人教版五升六暑期奥数培训讲义.docx
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人教版五升六暑期奥数培训讲义
人教版五升六暑期奥数培训讲义
第1讲小数的巧算与速算
第2讲用等量代换求面积
第3讲数学游戏-----智取火柴
第4讲和差问题
第5讲和倍问题
第6讲差倍问题
第7讲年龄问题
第8讲:
分解质因数
第9讲:
最小公倍数
第10讲还原问题
第11讲周期问题
第12讲鸡兔同笼问题与假设法
第13讲盈亏问题与比较法
(一)
第14讲盈亏问题与比较法
(二)
第15讲逻辑问题
第一讲小数的巧算与速算
【例1】.简算:
(1)
思路导航:
题中,9.9接近10,且6.8和0.68都是有6、8这两个数字。
解法一:
解法二:
=99×0.68+1×0.68=9.9×6.8+0.1×6.8
=(99+1)×0.68=(9.9+0.1)×6.8
=100×0.68=10×6.8
=68=68
想想还有别的解法吗?
同步导练一:
(1)272.4×6.2+2724×0.38
(2)1.25×6.3+37×0.125
(3)7.24×0.1+0.5×72.4+0.049×724
(4)6.49×0.22+258×0.0649+5.3×6.49+64.9×0.19
【例2】:
(2+0.48+0.82)×(0.48+0.82+0.56)-(2+0.48+0.56)×(0.48+0.82)
思路导航:
整个式子是乘积之差的形式,它们构成很有规律,如果把2+0.48+0.82用A表示,把0.48+0.82用B表示,则原式化为A×(B+0.56)-(A+0.56)×B,再利用乘法分配律计算,大大简化了计算过程.
解:
设A=2+0.48+0.82B=0.48+0.82,
原式=A×(B+0.56)-(A+0.56)×B
=A×B+A×0.56-(A×B+0.56×B)
=A×B+A×0.56-A×B-0.56×B
=0.56×(A-B)
=0.56×2
=1.12
同步导练二:
(1)(3.7+4.8+5.9)×(4.8+5.9+7)-(3.7+4.8+5.9+7)×(4.8+5.9)
(2)(4.6+4.8+7.1)×(4.8+7.1+6)-(4.6+4.8+7.1+6)×(4.8+7.1)
【例三】:
计算76.8÷56×14
思路导航:
这道题是乘除同级运算,解答时,利用添括号法则,在“÷”后面添括号,括号里面要变号,“×”变“÷”,“÷”变“×”。
不过,同学们请注意,这种方法只适用于乘、除同级运算。
解:
76.8÷56×14
=76.8÷(56÷14)
=76.8÷4
=19.2
同步导练三:
(1)144÷15.6×13
(2)
(3)
【例四】:
0.999×0.7+0.111×3.7
思路导航:
本类题可以将原式进行合理的等值变形后,再运用适当的方法进行简便运算
=0.111×9×0.7+0.111×3.7
=0.111×6.3+0.111×3.7
=0.111×(6.3+3.7)
=0.111×10
=1.11
同步导练四:
(1)0.999×0.6+0.111×3.6
(2)0.222×0.778+0.444×0.111
(3)0.888×0.9+0.222×6.4(4)0.111×5.5+0.555×0.9
5.下面有两个小数:
a=0.00…0125b=0.00…08
1996个02000个0
试求a+b,a-b,ab,ab.
