通过利用这个模式定价附息票债券,交换附息票率以及实现定价错误最小化。
虽然这个估算步骤不是最好的可行方法(比如,状态常量动态仅仅建立在一个国家的期限结构上,而不是按照理想中的所有国家的所有汇率和期限结构),但这是一个有效的步骤,使用了所有的数据,而且这个估算步骤确认了该扩展模式的所有参数。
因此,我们给扩展典型模式参数增加的条件已经足以认证和确定这些多国家模式了。
像公式(4)确定对数汇率是很具有概括性的。
要确定对数汇率,只需要回顾到,在整个单个国家仿射期限结构模式中,短期利率被定为状态变量的一个仿射函数,和公式(4)完全一样。
如果这样的规范可以可在仿射期限结构模式中,描述短期利率所有不同的变化,那这就肯定能包容一系列汇率的变化趋势。
按照常识,以往文献中所有的汇率模式都不能按照这种方式确定汇率的变化。
相反,现有的模式把公式(3)作为确定汇率的起点。
一些模式把汇率确定为公式(3)本身(比如Backus等人(2001))。
有些把汇率当做有附加条件的公式(3)(比如Brandt和Santa-Clara(2002))。
在某些情况下,这并不令人惊奇。
所有汇率和利率动态必须遵循基本的定价公式
(1)和公式
(2)。
确定汇率时把公式(3)为起点,证实动态变化满足公式
(1)和公式
(2)就更加容易了。
这就给具体确定提出了一个问题:
即为了满足公式
(1)和公式
(2),在确认过程中如何在汇率和公式(3)之间建立联系。
为了回答这个问题,我们首先要建立某一国内资产,根据公式
(1)的左边,其在时间t的价格为1。
用公式
(2)的右边给该资产定价给这个仿射模式参数设定了一些限制条件。
同样,我们也能建立一个国外资产,根据公式
(1)的右边,其在时间t的价格为1。
用公式
(2)的左边给该资产定价给这个仿射模式参数设定了其他一些限制条件。
把两组限制条件进行比较,考虑模式参数的限制后,我们得出的结论就是在扩展的典型仿射模型中,所有的汇率变化动态必须满足公式(3)。
换言之,在任何一个典型仿射模型中,按照公式(4)的步骤确定汇率也要符合公式(3)。
这个结果在命题1中被概括,在附录的离散放射模型中得以证明。
在这里,我们使用离散仿射模式而不是持续时间仿射模式,因为前者易于进行好处理的解析。
无论如何,在离散时间中得到的见解同时也适用于持续时间的背景。
命题1.所有的汇率和利率典型仿射模型必须符合公式(3)。
命题1的中重心重新放到了根据公式(3)确定汇率的模式。
为了按照经验进行确认,我们需要找到一种方法能把汇率的计算步骤从利率的计算步骤中部分分离出来。
方法就是部分破坏公式
(1)中利率和定价核的联系,因而把利率和汇率从一定程度上分开,虽然通过公式(3)汇率和定价核之间存在着紧密的联系。
我们采用的方法就是引入影响定价核,但不影响利率的系数。
在仿射模式中,短期利率被定为状态常量的仿射函数。
在下一个小部分中,我们将介绍更多的细节。
定价核的波动由状态变量的另一套放射函数决定。
如果我们把利率仿射函数中的一些系数设设定为0,才有可能使一些状态变量决定定价核的动态,从而决定汇率的动态。
但是这不能直接决定短期利率的动态。
因此,这些决定汇率,但不决定利率的状态变量被称为“额外”变量。
一旦汇率和利率的变化能够通过这些状态变量部分分离的话,在这个模式中的汇率变化幅度就能够比利率的要高了。
换言之,这些状态变量能够使汇率的额外变化幅度和利率相关,但是和定价核不相关。
2.4典型模式确定
我们进行的探讨需要我们考虑的模式,一方面要符合公式(3),一方面要有汇率动态的“额外”的状态常量。
因为这些模式符合公式
(1)和公式
(2),所以我们把这些模式也称为典型模式。
然后在持续时间条件下,我们在这个部分的结尾提出典型模式的确定理论。
在最广泛的单个国家仿射模式下,存在与之对应的鞅计量法。
状态变量X(t)的矢量要经过仿射扩散的过程
dX(t)=μ(X(t),t)dt+σ(X(t),t)dB(t),
在本式中,矢量μ(X(t),t)和矩阵(σ(X(t),t)的要素是状态变量X(t)的仿射函数(见Duffie(2001)文章的第七章),是标准的布朗运动过程。
对应的鞅计量的Duffie((2001),Sec.6F),经过
(5)dξ(t)=−ξ(t)η(t)dB(t),
在本式中,是风险过程η(t)的市场价格。
根据Duffie((2001),Sec.6F)的观点,对应的鞅计量的密度过程ξ(t)和定价核M(t)的关系是
(6)
在超过一个国的情况下,通过公式(5)和公式(6),可以看出国家i的定价核M(t)是
(7)
