学年高中数学 第三章 统计案例单元测评B 新人教A版选修23.docx
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学年高中数学第三章统计案例单元测评B新人教A版选修23
2015-2016学年高中数学第三章统计案例单元测评B新人教A版选修2-3
(高考体验卷)
(时间:
90分钟 满分:
100分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(2014重庆高
考)已知变量x与y正相关,且由观测数据算得样本平均数=3,=3.5,则由该观测数据算得的线性回归方程可能是( )
A.=0.4x+2.3
B.=2x-2.4
C.=-2x+9.5
D.=-0.3x+4.4
解析:
由变量x与y正相关,可知x的系数为正,排除C,D.而所有的回归直线必经过点(),由此排除B,故选A.
答案:
A
2.(2015福建高考)为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系,随机调查了该社区5户家庭,得到如下统计数据表:
收入x(万元)
8.2
8.6
10.0
11.3
11.9
支出y(万元)
6.2
7.5
8.0
8.5
9.8
根据上表可得回归直线方程x+,其中=0.76,.据此估计,该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为( )
A.11.4万元B.11.8万元
C.12.0万元D.12.2万元
解析:
∵=10,
=8,
∴-0.76=8-0.76×10=0.4.
∴=0.76x+0.4.
当x=15时,
=0.76×15+0.4=11.8.
答案:
B
3.(2015湖北武汉调考)根据如下样本数据:
x
3
4
5
6
7
y
4.0
2.5
-0.5
0.5
-2.0
得到的回归直线方程为x+.若=7.9,则x每增加1个单位,y就( )
A.增加1.4个单位B.减少1.4个单位
C.增加1.2个单位D.减少1.2个单位
解析:
(3+4+5+6+7)=5,(4.0+2.5-0.5+0.5-2.0)=0.9,所以样本中心为(5,0.9),代入回归直线方程可得0.9=×5+7.9⇒=-1.4,所以x每增加1个单位,y就减少1.4个单位,故选B.
答案:
B
4.(2012新课标全国高考改编)在一组样本数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)(n≥2,x1,x2,…,xn不全相等)的散点图中,若所有样本点(xi,yi)(i=1,2,…,n)都在直线y=x+1上,则这组样本数据的样本相关指数为( )
A.B.0
C.D.1
解析:
因为所有的点都在直线上,所以就是确定的函数关系
所以相关指数为1.
答案:
D
5.(20
14陕西咸阳模拟)某产品在某零售摊位上的零售价x(元)与每天的销售量y(个)的统计如下表:
x
16
17
18
19
y
50
34
41
31
据上表可得回归直线方程x+中的=-4,则据此模型预测零售价为15元时,销售量为( )
A.48B.49
C.50D.51
解析:
=39.
∵回归直线方程为x+,且=-4,
∴39=-4×+a,解得a=109.
∴=-4x+109,当x=15时,y=49.
答案:
B
6.(2014河南开封模拟)在一次独立性检验中,得到2×2列联表如下:
y1
y2
总计
x1
200
800
1000
x2
180
m
180+m
总计
380
800+m
1180+m
且最后发现,两个分类变量X和Y没有任何关系,则m的可能值是( )
A.200B.720
C.100D.180
解析:
∵两个变量没有任何关系,∴200m≈180×800,解得m≈720.
答案:
B
7.四名同学根据各自的样本数据研究变量x,y之间的相关关系,并求得回归直线方程,分别得到以下四个结论:
①y与x负相关,且=2.347x-6.423;
②y与x负相关,且=-3.476x+5.648;
③y与x正相关,且=5.437x+8.493;
④y与x正相关,且=-4.326x-4.578.
其中一定不正确的结论的序号是( )
A.①②B.②③
C.③④D.①④
解析:
正相关指的是y随x的增大而增大,负相关指的是y随x的增大而减小,故不正确的为①④,故选D.
答案:
D
8.(2014湖北高考)根据如下样本数据:
x
3
4
5
6
7
8
y
4.0
2.5
-0.5
0.5
-2.0
-3.0
得到的回归方程为x+,则( )
A.>0,>0
B.>0,<0
C.<0,>0
D.<0,<0
解析:
由样本数据可知y值总体上是随x值的增大而减少的,故<0.又回归直线过第一象限,故纵截距>0.故选B.