第2讲用等量代换求面积
一个量可以用它的等量来代替;被减数和减数都增加(或减少)同一个数,它们的差不变。
前者是等量公理,后者是减法的差不变性质。
这两个性质在解几何题时有很重要的作用,它能将求一个图形的面积转化为求另一个图形的面积,或将两个图形的面积差转化为另两个图形的面积差,从而使隐蔽的关系明朗化,找到解题思路。
例1两个相同的直角三角形如下图所示(单位:
厘米)重叠在一起,求阴影部分的面积。
分析与解:
阴影部分是一个高为3厘米的直角梯形,然而它的上底与下底都不知道,因而不能直接求出它的面积。
因为三角形ABC与三角形DEF完全相同,都减去三角形DOC后,根据差不变性质,差应相等,即阴影部分与直角梯形OEFC面积相等,所以求阴影部分的面积就转化为求直角梯形OEFC的面积。
直角梯形OEFC的上底为10-3=7(厘米),面积为(7+10)×2÷2=17(厘米2)。
所以,阴影部分的面积是17厘米2。
例2在右图中,平行四边形ABCD的边BC长10厘米,直角三角形ECB的直角边EC长8厘米。
已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大10厘米2,求平行四边形ABCD的面积。
分析与解:
因为阴影部分比三角形EFG的面积大10厘米2,都加上梯形FGCB后,根据差不变性质,所得的两个新图形的面积差不变,即平行四边行ABCD比直角三角形ECB的面积大10厘米2,所以平行四边形ABCD的面积等于
10×8÷2+10=50(厘米2)。
例3在右图中,AB=8厘米,CD=4厘米,BC=6厘米,三角形AFB比三角形EFD的面积大18厘米2。
求ED的长。
分析与解:
求ED的长,需求出EC的长;求EC的长,需求出直角三角形ECB的面积。
因为三角形AFB比三角形EFD的面积大18厘米2,这两个三角形都加上四边形FDCB后,其差不变,所以梯形ABCD比三角形ECB的面积大18厘米2。
也就是说,只要求出梯形ABCD的面积,就能依次求出三角形ECB的面积和EC的长,从而求出ED的长。
梯形ABCD面积=(8+4)×6÷2=36(厘米2),
三角形ECB面积=36-18=18(厘米2),
EC=18÷6×2=6(厘米),
ED=6-4=2(厘米)。
例4下页上图中,ABCD是7×4的长方形,DEFG是10×2的长方形,求三角形BCO与三角形EFO的面积之差。
分析:
直接求出三角形BCO与三角形EFO的面积之差,不太容易做到。
如果利用差不变性质,将所求面积之差转化为另外两个图形的面积之差,而这两个图形的面积之差容易求出,那么问题就解决了。
解法一:
连结B,E(见左下图)。
三角形BCO与三角形EFO都加上三角形BEO,则原来的问题转化为求三角形BEC与三角形BEF的面积之差。
所求为4×(10-7)÷2-2×(10-7)÷2=3。
解法二:
连结C,F(见右上图)。
三角形BCO与三角形EFO都加上三角形CFO,则原来的问题转化为求三角形BCF与三角形ECF的面积之差。
所求为4×(10-7)÷2-2×(10-7)÷2=3。
解法三:
延长BC交GF于H(见下页左上图)。
三角形BCO与三角形EFO都加上梯形COFH,则原来的问题转化为求三角形BHF与矩形CEFH的面积之差。
所求为(4+2)×(10-7)÷2-2×(10-7)=3。
解法四:
延长AB,FE交于H(见右上图)。
三角形BCO与三角形EFO都加上梯形BHEO,则原来的问题转化为求矩形BHEC与直角三角形BHF的面积之差。
所求为4×(10-7)-(10-7)×(4+2)÷2=3。
例5左下图是由大、小两个正方形组成的,小正方形的边长是4厘米,求三角形ABC的面积
分析与解:
这道题似乎缺少大正方形的边长这个条件,实际上本题的结果与大正方形的边长没关系。
连结AD(见右上图),可以看出,三角形ABD与三角形ACD的底都等于小正方形的边长,高都等于大正方形的边长,所以面积相等。
因为三角形AFD是三角形ABD与三角形ACD的公共部分,所以去掉这个公共部分,根据差不变性质,剩下的两个部分,即三角形ABF与三角形FCD面积仍然相等。
根据等量代换,求三角形ABC的面积等于求三角形BCD的面积,等于4×4÷2=8(厘米2)。
练习:
1.右上图(单位:
厘米)是两个相同的直角梯形重叠在一起,求阴影部分的面积。
2.下页左上图中,矩形ABCD的边AB为4厘米,BC为6厘米,三角形ABF比三角形EDF的面积大9厘米2,求ED的长。
6.右上图中,CA=AB=4厘米,三角形ABE比三角形CDE的面积大2厘米2,求CD的长。
影部分的面积和。
第3讲数学游戏------智取火柴
在数学游戏中有一类取火柴游戏,它有很多种玩法,由于游戏的规则不同,取胜的方法也就不同。
但不论哪种玩法,要想取胜,一定离不开用数学思想去推算。
例1桌子上放着60根火柴,甲、乙二人轮流每次取走1~3根。
规定谁取走最后一根火柴谁获胜。
如果双方都采用最佳方法,甲先取,那么谁将获胜?