在本式中,风险过程的市场价格η(i)(t)被定义为
(8)
λ(i)是常量的N-矢量
确定η(i)(t)后,在实际的可能计量中,状态变量X(t)的变化过程是
(9)
在本式中,Σ(t)是的对角线矩阵,符合
(10)
对于国家i,其短期利率是
(11)
在本式中,是常量,一些可以是0s。
而且在公式(11)中,和“额外”的状态变量对应的都是0,所以这些状态常量不能直接输入利率动态。
然而,在公式(10)中,“额外”的状态变量可以通过系数导致定价核和汇率的变化。
汇率S(ij)被定义为1单位货币i价格比货币j的单位数,通过公式(4)获得。
也就是说,使用s(ij)来表示S(ij)的对数,我们使用
(12)s(ij)(t)=a(ij)+b(ij)TX(t),
在本式中,a(ij)是一个标量,b(ij)是常系数的N-矢量。
就像在上个部分中介绍的那样,我们把Dai和Singleton(2000)提出的条件加到和公式(9)中系数gij、N×N矩阵Ψ和N-矢量¯X相关的参数上。
我们也把Dai和Singleton(2000)提出的限制条件加到公式(11)其中一个国家ρs上,也就是说,像第一个国家的ρ10,ρ11,ρ12,...,ρ1N。
在时,对参数而言,我们不会给公式(11)其他国家的利率参数增加任何限制条件。
在公式(12)中,我们不给参数a(ij)、b(ij)设置任何限制条件。
三,经验分析
以上提出的理论结构显示,汇率和利率共同变化的仿射模式需要有“额外”的状态变量,这些变量能够引起汇率的变化,但是不会引起利率的变化。
一个用经验来验证这些理论想法的方法就是表明,这些有“额外”的状态变量的模式比那些没有的有更好的观察数据。
然而,鉴于没有“额外”状态变量的模式表现十分糟糕,有一些改善也是不足为奇的。
一个相关的,但是更加有趣和有挑战性的问题是:
如果我们不把公式(11)任何的ρs设定为0,不按照经验设定任何一个“额外”的状态变量,那么最佳的模式是否能够有这些“额外”的状态变量?
对单个国家仿射期限结构模式的经验分析一般使用三个状态常量。
Mosburger和Schneider(2005)表示,对于两个国家仿射期限结构模式,对于2期限结构,三个状态变量就足够了。
尤其是根据英国-美国的数据,他们发现所有三个状态变量是两个国家的公共系数,而不是其中一个国家的局部系数。
这从一定程度上,解释了为什么三个系数就足够了。
考虑到这些结果的同时,要有一定的灵活性。
我们决定使用5-系数的典型仿射模式,或者是Dai和Singleton所说的An(5),来形容汇率和利率的变化趋势。
他们系统的研究了一个国家期限结构An(3)模式。
按照我们的常识,没有研究是针对An(5)的。
因此,成功使用这些An(5)模式,并且研究这些模式的实用性本身是很有意思的。
很多作者都使用了卡尔曼过滤法来估算期期限结构模式((Babbs和Nowman(1999)、Duan和Simonato(1999)、Duffee(1999)、DeJong(2000)、Dewachter和Maes(2001),Chen和Scott(2003)等人)。
研究显示,这个方法有好的小样本特性(Duffee和Stanton(2004))。
因为我们在公式(4)中把汇率表达为状态变量的仿射函数,和在仿射期限结构模式中表达短期利率和解决附息票债券零收益的方法相似,所以现有的卡尔曼过滤法中的拟最大可能值估算,能够用于一个国家期限结构模式,也就可以不作任何修改,就用到共同动态模式中。
除了要考虑到对角协方差矩阵的测量错误,为了减少需要估算的参数数目,Brennan和夏(2003)以及唐和夏(2007)要么认定所有的变化都是一定的,要么认定变化都和到期呈反相关,继续在整个测量错误协方差矩阵中使用参数1。
在确认变化时,我们更加灵活地使用类似的方法。
我们把利率到期分为互不重叠的三组:
短期、中期和长期。
一年内(包括一年)为短期,一年到十年(包括十年)为中期。
我们认定在每个期限范围内,测量错误的变化都是一定的,这样就给不同期限分组留下变化的空间。
我们用ωs、ωm、和ωl来表示短期、中期和长期测量错误的标准偏差。
此外,汇率的测量错误的标准偏差用ωe来表示。
3.1数据
所有的汇率和利率的数据都是从数据流中下载的。
在本研究中涉及的国家包括美国、英国、德国和日本。
数据来源于从1998年5月1日到2005年8月5号的,涉及的内容是1-、2-、3-、4-、5-、6-、7-、8-、9-、10-、11-和12-月的伦敦银行同业拆放率和2-、4-、6-、8-、10-、12-、15-、20-、25-和30-年的传统固定到浮动到利率交换息票率。
