相交线平行线与平移整合提升密码.docx
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相交线平行线与平移整合提升密码
专训1 几何计数的四种常用方法
名师点金:
1.对于几何中的计数问题,掌握一定的方法能够让我们准确、高效地得出结果,常见的计数方法有:
按顺序计数、按画图计数、按基本图形计数、按从特殊到一般的思想方法计数.
2.计数的原则是不重复、不遗漏.
按顺序计数问题
1.如图,两条直线相交于一点O,则图中共有( )对邻补角.
A.2 B.3 C.4 D.5
(第1题)
(第2题)
2.如图,在同一平面内有A,B,C,D,E五个点,以其中任意两点画直线最多有 条.
按画图计数问题
3.请你画图说明同一平面内的4条直线的位置关系,它们分别有几个交点?
4.平面内有10条直线,无任何三线共点,要使它们恰好有31个交点,请你画出示意图.
按基本图形计数问题
5.如图,一组互相平行的直线有6条,它们和两条平行线a,b都相交,构成若干个“#”形,则此图中共有多少个“#”形?
(第5题)
按从特殊到一般的思想方法计数问题
6.观察如图所示的图形,寻找对顶角(不含平角).
(第6题)
(1)两条直线相交于一点,如图①,共有 对对顶角;
(2)三条直线相交于一点,如图②,共有 对对顶角;
(3)四条直线相交于一点,如图③,共有 对对顶角;
….
(4)根据以上结果探究:
当n条直线相交于一点时,所构成的对顶角有 对;
(5)根据探究结果,求2016条直线相交于一点时,所构成的对顶角的对数.
7.平面内n条直线最多将平面分成多少个部分?
专训2 相交线与平行线中的思想方法
名师点金:
1.本章体现的主要方法有:
基本图形(添加辅助线)法、分离图形法、平移法.
2.几种主要的数学思想:
方程思想、转化思想、数形结合思想、分类讨论思想等.
基本图形(添加辅助线)法
1.已知AB∥CD,探讨图中∠APC与∠PAB、∠PCD的数量关系,并请你说明成立的理由.
(第1题)
分离图形法
2.若平行直线EF,MN与相交直线AB,CD相交成如图所示的图形,则共得出同旁内角多少对?
(第2题)
平移法
3.如图,在水平地面上有几级高度和宽度不均匀的台阶,它们的总宽度是3米,总高度是2米,图中所成角度均为直角,现要在从A到B的台阶上铺上地毯,求地毯的总长度.【导学号:
19752088】
(第3题)
4.如图,某住宅小区内有一长方形地块,想在长方形地块内修筑同样宽的两条小路,余下部分绿化,小路的宽为2m,则绿化的面积为多少?
(第4题)
方程思想
5.如图,由点O引出六条射线OA,OB,OC,OD,OE,OF,且AO⊥OB,OF平分∠BOC,OE平分∠AOD,若∠EOF=170°,求∠COD的度数.
(第5题)
转化思想
6.如图,AB∥CD,∠1=∠B,∠2=∠D,试说明BE⊥DE.
(第6题)
数形结合思想
7.如图,直线AB,CD被EF所截,∠1=∠2,∠CNF+∠BMN=180°.试说明:
AB∥CD,MP∥NQ.
(第7题)
分类讨论思想
8.如图,已知直线l1∥l2,直线l3交l1于C点,交l2于D点,P是线段CD上的一个动点,当P在线段CD上运动时,请你探究∠1,∠2,∠3之间的关系.
(第8题)
专训3 全章热门考点整合应用
名师点金:
本章知识是中考的必考内容,也是后面学习有关几何中计算和证明的基础.其常见的题目涉及角度的计算、垂线段及其应用、平行线的判定和性质,命题形式有填空题、选择题、解答与说理题,题目难度不大.其热门考点可概括为:
五个概念,两个判定,两个性质,两种方法,两种思想.
五个概念
相交线
1.图中的对顶角共有( )
A.1对B.2对C.3对D.4对
(第1题)
(第2题)
2.如图,直线AB与CD相交于点O,EO⊥AB,则∠1与∠2( )
A.是对顶角B.相等C.互余D.互补
3.如图,直线AB,CD相交于点O,OE平分∠AOC,∠COF=35°,∠BOD=60°,求∠EOF的度数.
(第3题)
三线八角
(第4题)
4.如图,如果∠1=40°,∠2=100°,那么∠3的同位角等于 °,∠3的内错角等于 °,∠3的同旁内角等于 °.
