二次函数及其应用专题训练.docx
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二次函数及其应用专题训练
数学二次函数及其应用
一、填空题:
1、抛物线y=-x2+1的开口向____。
2、抛物线y=2x2的对称轴是____。
3、函数y=2(x-1)2图象的顶点坐标为____。
4、将抛物线y=2x2向下平移2个单位,所得的抛物线的解析式为________。
5、函数y=x2+bx+3的图象经过点(-1,0),则b=____。
6、二次函数y=(x-1)2+2,当x=____时,y有最小值。
7、函数y=
(x-1)2+3,当x____时,函数值y随x的增大而增大。
8、将y=x2-2x+3化成y=a(x-h)2+k的形式,则y=____。
9、若点A(2,m)在函数y=x2-1的图像上,则A点的坐标是____。
图1
10、抛物线y=2x2+3x-4与y轴的交点坐标是____。
11、请写出一个二次函数以(2,3)为顶点,且开口向上。
____________。
12、已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图1所示:
则这个二次函数的解析式是y=_。
二、选择题:
1、在圆的面积公式S=πr2中,s与r的关系是( )
A、一次函数关系 B、正比例函数关系 C、反比例函数关系 D、二次函数关系
2、已知函数y=(m+2)
是二次函数,则m等于( )
A、±2 B、2 C、-2 D、±
3、已知y=ax2+bx+c的图像如图2所示,则a、b、c满足( )
A、a<0,b<0,c<0 B、a>0,b<0,c>0图2
C、a<0,b>0,c>0 D、a<0,b<0,c>0
4、苹果熟了,从树上落下所经过的路程s与下落时间t满足S=
gt2(g=9.8),则s与t的函数图像大致是( )
A B C D
5、抛物线y=-x2不具有的性质是( )
A、开口向下B、对称轴是y轴C、与y轴不相交D、最高点是原点
6、抛物线y=x2-4x+c的顶点在x轴,则c的值是( )图3
A、0B、4C、-4D、2
三、解答题:
1、如图3,矩形的长是4cm,宽是3cm,如果将长和宽都增加xcm,
那么面积增加ycm2, ①求y与x之间的函数关系式。
②求当边长增加多少时,面积增加8cm2。
2、已知抛物线的顶点坐标是(-2,1),且过点(1,-2),求抛物线的解析式。
3、已知二次函数的图像经过(0,1),(2,1)和(3,4),求该二次函数的解析式。
图4
4、用6m长的铝合金型材做一个形状如图4所示的矩形窗框,应做成长、宽各为
多少时,才能使做成的窗框的透光面积最大?
最大透光面积是多少?
5、某农场种植一种蔬菜,销售员张平根据往年的销售情况,对今年种
蔬菜的销售价格进行了预测,预测情况如图,图5中的抛物线表示这种图5
蔬菜销售价与月份之间的关系。
观察图像,你能得到关于这种蔬菜销售
情况的哪些信息?
(至少写出四条)
四、校运会上,小明参加铅球比赛,若某次试掷,铅球飞行的高度y(m)与
水平距离x(m)之间的函数关系式为y=-
x2+
x+
,求小明这次试掷的成
绩及铅球的出手时的高度。
五、(10分)某企业投资100万元引进一条农产品生产线,预计投产后每年可创收33万元,设生产线投产后,从第一年到第x年维修、保养费累计为y(万元),且y=ax2+bx,若第一年的维修、保养费为2万元,第二年的为4万元。
求:
y的解析式。
六、有一个抛物线形的拱形桥洞,桥洞离水面的最大高度为4m,
跨度为10m,如图所示,把它的图形放在直角坐标系中。
①求这条抛物线所对应的函数关系式。
②如图,在对称轴右边1m处,桥洞离水面的高是多少?
七、商场销售一批衬衫,每天可售出20件,每件盈利40元,为了扩大销售,减少库存,决定采取适当的降价措施,经调查发现,如果一件衬衫每降价1元,每天可多售出2件。
①设每件降价x元,每天盈利y元,列出y与x之间的函数关系式;
②若商场每天要盈利1200元,每件应降价多少元?
③每件降价多少元时,商场每天的盈利达到最大?
盈利最大是多少元?
[与直线综合]1.已知二次函数图象顶点为C(1,0),直线y=x+m与
该二次函数交于A,B两点,其中A点(3,4),B点在y轴上.
