九年级中考一轮复习导学案8课时一元二次方程及应用.docx
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九年级中考一轮复习导学案8课时一元二次方程及应用
第8课时一元二次方程及应用
【基础知识梳理】
一、一元二次方程的定义:
1、一元二次方程:
含有个未知数,并且未知数_的整式方程叫一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式:
其中二次项是一次项是常数项是
注意:
1、在一元二次方程的一般形式要特别注意强调a≠0这一条件
2、将一元二次方程化为一般形式时要按二次项、一次项、常数项排列,并且一般首项为正
二、一元二次方程的常用解法:
1、直接开平方法:
如果ax2=b则x2=,x1=,x2=
2、配方法:
解法步骤:
①、化二次项系数为,即方程两边都二次项的系数
②、移项:
把项移到方程的边
③、配方:
方程两边都加上把左边配成完全平方的形式
④、解方程:
若方程右边是非负数,则可用直接开平方法解方程。
3、公式法:
如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)满足b2-4ac≥0,则一元二次方程的求根公式为
4、因式分解法:
一元二次方程化为一般形式,如果左边分解因式,即产生A×B=0的形式,则可将原方程化为两个方程,即______从而求出方程的两根。
注:
因式分解的方法:
(1)提公因式法
(2)公式法:
①平方差公式:
a²-b²=(a+b)(a-b)
②完全平方公式:
a²+2ab+b²=(a+b)²、a²-2ab+b²=(a-b)²
(3)分组分解法
(4)十字相乘法
注意:
一元二次方程的四种解法应根据方程的特点灵活选用
三、一元二次方程根的判别式:
关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的情况由决定,我们把它叫做一元二次方程根的判别式,一般用符号“Δ”表示
①当时,方程有两个不相等的实数根
②当时,方程看两个相等的实数根
③当时,方程没有实数根
注意:
(1)方程有两个实数根,则△=b2-4ac≥0
(2)在使用根的判别式解决问题时,如果二次项系数中含有字母一定要保证二次项系数不为0
四、一元二次方程根与系数的关系:
关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个根分别为x1,x2
则x1+x2=x1x2=
五、一元二次方程的应用:
解法步骤同一元一次方程一样,仍按照审、设、列、解、验、答六步进行
(实际解题过程中,可以先找等量关系,根据等量关系缺少什么未知数就设什么未知数)
常见题型:
1、增长率问题:
连续两率增长或降低的百分数
2、利润问题:
总利润=×
3、几个图形的面积、体积问题:
按面积的计算公式列方程
注意:
因为通常情况下一元二次方程有两个根,所以解一元二次方程的应用题一定要验根,检验结果是否符合实际问题或是否满足题目中隐含的条件。
【基础诊断】
1、下列方程中,不是一元二次方程的是()
A.2x2+7=0B.2x2+2
x+1=0C.5x2+
+4=0D.3x2+(1+x)
+1=0
2、一元二次方程x2﹣x﹣2=0的解是( )
A.x1=1,x2=2B.x1=1,x2=﹣2C.x1=﹣1,x2=﹣2D.x1=﹣1,x2=2
3、(2014•益阳)一元二次方程x2﹣2x+m=0总有实数根,则m应满足的条件是( )
A.m>1B.m=1C.m<1D.m≤1
4、(2014•威海)方程x2﹣(m+6)+m2=0有两个相等的实数根x1,x2,且满足x1+x2=x1x2,则m的值是()
A.﹣2或3B.3C.﹣2D.﹣3或2
5、(2014四川巴中)某商店准备进一批季节性小家电,单价40元.经市场预测,销售定价为52元时,可售出180个,定价每增加1元,销售量净减少10个;定价每减少1元,销售量净增加10个.因受库存的影响,每批次进货个数不得超过180个,商店若将准备获利2000元,则应进货多少个?
定价为多少元?
【精典例题】
考点一:
一元二次方程的有关概念(意义、一般形式、根的概念等)
例1、(2014•白银)一元二次方程(a+1)x2﹣ax+a2﹣1=0的一个根为0,则a= .
分析:
根据一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义得到a+1≠0且a2﹣1=0,然后解不等式和方程即可得到a的值.
解答:
解:
∵一元二次方程(a+1)x2﹣ax+a2﹣1=0的一个根为0,
∴a+1≠0且a2﹣1=0,∴a=1.故答案为1.
考点二:
一元二次方程的解法
例2、(2014•枣庄)x1、x2是一元二次方程3(x﹣1)2=15的两个解,且x1<x2,下列说法正确的是()
Ax1小于﹣1,x2大于3Bx1小于﹣2,x2大于3
Cx1,x2在﹣1和3之间Dx1,x2都小于3
分析:
本题是解一元二次方程-直接开平方法;估算无理数的大小。
求出两根是解题关键
解答:
∵x1、x2是一元二次方程3(x﹣1)2=15的两个解,且x1<x2,
∴(x﹣1)2=5,∴x﹣1=±
,∴x1=1+
>3,x2=1﹣
<﹣1,故选:
A.