例2在例1中将“每次取走1~3根”改为“每次取走1~6根”,其余不变,情形会怎样?
例3将例1中“谁取走最后一根火柴谁获胜”改为“谁取走最后一根火柴谁输”,其余不变,情形又将如何?
有许多游戏虽然不是取火柴的形式,但游戏取胜的方法及分析思路与取火柴游戏完全相同。
例4两人从1开始按自然数顺序轮流依次报数,每人每次只能报1~5个数,谁先报到50谁胜。
你选择先报数还是后报数?
怎样才能获胜?
例5、1111个空格排成一行,最左端空格中放有一枚棋子,甲先乙后轮流向右移动棋子,每次移动1~7格。
规定将棋子移到最后一格者输。
甲为了获胜,第一步必须向右移多少格?
例6今有两堆火柴,一堆35根,另一堆24根。
两人轮流在其中任一堆中拿取,取的根数不限,但不能不取。
规定取得最后一根者为赢。
问:
先取者有何策略能获胜?
请同学们想一想,如果在上面玩法中,两堆火柴数目一开始就相同,例如两堆都是35根火柴,那么先取者还能获胜吗?
例7有3堆火柴,分别有1根、2根与3根火柴。
甲先乙后轮流从任意一堆里取火柴,取的根数不限,规定谁能取到最后一根或最后几根火柴就获胜。
如果采用最佳方法,那么谁将获胜?
练习
1.桌上有30根火柴,两人轮流从中拿取,规定每人每次可取1~3根,且取最后一根者为赢。
问:
先取者如何拿才能保证获胜?
2.有1999个球,甲、乙两人轮流取球,每人每次至少取一个,最多取5个,取到最后一个球的人为输。
如果甲先取,那么谁将获胜?
3.甲、乙二人轮流报数,甲先乙后,每次每人报1~4个数,谁报到第888个数谁胜。
谁将获胜?
怎样获胜?
4.有两堆枚数相等的棋子,甲、乙两人轮流在其中任意一堆里取,取的枚数不限,但不能不取,谁取到最后一枚棋子谁获胜。
如果甲后取,那么他一定能获胜吗?
5.黑板上写着一排相连的自然数1,2,3,…,51。
甲、乙两人轮流划掉连续的3个数。
规定在谁划过之后另一人再也划不成了,谁就算取胜。
问:
甲有必胜的策略吗?
6.有三行棋子,分别有1,2,4枚棋子,两人轮流取,每人每次只能在同一行中至少取走1枚棋子,谁取走最后一枚棋子谁胜。
问:
要想获胜是先取还是后取?
第4讲和差问题
和差问题是已知大小两个数的和与两个数的差,求大小两个数各是多少的应用题。
解答这类应用题通常用假设法,同时结合线段图进行分析。
解题时,我们可以假设小数增加到与大数同样多,先求大数再求小数;也可以假设大数减少到与小数同样多,先求小数再求大数。
我们可以用下面的数量关系式表示:
(和+差)÷2=大数
(和-差)÷2=小数
1.学校合唱团共有72名成员,其中男合唱队员比女合唱队员少6名,合唱团中男、女队员各有多少名?
2.甲乙两校共有学生2346人,如果甲校增加146人,乙校减少
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