(1)求m值及这个二次函数关系式;
(2)P为线段AB上一动点(P不与A,B重合),过P做x轴X
垂线与二次函数交于点E,设线段PE长为h,点P横坐标为x,
求h与x之间的函数关系式,并写出自变量x取值范围;
(3)D为线段AB与二次函数对称轴的交点,在AB上是否存在一
点P,使四边形DCEP为平行四边形?
若存在,请求出P点坐标;若不存在,
请说明理由。
2.抛物线y=x²+4x+3交x轴于A、B两点,交y轴于
点C,抛物线的对称轴交x轴于点E.
(1)求抛物线的对称轴及点A的坐标;
(2)在平面直角坐标系xoy中是否存在点P,与A、B、C三点构成一个平行
四边形?
若存在,请写出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)连结CA与抛物线的对称轴交于点D,在抛物线上是否存在
点M,使得直线CM把四边形DEOC分成面积相等的两部分?
若存在,
请求出直线CM的解析式;若不存在,请说明理由.
[与相似三角形综合]如图所示,已知抛物线y=x²-1与x轴交于A、B两点,与y轴交
于点C.
(1)求A、B、C三点的坐标.
(2)过点A作AP∥CB交抛物线于点P,
求四边形ACBP的面积.(3)在x轴上方的抛物线上是否存在一点M,过M作
MG⊥x轴于点G,使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似.若存在,
请求出M点的坐标;否则,请说明理由.
[与圆综合]在平面直角坐标系xoy中,半径为1的圆的圆心O在坐标原点,
且与两坐标轴分别交于A、B、C、D四点.抛物线y=ax²+bx+c与y轴交于
点D,与直线y=x交于点M、N,且MA、NC分别与圆O相切于点A和点C.
(1)求抛物线的解析式
(2)抛物线的对称轴交x轴于点E,连结DE,并延长DE交
圆O于F,求EF的长.
(3)过点B作圆O的切线交DC的延长线于点P,
判断点P是否在抛物线上,说明理由.
答案一、1、下 2、y轴 3、(1,0) 4、y=2x2-2 5、4 6、1 7、>1 8、(x-1)2+2
9、(2,3) 10、(0,-4) 11、y=(x-2)2+3 12、(x-1)2-1
二、1、D 2、B 3、D 4、B 5、C 6、B
三、1、①y=(4+x)(3+x)-12 =7x+x2 ②8=7x+x2 x1=1,x2=-8
2、解:
y=a(x+2)2+1 -2=a(1+2)2+1 a=-
∴y=-
(x+2)2+1
3、解:
设y=ax2+bx+c,则:
,解得
∴y=x2-2x+1
4、解:
设宽为x、m,则长为(3-
x)m S=3x-
x2 =-
(x2-2x) =-
(x-1)2+
当x=1时,透光面积最大为
m2。
5、①2月份每千克3.5元 ②7月份每千克0.5克 ③7月份的售价最低 ④2~7月份售价下跌
四、解:
成绩10米,出手高度
米五、①解:
解得
∴y=x2+x
六、解:
①设y=a(x-5)2+4 0=a(-5)2+4 a=-
∴y=-
(x-5)2+4
②当x=6时,y=-
+4=3.4(m)
七、解:
①y=(40-x)(20+2x) =-2x2+60x+800 ②1200=-2x2+60x+800
x1=20,x2=10 ∵要扩大销售 ∴x取20元
③y=-2(x2-30x)+800 =-2(x-15)2+1250 ∴当每件降价15元时,盈利最大为1250元
2009年中考试题二次函数专题
1.(2009杭州)已知点P(,)在函数的图象上,那么点P应在平面直角坐标系中的
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
2.(2009杭州)有以下三个说法:
①坐标的思想是法国数学家笛卡儿首先建立的;②除了平面直角坐标系,我们也可以用方向和距离来确定物体的位置;③平面直角坐标系内的所有点都属于四个象限。
其中错误的是
A.只有①B.只有②C.只有③D.①②③
3.(2009台州)已知二次函数的与的部分对应值如下表:
...013......131...则下列判断中正确的是( ▲ )
A.抛物线开口向上 B.抛物线与轴交于负半轴
C.当=4时,>0D.方程的正根在3与4之间
4.(2009南州)抛物线的图象如图1所示,根据图象可知,抛物线的解析式可能是()学科网
A、y=x2-x-2B、y=学科网
C、y=D、y=学科网
5.(2009南充)抛物线的对称轴是直线()
A.B.C.D.