5.如图,点E在AB的延长线上,指出下面各组中的两个角是由哪两条直线被哪一条直线所截形成的?
它们是什么角?
(第5题)
(1)∠A和∠D;
(2)∠A和∠CBA;
(3)∠C和∠CBE.
平行线
6.在同一平面内,直线a与b满足下列条件,写出其对应的位置关系.
(1)a与b没有公共点,则a与b ;
(2)a与b有且只有一个公共点,则a与b W.
(第7题)
7.如图,在方格纸中,有两条线段AB,BC.利用方格纸完成以下操作:
(1)过点A作BC的平行线;
(2)过点C作AB的平行线,与
(1)中的平行线交于点D;
(3)过点B作AB的垂线BE.
平 移
8.图中的4个小三角形都是等边三角形,边长为1cm,你能通过平移三角形ABC得到其他三角形吗?
若能,请说出平移的方向和距离.
(第8题)
两个判定
垂 线
9.如图,直线AB,CD相交于点O,OM⊥AB.
(1)若∠1=20°,∠2=20°,则∠DON= 度;
(2)若∠1=∠2,判断ON与CD的位置关系,并说明理由;
(3)若∠1=
∠BOC,求∠AOC和∠MOD的度数.【导学号:
19752089】
(第9题)
平行线
10.如图,已知BE∥DF,∠B=∠D,那么AD与BC有何位置关系?
请说明理由.
(第10题)
11.如图,已知CF⊥AB于点F,ED⊥AB于点D,∠1=∠2,猜想FG和BC的位置关系,并说明理由.
(第11题)
两个性质
垂线段的性质
12.如图,AB是一条河流,要铺设管道将河水引到C,D两个用水点,现有两种铺设管道的方案:
方案一:
分别过点C,D作AB的垂线,垂足分别为点E,F,沿CE,DF铺设管道;
方案二:
连接CD交AB于点P,沿PC,PD铺设管道.
这两种铺设管道的方案哪一种更节省材料?
为什么?
(忽略河流的宽度)
(第12题)
平行线的性质
13.(中考·雅安)如图,已知AB∥CD,直线EF交AB于点E,交CD于点F,且EG平分∠FEB,∠1=50°,则∠2等于( )
A.50°B.60°C.70°D.80°
(第13题)
(第14题)
14.(中考·抚顺)如图,分别过等边三角形ABC的顶点A,B作直线a,b,使a∥b.若∠1=40°,则∠2的度数为 W.
15.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,BC∥AD,那么∠A与∠C,∠B与∠D的大小关系如何?
请说明理由.
(第15题)
两种方法
作辅助线构造“三线八角”
16.如图,∠E=∠B+∠D,猜想AB与CD有怎样的位置关系?
并说明理由.
(第16题)
作辅助线构造“三线平行”
17.如图,已知AB∥CD,试说明∠B+∠D+∠BED=360°.
(第17题)
两种思想
方程思想
18.如图,AB∥CD,∠1∶∠2∶∠3=1∶2∶3,判断BA是否平分∠EBF,并说明理由.
(第18题)
转化思想
19.如图,在五边形ABCDE中,AE∥CD,∠A=107°,∠ABC=121°,求∠C的度数.
(第19题)
答案
1.C 方法规律:
此题是按一定顺序来计数,将满足条件的图形按一定顺序一一列举,并最终求出总对数,此类方法适合于简单的几何图形的计数.
2.10 点拨:
如图,可作直线AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE,共10条.
(第2题)
3.解:
图①有0个交点,图②有1个交点,图③、图④有3个交点,图⑤、图⑥有4个交点,图⑦有5个交点,图⑧有6个交点.
(第3题)
4.解:
如图所示.
(第4题)
5.解:
此题可以按基本图形进行计数,以一个“#”形为基本图形的有5个,以两个“#”形为基本图形的有4个,以三个“#”形为基本图形的有3个,以四个“#”形为基本图形的有2个,以五个“#”形为基本图形的有1个,所以共有5+4+3+2+1=15(个).
6.解:
(1)2
(2)6 (3)12 (4)n(n-1)
(5)当2016条直线相交于一点时,所构成的对顶角的对数为2016×(2016-1)=2016×2015=4062240.
方法规律:
本题运用了从特殊到一般的思想,前三题可以直接数出对顶角的对数.根据前三题中的结果,探究出一般规律,再运用规律来解决最后一个问题.