考点三:
根的判别式的运用
例3、(2014•广东揭阳)关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围为( )
A
B
C
D
分析:
先根据判别式的意义得到△=(﹣3)2﹣4m>0,然后解不等式即可。
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2﹣4ac:
当△>0,方程有两个不相等的实数根;当△=0,方程有两个相等的实数根;当△<0,方程没有实数根.
解:
根据题意得△=(﹣3)2﹣4m>0,解得m<故选B
考点四:
根与系数关系
例4、(2014年烟台)关于x的方程x2﹣ax+2a=0的两根的平方和是5,则a的值是( )
A.﹣1或5B.1C.5D.﹣1
分析:
设方程的两根为x1,x2,根据根与系数的关系得到x1+x2=a,x1•x2=2a,由于x12+x22=5,变形得到(x1+x2)2﹣2x1•x2=5,则a2﹣4a﹣5=0,然后解方程,满足△≥0的a的值为所求.本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系:
若方程的两根为x1,x2,则x1+x2=﹣,x1•x2=.也考查了一元二次方程的根的判别式.
解:
设方程的两根为x1,x2,则x1+x2=a,x1•x2=2a,∵x12+x22=5,
∴(x1+x2)2﹣2x1•x2=5,∴a2﹣4a﹣5=0,∴a1=5,a2=﹣1,
∵△=a2﹣8a≥0,∴a=﹣1.故选:
D.
考点五:
一元二次方程的应用
例5、(2014•丽水)如图,某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道,使其中两条与AB平行,另一条与AD平行,其余部分种花草.要使每一块花草的面积都为78m2,那么通道的宽应设计成多少m?
设通道的宽为xm,由题意列得方程.
分析:
设道路的宽为xm,将6块草地平移为一个长方形,长为(30﹣2x)m,宽为(20﹣x)m.根据长方形面积公式即可列方程(30﹣2x)(20﹣x)=6×78.
解答:
解:
设道路的宽为xm,由题意得:
(30﹣2x)(20﹣x)=6×78,
故答案为:
(30﹣2x)(20﹣x)=6×78.
点评:
此题主要考查了一元二次方程的应用,掌握长方形的面积公式,求得6块草地平移为一个长方形的长和宽是解决本题的关键.
例6、(2012•湘潭)如图,某中学准备在校园里利用围墙的一段,再砌三面墙,围成一个矩形花园ABCD(围墙MN最长可利用25m),现在已备足可以砌50m长的墙的材料,试设计一种砌法,使矩形花园的面积为300m2.
分析:
本题考查了一元二次方程的应用.解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件,找出合适的等量关系求解,注意围墙MN最长可利用25m,舍掉不符合题意的数据。
解:
设AB=xm,则BC=(50﹣2x)m.根据题意可得,x(50﹣2x)=300,
解得:
x1=10,x2=15,当x=10,BC=50﹣10﹣10=30>25,故x1=10(不合题意舍去),
答:
可以围成AB的长为15米,BC为20米的矩形.
【自测训练】
A组
一、选择题:
1、(2014•宜宾)若关于x的一元二次方程的两个根为x1=1,x2=2,则这个方程是( )
A.x2+3x﹣2=0B.x2﹣3x+2=0C.x2﹣2x+3=0D.x2+3x+2=0
2、已知
、
是一元二次方程
的两个根,则
等于()
A.
B.
C.1D.4
3、(2014•内江)若关于x的一元二次方程(k﹣1)x2+2x﹣2=0有不相等实数根,则k的取值范围是( )
Ak>Bk≥Ck>且k≠1Dk≥且k≠1
4、下列关于x的方程有实数根的是( )
Ax2﹣x+1=0Bx2+x+1=0C(x﹣1)(x+2)=0D(x﹣1)2+1=0
5、(2014昆明)某果园2011年水果产量为100吨,2013年水果产量为144吨,求该果园水果产量的年平均增长率.设该果园水果产量的年平均增长率为
,则根据题意可列方程为()
A.
B.
C.
D.
二、填空题
1、下列方程是一元二次方程的是_____________(填序号)
①x2+2xy-y2=0②3x+
=0③x2=1④(3+x)2=4⑤
=-9x⑥(x2-3)x+1=x3+3x⑦x2-x+1=x2
2、(2013白银)已知⊙O1与⊙O2的半径分别是方程x2﹣4x+3=0的两根,且O1O2=t+2,若这两个圆相切,则t=.
3、(2014年四川巴中)菱形的两条对角线长分别是方程x2﹣14x+48=0的两实根,则菱形的面积为
4、(2014•德州,第16题4分)方程x2+2kx+k2﹣2k+1=0的两个实数根x1,x2满足x12+x22=4,则k的值为 .