答案:
B
9.(2013福建高考改编)已知
x与y之间的几组数据如下表:
x
1
2
3
4
5
6
y
0
2
1
3
3
4
假设根据上表数据所得线性回归直线方程为x+.若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为'x+',则以下结论正确的是( )
A.','B.','
C.','D.','
解析:
=-,
'==2>'=-2<.
答案:
C
10.(2014江西高考)某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系,随
机抽查52名中学生,得到统计数据如表1至表4,则与性别有关联的可能性最大的变量是( )
表1
成绩
性别
不及格
及格
总计
男
6
14
20
女
10
22
32
总计
16
36
52
表2
视力
性别
好
差
总计
男
4
16
20
女
12
20
32
总计
16
36
52
表3
智商
性别
偏高
正常
总计
男
8
12
20
女
8
24
32
总计
16
36
52
表4
阅读量
性别
丰富
不丰富
总计
男
14
6
20
女
2
30
32
总计
16
36
52
A.成绩B.视力
C.智商D.阅读量
解析:
根据K2=,代入题中数据计算得D选项K2最大.故选D.
答案:
D
二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中横线上)
11.(2015河北唐山一模)为了研究某种细菌在特定环境下随时间变化的繁殖规律,得如下实验数据,计算得回归直线方程为=0.85x-0.25.由以上信息,得到下表中c的值为 .
天数x/天
3
4
5
6
7
繁殖个数y/千个
2.5
3
4
4.5
c
解析:
∵=5,,∴这组数据的样本中心点是.把样本中心点代入回归直线方程中得=0.85×5-0.25,解得c=6.
答案:
6
12.(2015辽宁大连双基)已知x,y的取值如下表所示:
x
2
3
4
y
6
4
5
如果y与x线性相关,且线性回归方程
为x+,则的值为 .
解析:
将=3,=5代入到x+中,得=-.
答案:
-
13.(2011辽宁高考)调查了某地若干户家庭的年收入x(单位:
万元)和年饮食支出y(单位:
万元).调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系,并由调查数据得到y对x的回归直线方程=0.254x+0.321.由回归直线方程可知,家庭年收入每增加1万元,年饮食支出平均增加 万元.
解析:
家庭收入每增加1万元,对应回归直线方程中的x增加1,相应的的值增加0.254,即年饮食支出平均增加0.254万元.
答案:
0.254
14.(2014山东青岛高三月考试题)已知y与x之间具有很强的线性相关关系,现观测得到(x,y)的四组观测值并制作了如下的对照表,由表中数据粗略地得到线性回归直线方程为x+60,其中的值没有写上.当x不小于-5时,预测y的最大值为 .
x
18
13
10
-1
y
24
34
38
64
解析:
由已知,得=10,
=40,
所以40=10+60,=-2,=-2x+60.当x≥-5时,≤70.
答案:
70
15.(2011广东高考)某数学老师身高176cm,他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm、170cm和182cm.因儿子的身高与父亲的身高有关,该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为 cm.
解析:
由题意父亲身高xcm与儿子身高ycm对应关系如下表:
x
173
170
176
y
170
176
182
则=173,
=176,
(xi-)(yi-)=(173-173)×(170-176)+(170-173)×(176-176)+(176-173)(182-176)=18,
(xi-)2=(173-173)2+(170-173)2+(176-173)2=18
.
∴=1.∴=176-173=3.
∴线性回归直线方程x+=x+3.
∴可估计孙子身高为182+3=185(cm).
答案:
185
三、解答题(本大题共4小题,共25分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
16.(6分)(2014课标全国Ⅱ高考)某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y(单位:
千元)的数据如下表:
年份
2007
2008
2009
2010
2011
2012
2013
年份代号t
1
2
3
4
5
6
7
人均纯收入y
2.9
3.3
3.6
4.4
4.8
5.2
5.9
(1)求y关于t的线性回归方程;
(2)利用
(1)中的回归方程,分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.
附:
回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为.
解:
(1)由所给数据计算得
(1+2+3+4+5+6+7)=4,
(2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9)=4.3,
(ti-)2=9+4+1+0+1+4+9=28,
(ti-)(yi-)
=(-3)×(-1.4)+(-2)×(-1)+(-1)×(-0.7)+0×0.1+1×0.5+2×0.9+3×1.6=14,
=0.5,
=4.3-0.5×4=2.3,
所求回归方程为=0.5t+2.3.
(2)由
(1)知,=0.5>0,故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加,平均每年增加0.5千元.