7.解:
首先画图如下,列表如下:
(第7题)
直线条数
1
2
3
4
…
平面最多被分
成的部分个数
2
4
7
11
…
当n=1时,平面被分成2个部分;
当n=2时,增加2个,最多将平面分成2+2=4(个)部分;
当n=3时,增加3个,最多将平面分成2+2+3=7(个)部分;
当n=4时,增加4个,最多将平面分成2+2+3+4=11(个)部分;…;
所以当n条直线时,最多将平面分成2+2+3+4+…+n=1+1+2+3+4+…+n=1+
=
(个)部分.
(第1题)
1.分析:
要探究三个角的数量关系,可找出联系这三个角的平行线,因此联想到作平行线.
解:
∠APC=∠PAB+∠PCD.
理由如下:
如图,过点P作PE∥AB.
因为AB∥CD,所以PE∥AB∥CD.
所以∠PAB=∠APE,∠PCD=∠CPE(两直线平行,内错角相等).
因为∠APC=∠APE+∠CPE,
所以∠APC=∠PAB+∠PCD(等量代换).
2.解:
如图,将给出的图形分离为8个“三线八角”的基本图形,由每个基本图形都有2对同旁内角,知共有16对同旁内角.
(第2题)
3.解:
由平移的性质可知,地毯的总长度为3+2=5(米).
方法规律:
此题运用了平移法,这些台阶不均匀,无法具体计算每级台阶的宽度和高度,但若把所有台阶的宽平移至BC上,发现总和恰好与BC相等,若把所有台阶的高平移到AC上,发现总和恰好与AC相等.
(第4题)
4.解:
如图,把两条小路平移到长方形地块ABCD的最上边和最左边,则余下部分EFCG是长方形.
因为CF=32-2=30(m),CG=20-2=18(m),所以长方形EFCG的面积=30×18=540(m2).
答:
绿化的面积为540m2.
5.解:
设∠COD=x.因为OF平分∠BOC,OE平分∠AOD,所以∠COF=
∠BOC,∠EOD=
∠AOD.因为∠EOF=x+∠COF+∠EOD=170°,所以∠COF+∠EOD=170°-x.又因为x+2∠COF+2∠EOD+90°=360°,所以x+2(170°-x)+90°=360°,所以x=70°,即∠COD=70°.
方法规律:
有些复杂的求角度的问题用方程思想求解非常简单,注意方程思想的应用.
6.解:
如图,过点E作EF∥AB.
(第6题)
因为AB∥CD,所以EF∥CD.
所以∠DEF=∠D(两直线平行,内错角相等).
又因为∠D=∠2,所以∠DEF=∠2(等量代换).
同理:
由EF∥AB,∠1=∠B,可得∠BEF=∠1.
又因为∠1+∠2+∠BEF+∠DEF=180°(平角的定义),
所以∠1+∠2=∠BEF+∠DEF=∠BED=90°.
所以BE⊥DE.
方法规律:
解该类问题需转化为比较简单、熟悉的几何问题,通过在“拐点”处作平行线为辅助线,把一个大角分成两个角,分别与已知角建立联系,这种转化思想在解题时经常用到.
7.解:
由对顶角相等,得∠CNF=∠END.
又∠CNF+∠BMN=180°,
所以∠END+∠BMN=180°.所以AB∥CD.
因为∠CNF+∠BMN=180°,∠EMB+∠BMN=180°,
所以∠EMB=∠CNF=∠END.又因为∠1=∠2,
所以∠END+∠2=∠EMB+∠1,
即∠ENQ=∠EMP.所以MP∥NQ.
点拨:
平行线的判定是由角与角的数量关系到“形”的判定,而性质则是由“形”到“数”的说理,研究两条直线的垂直或平行的共同点是把研究它们的位置关系转化为研究角和角之间的关系.
8.解:
当点P在C,D之间时,过P点作PE∥AC,则PE∥BD,如图①.
因为PE∥AC,所以∠APE=∠1(两直线平行,内错角相等).
因为PE∥BD,所以∠BPE=∠3(两直线平行,内错角相等).
因为∠2=∠APE+∠BPE,所以∠2=∠1+∠3.
当点P与点C重合时,∠1=0°,如图②.
因为l1∥l2(已知),所以∠2=∠3(两直线平行,内错角相等).
因为∠1=0°,所以∠2=∠1+∠3.
当点P与点D重合时,∠3=0°,如图③.
因为l1∥l2(已知),所以∠2=∠1(两直线平行,内错角相等).
因为∠3=0°,所以∠2=∠1+∠3.
综上所述,当点P在线段CD上运动时,∠1,∠2,∠3之间的关系为∠2=∠1+∠3.
(第8题)
1.B 2.C
3.解:
根据对顶角的性质,得∠AOC=∠BOD=60°.
