届高考文科数学第一轮复习教案第三章 三角函数解三角形.docx
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届高考文科数学第一轮复习教案第三章三角函数解三角形
第三章 三角函数、解三角形
第一节
任意角和弧度制及任意角的三角函数
基础盘查一 角的有关概念
(一)循纲忆知
了解任意角的概念(角的定义、分类、终边相同角).
(二)小题查验
1.判断正误
(1)三角形的内角必是第一、二象限角( )
(2)第一象限角必是锐角( )
(3)不相等的角终边一定不相同( )
(4)若β=α+k·720°(k∈Z),则α和β终边相同( )
答案:
(1)×
(2)× (3)× (4)√
2.(人教A版教材习题改编)3900°是第________象限角,-1000°是第________象限角.
答案:
四 一
3.若α=k·180°+45°(k∈Z),则α在第________象限.
答案:
一、三
基础盘查二 弧度的定义和公式
(一)循纲忆知
了解弧度制的概念,能进行弧度与角度的互化.
(二)小题查验
1.判断正误
(1)终边落在x轴非正半轴上的角可表示为α=2πk+π(k∈Z)( )
(2)一弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小,它是角的一种度量单位( )
答案:
(1)×
(2)√
2.(人教A版教材练习改编)已知半径为120mm的圆上,有一条弧的长是144mm,则该弧所对的圆心角的弧度数为________.
答案:
1.2
基础盘查三 任意角的三角函数
(一)循纲忆知
理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.
(二)小题查验
1.判断正误
(1)三角函数线的长度等于三角函数值( )
(2)三角函数线的方向表示三角函数值的正负( )
(3)点P(tanα,cosα)在第三象限,则角α终边在第二象限( )
(4)α为第一象限角,则sinα+cosα>1( )
答案:
(1)×
(2)√ (3)√ (4)√
2.(人教A版教材练习改编)已知角θ的终边经过点P(-12,5),则cosθ=________,sinθ=________,tanθ=________.
答案:
- -
3.若角α终边上有一点P(x,5),且cosα=(x≠0),则sinα=________.
答案:
(基础送分型考点——自主练透)
[必备知识]
角的概念
(1)分类
(2)终边相同的角:
所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}.
[题组练透]
1.给出下列四个命题:
①-是第二象限角;②是第三象限角;③-400°是第四象限角;④-315°是第一象限角.其中正确的命题有( )
A.1个 B.2个
C.3个D.4个
解析:
选C -是第三象限角,故①错误;=π+,从而是第三象限角,故②正确;-400°=-360°-40°,从而③正确;-315°=-360°+45°,从而④正确.
2.设集合M=,N=,那么( )
A.M=NB.M⊆N
C.N⊆MD.M∩N=∅
解析:
选B 法一:
由于M=={…,-45°,45°,135°,225°,…},
N=={…,-45°,0°,45°,90°,135°,180°,225°,…},显然有M⊆N.
法二:
由于M中,x=·180°+45°=k·90°+45°=45°·(2k+1),2k+1是奇数;而N中,x=·180°+45°=k·45°+45°=(k+1)·45°,k+1是整数,因此必有M⊆N.
3.在-720°~0°范围内所有与45°终边相同的角为________.
解析:
所有与45°有相同终边的角可表示为:
β=45°+k×360°(k∈Z),
则令-720°≤45°+k×360°<0°,
得-765°≤k×360°<-45°,解得-≤k<-,
从而k=-2或k=-1,代入得β=-675°或β=-315°.
答案:
-675°或-315°
[类题通法]
(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角,方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合,然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角.
(2)利用终边相同的角的集合S={β|β=2kπ+α,k∈Z}判断一个角β所在的象限时,只需把这个角写成[0,2π)范围内的一个角α与2π的整数倍的和,然后判断角α的象限.
(题点多变型考点——全面发掘)
[必备知识]
任意角的三角函数
(1)定义:
设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),则sinα=y,cosα=x,tanα=(x≠0).
(2)三角函数值在各象限内符号为正的口诀
一全正,二正弦,三正切,四余弦.
(3)几何表示:
三角函数线可以看作是三角函数的几何表示.正弦线的起点都在x轴上,余弦线的起点都是原点,正切线的起点都是(1,0).