将2015年的年份代号t=9代入
(1)中的
回归方程,得=0.5×9+2.3=6
.8,
故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元.
17.(6分)(2014安徽高考改编)某高校共有学生15000人,其中男生10500人,女生4500人,为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况,采用分层抽样的方法.收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位:
小时).
(1)应收集多少位女生的样本数据?
(2)根据这300个样本数据,得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所示),其中样本数据的分组区间为[0,2],(2,4],(4,6],(6,8],(8,10],(10,12].估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率;
(3)在样本数据中,有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小
时,请完成每周平均体育运动时间与性别列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.
附K2=.
解:
(1)300×=90,
所以应收集90位女生的样本数据.
(2)由频率分布直方图得1-2×(0.100+0.025)=0.75,
所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75.
(3)由
(2)知
300位学生中有300×0.75=225人的每周平均体育运动时间超过4小时,75人的每周平均体育运动时间不超过4小时.又因为样本数据中有210份是关于男生的,90份是关于女生的.所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下:
每周平均体育运动时间与性别列联表
男生
女生
总计
每周平均体育运动时间
不超过4小时
45
30
75
每周平均体育运动时间
超过4小时
165
60
225
总计
210
90
300
结合列联表可算得K2的观测值为k=≈4.762>3.841.
所以,能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.
18.(6分)(2013福建高考改编)某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名,25周岁以下工人200名.为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关,现采用分层抽样的方法,从中抽取了100名工人,先统计了他们某月的日平均生产件数,然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组,再将两组工人的日平均生产件数分成5组:
[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分别加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.
25周岁以上组
25周岁以下组
(1)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人,求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率;
(2)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”,请你根据已知条件完成2×2列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”?
附:
χ2=
P(χ2≥k)
0.100
0.050
0.010
k
2.706
3.841
6.635
(注:
此公式也可以写成K2=)
解:
(1)由已知得,样本中有25周岁以上组工人60名,25周岁以下组工人40名.
所以,样本中日平均生产件数不足60件的工人中,25周岁以上组工人有60×0.05=3(人),记为A1,A2,A3;25周岁以下组工人有40×0.05=2(人),记为B1,B2.
从中随机抽取2名工人,所有的可能结果共有10种,它们是:
(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2).
其中,至少有1名“25周岁以下组”工人的可能结果共有7种,它们是:
(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2).故所求的概率P=.
(2)由频率分布直方图可知,在抽取的100名工人中,“25周岁以上组”中的生产能手60×0.25=15(人),“25周岁以下组”中的生产能手40×0.375=15(人),据此可得2×2列联表如下:
生产能手
非生产能手
合计
25周岁以上组
15
45
60
25周岁以下组
15
25
40
合计
30
70
100
所以得K2的观测值为
k=
=
=≈1.79.
因为1.79<2.706,
所以不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”.
19.(7分)(2015课标全国Ⅰ高考)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:
千元)对年销售量y(单位:
t)和年利润z(单位:
千元)的影响.对近8
年的年宣传费xi和年销售量yi(i=1,2,…,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.
(xi-)2
(wi-)2
(xi-)(yi-)
(wi-)(yi-)
46.6
563
6.8
289.8
1.6
1469
108.8
表中wi=wi.
(1)根据散点图判断,y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型?
(给出判断即可,不必说明理由)
(2)根据
(1)的判断结果及表中数据,建立y关于x的回归方程;
(3)已知这种产品的年利润z与x,y的关系为z=0.2y-x.根据
(2)的结果回答下列问题:
①年宣传费x=49时,年销售量及年利润的预报值是多少?
②年宣传费x为何值时,年利润的预报值最大?
附:
对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其回归直线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为.
解:
(1)由散点图可以判断,y=c+d适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型.
(2)令w=,先建立y关于w的线性回归方程.
由于=68,
=563-68×6.8=100.6,
所以y关于w的线性回归方程为=100.6+68w,因此y关于x的回归方程为=100.6+68.
(3)①由
(2)知,当x=49时,年销售量y的预报值
=100.6+68=576.6,
年利润z的预报值=576.6×0.2-49=66.32.
②根据
(2)的结果知,年利润z的预报值
=0.2(100.6+68)-x=-x+13.6+20.12.
所以当=6.8,即x=46.24时,取得最大值.
故年宣传费为46.24千元时,年利润的预报值最大.
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