5、(2014•随州)某小区2010年屋顶绿化面积为2000平方米,计划2012年屋顶绿化面积要达到2880平方米.如果每年屋顶绿化面积的增长率相同,那么这个增长率是
三、解答题
1、解方程:
(1)2x2-4x-1=0(配方法)
(2)5x2+2x-1=0(公式法)
2、(2014•扬州)已知关于x的方程(k﹣1)x2﹣(k﹣1)x+=0有两个相等的实数根,求k的值.
3、(2014年广东汕尾)已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0
(1)若该方程的一个根为1,求a的值及该方程的另一根;
(2)求证:
不论a取何实数,该方程都有两个不相等的实数根.
4、(2014•新疆,第19题10分)如图,要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈,用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈,求羊圈的边长AB,BC各为多少米?
【自测训练】
B组
一、选择题
1、(2012•黔西南州)三角形的两边长分别为2和6,第三边是方程x2-10x+21=0的解,则第三边的长为( )
A.7B.3C.7或3D.无法确定
2、(2014•呼和浩特)已知函数y=
的图象在第一象限的一支曲线上有一点A(a,c),点B(b,c+1)在该函数图象的另外一支上,则关于一元二次方ax2+bx+c=0的两根x1,x2判断正确的是( )
Ax1+x2>1,x1•x2>0Bx1+x2<0,x1•x2>0
C0<x1+x2<1,x1•x2>0Dx1+x2与x1•x2的符号都不确定
3、(2014•潍坊)等腰三角形一条边的边长为3,它的另两条边的边长是关于x的一元二次方程x2﹣12x+k=0的两个根,则k的值是( )
A27B36C27或36D18
4、(2014•玉林)x1,x2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣2=0的两个实数根,3、是否存在实数m使
+
=0成立?
则正确的是结论是( )
Am=0时成立Bm=2时成立Cm=0或2时成立D不存在
5、(2014泰安)某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系,每盆植3株时,平均每株盈利4元;若每盆增加1株,平均每株盈利减少0.5元,要使每盆的盈利达到15元,每盆应多植多少株?
设每盆多植x株,则可以列出的方程是( )
A.(3+x)(4﹣0.5x)=15B.(x+3)(4+0.5x)=15
C.(x+4)(3﹣0.5x)=15D.(x+1)(4﹣0.5x)=15
二、填空题
1、若一元二次方程ax2=b(ab>0)的两个根分别是m+1与2m-4,则
=
2、(2014•德州)方程x2+2kx+k2﹣2k+1=0的两个实数根x1,x2满足x12+x22=4,则k的值为 .
3、(2014广州)若关于
的方程
有两个实数根
、
,则
的最小值为___.
4、(2014•兰州)如图,在一块长为22米、宽为17米的矩形地面上,要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条边平行),剩余部分种上草坪,使草坪面积为300平方米.若设道路宽为x米,则根据题意可列出方程为 .
三、解答题
1、(2014自贡)解方程:
3x(x﹣2)=2(2﹣x)(因式分解法)x1=﹣,x2=2.
2、(2014年四川巴中)先化简,再求值:
(
+2﹣x)÷
,
其中x满足x2﹣4x+3=0.
3、(2014•十堰)已知关于x的一元二次方程x2+2(m+1)x+m2﹣1=0.
(1)若方程有实数根,求实数m的取值范围;
(2)若方程两实数根分别为x1,x2,且满足(x1﹣x2)2=16﹣x1x2,求实数m的值.
4、(2014•株洲)已知关于x的一元二次方程(a+c)x2+2bx+(a﹣c)=0,其中a、b、c分别为△ABC三边的长.
(1)如果x=﹣1是方程的根,试判断△ABC的形状,并说明理由;
(2)如果方程有两个相等的实数根,试判断△ABC的形状,并说明理由;
(3)如果△ABC是等边三角形,试求这个一元二次方程的根.
5、(2014•毕节)某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次,第1档次(最低档次)的产品一天能生产95件,每件利润6元.每提高一个档次,每件利润增加2元,但一天产量减少5件.
(1)若生产第x档次的产品一天的总利润为y元(其中x为正整数,且1≤x≤10),求出y关于x的函数关系式;
(2)若生产第x档次的产品一天的总利润为1120元,求该产品的质量档次.
课后反馈
1、关于x的一元二次方程
的一个根为2,则a的值是()
A.1B.
C.
D.
2、6.若
是一元二次方程
的两个根,则
的值是()
A. B.
C.
D.
3、如图所示,某幼儿园有一道长为16米的墙,计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD.求该矩形草坪BC边的长.
4、方程x2﹣2x=0的解为 .