因为OE平分∠AOC,
所以∠COE=
∠AOC=
×60°=30°,
所以∠EOF=∠EOC+∠COF=30°+35°=65°.
4.80;80;100
5.解:
(1)∠A和∠D是由直线AE,CD被直线AD所截形成的,它们是同旁内角;
(2)∠A和∠CBA是由直线AD,BC被直线AE所截形成的,它们是同旁内角;
(3)∠C和∠CBE是由直线CD,AE被直线BC所截形成的,它们是内错角.
6.
(1)平行
(2)相交
7.解:
如图.
(第7题)
8.解:
将三角形ABC沿着射线AF的方向平移1cm得到三角形FAE;将三角形ABC沿着射线BD的方向平移1cm得到三角形ECD;将三角形ABC平移不能得到三角形AEC.
9.解:
(1)90
(2)ON⊥CD.理由:
因为OM⊥AB,所以∠1+∠AOC=90°.又∠1=∠2,所以∠2+∠AOC=90°,所以∠CON=90°,所以ON⊥CD.
(3)因为∠1=
∠BOC,所以∠BOC=4∠1,即∠BOM=3∠1.因为∠BOM=90°,所以∠1=30°,所以∠AOC=90°-∠1=60°,∠MOD=180°-∠1=150°.
10.解:
AD∥BC.理由:
因为BE∥DF(已知),
所以∠EAG=∠D(两直线平行,内错角相等).
又因为∠B=∠D(已知),所以∠EAG=∠B(等量代换),
所以AD∥BC(同位角相等,两直线平行).
11.解:
FG∥BC.理由如下:
因为CF⊥AB,ED⊥AB,所以CF∥DE,所以∠1=∠BCF.
又因为∠1=∠2,所以∠2=∠BCF.
所以FG∥BC.
12.解:
按方案一铺设管道更节省材料.理由如下:
因为CE⊥AB,DF⊥AB,CD不垂直于AB,
根据“垂线段最短”可知,CE<PC,DF<PD,
所以CE+DF<PC+PD.
所以按方案一铺设管道更节省材料.
13.D 14.80°
15.解:
∠A=∠C,∠B=∠D.理由如下:
因为AB∥CD,BC∥AD,
所以∠B+∠C=180°,∠A+∠B=180°(两直线平行,同旁内角互补).
所以∠A=∠C(同角的补角相等).
同理得∠B=∠D.
16.解:
AB∥CD.理由如下:
如图,过E点作EF∥AB,则∠B=∠BEF.又因为∠BED=∠B+∠D,所以∠BED=∠BEF+∠D,即∠BEF+∠DEF=∠BEF+∠D,所以∠DEF=∠D,所以EF∥CD,所以AB∥CD.
(第16题)
17.解:
方法1:
如图①,过点E作EF∥AB.
因为AB∥CD,EF∥AB,所以EF∥CD,所以∠2+∠D=180°.
因为EF∥AB,所以∠1+∠B=180°.
所以∠1+∠B+∠2+∠D=360°.
所以∠B+∠D+∠BED=360°.
(第17题)
方法2:
如图②,过点E作EF∥AB.因为AB∥CD,EF∥AB,
所以EF∥CD,所以∠2=∠D.
因为EF∥AB,所以∠1=∠B.
因为∠1+∠2+∠BED=360°,
所以∠B+∠D+∠BED=360°.
点拨:
本题还有其他解法,如连接BD、延长DE交AB的延长线于点F等.
18.解:
BA平分∠EBF.理由如下:
因为∠1∶∠2∶∠3=1∶2∶3,
所以可设∠1=k,则∠2=2k,∠3=3k.
因为AB∥CD,所以∠2+∠3=180°,
即2k+3k=180°,解得k=36°.
所以∠1=36°,∠2=72°,则∠ABE=180°-∠2-∠1=72°.
所以∠2=∠ABE,即BA平分∠EBF.
点拨:
当问题中角的数量关系出现倍数、比例时,可根据其数量关系建立方程,通过方程解决问题.
(第19题)
19.解:
如图,过点B作BF∥AE交ED于点F.
因为BF∥AE,∠A=107°,所以∠ABF=180°-107°=73°.
又因为∠ABC=121°,
所以∠FBC=121°-73°=48°.
因为AE∥CD,BF∥AE,所以BF∥CD.
所以∠C=180°-∠FBC=132°.
点拨:
本题通过作辅助线构造基本图形,把问题转化为平行线的性质和判定的问题,从而建立起角之间的关系.
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