如图中有向线段MP,OM,AT分别叫做角α的正弦线,余弦线和正切线.
[提醒] 三角函数线是有向线段.
[一题多变]
[典型母题]
设角α终边上一点P(-4a,3a)(a<0),求sinα的值.
[解] 设P与原点的距离为r,
∵P(-4a,3a),a<0,
∴r==|5a|=-5a.
∴sinα==-.
[题点发散1] 若本例中“a<0”,改为“a≠0”,求sinα的值.
解:
当a<0时,sinα=-;
当a>0时,r=5a,sinα=.
[题点发散2] 若本例中条件变为:
已知角α的终边在直线3x+4y=0上,求sinα,cosα,tanα的值.
解:
设α终边上任一点为P(-4a,3a),
当a>0时,r=5a,sinα=,cosα=-,tanα=-;
当a<0时,r=-5a,sinα=-,cosα=,tanα=-.
[题点发散3] 若本例中条件变为:
已知角α的终边上一点P(-,m)(m≠0),且sinα=,求cosα,tanα的值.
解:
由题设知x=-,y=m,
∴r2=|OP|2=2+m2(O为原点),r=.
∴sinα===,
∴r==2,
即3+m2=8,解得m=±.
当m=时,r=2,x=-,y=,
∴cosα==-,tanα=-;
当m=-时,r=2,x=-,y=-,
∴cosα==-,tanα=.
[类题通法]
用定义法求三角函数值的两种情况
(1)已知角α终边上一点P的坐标,则可先求出点P到原点的距离r,然后用三角函数的定义求解;
(2)已知角α的终边所在的直线方程,则可先设出终边上一点的坐标,求出此点到原点的距离,然后用三角函数的定义来求解.
(题点多变型考点——全面发掘)
[必备知识]
弧度的定义和公式
(1)定义:
长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角,弧度记作rad.
(2)公式:
①弧度与角度的换算:
360°=2π弧度;180°=π弧度;②弧长公式:
l=|α|r;③扇形面积公式:
S扇形=lr和|α|r2.
[一题多变]
[典型母题]
已知扇形周长为10,面积是4,求扇形的圆心角.
[解] 设圆心角是θ,半径是r,
则⇒(舍),
故扇形圆心角为.
[题点发散1] 去掉本例条件“面积是4”,问当它的半径和圆心角取何值时,才使扇形面积最大?
解:
设圆心角是θ,半径是r,
则2r+rθ=10.
S=θ·r2=r(10-2r)=r(5-r)
=-2+≤,
当且仅当r=时,Smax=,θ=2.
所以当r=,θ=2时,扇形面积最大.
[题点发散2] 若本例中条件变为:
圆弧长度等于该圆内接正方形的边长,则其圆心角的弧度数是________.
解析:
设圆半径为r,则圆内接正方形的对角线长为2r,
∴正方形边长为r,
∴圆心角的弧度数是=.
答案:
[题点发散3] 若本例条件变为:
扇形的圆心角是α=120°,弦长AB=12cm,求弧长l.
解:
设扇形的半径为rcm,如图.
由sin60°=,
得r=4cm,
∴l=|α|·r=×4=πcm.
[类题通法]
应用弧度制解决问题的方法
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时,要注意角的单位必须是弧度.
(2)求扇形面积最大值的问题时,常转化为二次函数的最值问题,利用配方法使问题得到解决.
(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时,要合理地利用圆心角所在的三角形.
一、选择题
1.将表的分针拨快10分钟,则分针旋转过程中形成的角的弧度数是( )
A. B.
C.-D.-
解析:
选C 将表的分针拨快应按顺时针方向旋转,为负角.
故A、B不正确,又因为拨快10分钟,故应转过的角为圆周的.
即为-×2π=-.
2.已知角α的终边经过点(3a-9,a+2),且cosα≤0,sinα>0,则实数a的取值范围是( )
A.(-2,3]B.(-2,3)
C.[-2,3)D.[-2,3]
解析:
选A ∵cosα≤0,sinα>0,
∴角α的终边落在第二象限或y轴的正半轴上.
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