5、已知⊙O1和⊙O2的半径是一元二次方程x2-5x+6=0的两根,若圆心距O1O2=5,则⊙O1和⊙O2的位置关系是( )
A.外离 B.外切 C.相交 D.内切
6、函数y=
与y=x-2图象交点的横坐标分别为a,b,则
的值为__.
7、二次函数的图象如图,对称轴为
.若关于
的一元二次方程
(为实数)在
的范围内有解,则的取值范围是()
A.
B.
C.
D.
参考答案:
【基础诊断】
1、C2、D3、D4、C
5、解:
设每个商品的定价是x元,(x﹣40)[180﹣10(x﹣52)]=2000,解得x1=50,x2=60.x1=50时,进货180﹣10(x﹣52)=200个,不符合题意舍去.答:
当该商品每个单价为60元时,进货100个.
【自测训练】
A组
一、选择题:
1、B2、C3、C4、C5、D
二、填空题1、③④⑤2、2或03、244、15、20%
三、解答题
1、
(1)x1=
x2=
(2)x1=
2、解∵关于x的方程(k﹣1)x2﹣(k﹣1)x+=0有两个相等的实数根,
∴△=0,∴[﹣(k﹣1)]2﹣4(k﹣1)×=0,整理得,k2﹣3k+2=0,
即(k﹣1)(k﹣2)=0,解得:
k=1(不符合一元二次方程定义,舍去)或k=2.
∴k=2.
3、解:
(1)将x=1代入方程x2+ax+a﹣2=0得,1+a+a﹣2=0,解得,a=;
方程为x2+x﹣=0,即2x2+x﹣3=0,设另一根为x1,则x1=﹣,x1=﹣.
(2)∵△=a2﹣4(a﹣2)=a2﹣4a+8=a2﹣4a+4+4=(a﹣2)2+4≥0,
∴不论a取何实数,该方程都有两个不相等的实数根.
4、解:
设AB的长度为x,则BC的长度为(100﹣4x)米.
根据题意得(100﹣4x)x=400,解得x1=20,x2=5.则100﹣4x=20或100﹣4x=80.
∵80>25,∴x2=5舍去.即AB=20,BC=20.
答:
羊圈的边长AB,BC分别是20米、20米
【自测训练】
B组
一、选择题:
1、A2、C3、B4、A5、A
二、填空题:
1、42、13、
4、(22﹣x)(17﹣x)=300
三、解答题
1、x1=﹣,x2=2.
2、解:
原式=﹣
,解方程x2﹣4x+3=0得,x1=1,x2=3.当x=1时,原式无意义;当x=3时,原式=﹣
=﹣.
3、解:
(1)由题意有△=[2(m+1)]2﹣4(m2﹣1)≥0,整理得8m+8≥0,解得m≥﹣1,∴实数m的取值范围是m≥﹣1;
(2)由两根关系,得x1+x2=﹣(2m+1),x1•x2=m2﹣1,(x1﹣x2)2=16﹣x1x2
(x1+x2)2﹣3x1x2﹣16=0,∴[﹣2(m+1)]2﹣3(m2﹣1)﹣16=0,∴m2+8m﹣9=0,解得m=﹣9或m=1∵m≥﹣1∴m=1.
4、解:
(1)△ABC是等腰三角形;
理由:
∵x=﹣1是方程的根,∴(a+c)×(﹣1)2﹣2b+(a﹣c)=0,∴a+c﹣2b+a﹣c=0,
∴a﹣b=0,∴a=b,∴△ABC是等腰三角形;
(2)∵方程有两个相等的实数根,∴(2b)2﹣4(a+c)(a﹣c)=0,∴4b2﹣4a2+4c2=0,
∴a2=b2+c2,∴△ABC是直角三角形;
(3)当△ABC是等边三角形,∴(a+c)x2+2bx+(a﹣c)=0,可整理为:
2ax2+2ax=0,
∴x2+x=0,解得:
x1=0,x2=﹣1.
5、解:
(1)∵第一档次的产品一天能生产95件,每件利润6元,每提高一个档次,每件利润加2元,但一天生产量减少5件.∴第x档次,提高的档次是x﹣1档.
∴y=[6+2(x﹣1)][95﹣5(x﹣1)],即y=﹣10x2+180x+400(其中x是正整数,且1≤x≤10);
(2)由题意可得:
﹣10x2+180x+400=1120,整理得:
x2﹣18x+72=0,解得:
x1=6,x2=12(舍去).答:
该产品的质量档次为第6档.
课后反馈1、D2、B3、解:
设BC边的长为x米,根据题意得
,解得:
,∵20>16,∴
不合题意,舍去,答:
该矩形草坪BC边的长为12米.
4、x1=0,x2=2.5、B6、﹣27、C
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- 九年级 中考 一轮 复习 导学案 课时 一元 二次方程 应用