无法获得1998年5月1日之前的一些时间段的数据。
所以对所有的期限,从每个周三算起来建立一个星期的数据
我们使用1-、2-、4-、6-、8-、10-和12-月的伦敦银行同业拆放率和2-、4-、6-、8-、10-、12-、15-、20-、25-和30-年的交换息票率数据进行模型估算。
剩下的每周利率的数据用来测试适用模式的样本外表现检测验证。
我们要强调的是,样本内和样本外数据的跨度是一样的。
因此,样本外的验证能够显示模型在多大程度上符合数据,但并能对该模型预测未来的能力说明什么。
在文献(比如,见唐和夏(2007))中,“样本外”用来描述这种情况,但是这不是一个常用的词条。
因为交换合同签订中对方风险的特别结构,在交换附息率中和毁约相关的部分相对较(Duffie和黄(2007))。
按照文献中的惯例,我们忽略伦敦银行同业拆放率和交换附息率的毁约风险。
因为零付息债权收益在仿射结构中是作为状态变量的放射函数,所以使用卡尔曼过滤法估算这些模式时,很容易处理零付息债权收益。
我们用迭代法来使Nelson-Siegel(1987)的零付息债权收益曲线符合伦敦银行同业拆放率和交换附息率的数据。
3.2估算模型
我们可以从四个国家中,建立六对国家模式。
Dai和Singleton在对一个国家典型仿射期限模式的An(3)组进行经验分析的时候,他们主要研究A1(3)和A2(3)。
忽略A0(3)的原因就是它反映了状态常量的恒久条件变化,这显然是和事实不相符的。
他们不研究A3(3)的原因就是它不能解释状态变量之间的负绝对关联,而他们使用的美国利率数据必然存在这样的负相关。
A0(3)的问题也出现在A0(5)上,而且这和所选的国家数据无关。
然而,A3(3)和A5(5)的问题并不是存在于所有的国家中,因为这些数据中可能不存在负相关。
因此,我们将要对这六对国家的每一组分别使用最大A1(5)、A2(5)、A3(5)、A4(5)和A5(5)模式。
鉴于涉及参数的数目和参数范围内的似然函数面的非平凡形态,即使对只用三个状态变量的模型,最多只能得到似然函数的局部最大值,得不到全球最大值。
对不同的初始参数值进行的初步实验显示优化寻找起点的似然值和结果的最大值之间有正相关的联系。
因而,对每个估算的模型,在适当的参数值范围内,我们随机选取参数的10万点,并且在每一个点赋值似然函数。
拥有最好的似然值的10个点被选作起点,寻找实现似然函数最大值的参数集合。
这个过程中使用的是Nelder-Mead的优化对数。
除非显然不合理,不然十个结果中最好的一个被选作模型参数的估值。
选取最佳起点以及从起点的优化需要操作计算机一天的时间。
鉴于我们要对六对国家的每一组估算五个模型,如果使用一台计算机,那么需要大概一整年的时间。
表一中列出了根据六对国家的A5(5)模型估算出的最大A1(5)模型的对数似然值、赤池信息准则、贝叶斯信息准则和参数数目。
在这些模式中,对数似然值、赤池信息准则和贝叶斯信息准则显示对于六对国家的每组而言,除了日本-美国(这组的最佳模式是最大A2(5)模式),最佳的模型是最大A1(5)模型。
像在引言中说的那样,在An(5)模型中,n值表明状态变量的数目,通过公式(9)中的Σ,这些变量直接导致了自身的条件波动。
因为输入公式(9)的是的平方根,所有建模的过程保证了所有的状态变量都是非负数。
有一个平衡状态:
的值越大,状态变量的条件变化就越丰富,同时模式在确认状态变量的条件相关性的灵活性就越低。
结果表明,在这个平衡状态中,确定条件相关性的灵活性比确定状态变量条件变化的灵活性更重要。
表1
估算模型的比较
六对国家最大A1(5)–A5(5)模型的对数似然值、赤池信息准则、贝叶斯信息准则和参数数目。
对数似然值旁的星号表示对每对国家最适合的模型。
国家的货币按照国际三字母标准标记。
一对国家ninAn(5)对数似然值赤池信息准则贝叶斯信息准则参数数目
马克日元178,057*–155,992–155,75261
马克日元276,280–152,436–152,19262
马克日元373,763–147,400–147,15263
马克日元476,267–152,406–152,15464
马克日元575,957–151,784–151,52865
马克英镑178,843*–157,564–157,32461
马克英镑275,853–151,582–151,33862
马克英镑378,106–
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 汇率 利率 共同 变化 模式