6.(2009莆田)二次函数的图象如何平移就褥到的图像()
A.向左平移1个单位,再向上平移3个单位.
B.向右平移1个单位,再向上平移3个单位.
C.向左平移1个单位,再向下平移3个单位.
D.向右平移1个单位,再向下平移3个单位。
7.(2009丽水)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,给出以下结论:
①a>0.
②该函数的图象关于直线对称.
③当时,函数y的值都等于0.
其中正确结论的个数是A.3B.2C.1D.0
8.(2009遂宁)把二次函数用配方法化成的形式
A.B.
C.D.
9.(2009嘉兴)已知,在同一直角坐标系中,函数与的图象有可能是( ▲ )
10.(2009湖州)已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形,每个小正方形的顶点称为格点,请你在图中任意画一条抛物线,问所画的抛物线最多能经过81个格点中的多少个?
()
A.6B.7C.8D.9
11.(2009广州)二次函数的最小值是()
(A)2(B)1(C)-1(D)-2
12.(2009烟台)二次函数的图象如图所示,则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为()
13.(2009黄石)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图3所示,
下列结论:
①abc>0②2a+b<0③4a-2b+c<0④a+c>0,
其中正确结论的个数为()
A、4个B、3个C、2个D、1个
14.(2009南州)二次函数的图象关于原点O(0,0)对称的图象的解析式是_________________。
学科网
15.(2009湖州)已知抛物线(>0)的对称轴为直线,且经过点,试比较和的大小:
_(填">","<"或"=")
16.(2009荆门)函数y=(x-2)(3-x)取得最大值时,x=______.
17.(2009义乌)如图,抛物线与轴的一个交点A在点(-2,0)和(-1,0)之间(包括这两点),顶点C是矩形DEFG上(包括边界和内部)的一个动点,则
(填""或"");
的取值范围是
18.(2009重庆)某电视机生产厂家去年销往农村的某品牌电视机每台的售价(元)与月份之间满足函数关系,去年的月销售量(万台)与月份之间成一次函数关系,其中两个月的销售情况如下表:
月份1月5月销售量3.9万台4.3万台
(1)求该品牌电视机在去年哪个月销往农村的销售金额最大?
最大是多少?
(2)由于受国际金融危机的影响,今年1、2月份该品牌电视机销往农村的售价都比去年12月份下降了,且每月的销售量都比去年12月份下降了。
国家实施"家电下乡"政策,即对农村家庭购买新的家电产品,国家按该产品售价的13%给予财政补贴。
受此政策的影响,今年3月份至5月份,该厂家销往农村的这种电视机在保持今年2月份的售价不变的情况下,平均每月的销售量比今年2月份增加了1.5万台。
若今年3至5月份国家对这种电视机的销售共给予财政补贴936万元,求的值(保留一位小数)
(参考数据:
,,,)
19.(2009宁波)如图抛物线与x轴相交于点A、B,且过点C(5,4).
(1)求a的值和该抛物线顶点P的坐标.
(2)请你设计一种平移的方法,使平移后抛物线的顶点落要第二象限,并写出平移后抛物线的解析式.
20.(2009德州)某仓库为了保持库内的湿度和温度,四周墙上均装有如图所示的自动通风设施.该设施的下部ABCD是矩形,其中AB=2米,BC=1米;上部CDG是等边三角形,固定点E为AB的中点.△EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗(阴影部分均不通风),MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB平行的伸缩横杆.
(1)当MN和AB之间的距离为0.5米时,求此时△EMN的面积;
(2)设MN与AB之间的距离为米,试将△EMN的面积S(平方米)表示成关于x的函数;
(3)请你探究△EMN的面积S(平方米)有无最大值,若有,请求出这个最大值;若没有,请说明理由.
21.(本题满分l2分)
(2009宜宾)如图,在平面直角坐标系xoy中,等腰梯形OABC的下底边OA在x轴的正半轴上,BC∥OA,OC=AB.tan∠BA0=,点B的坐标为(7,4).
(1)求点A、C的坐标;
(2)求经过点0、B、C的抛物线的解析式;
(3)在第一象限内
(2)中的抛物线上是否存在一点P,使得经过点P且与等腰梯形一腰平行的直线将该梯形分成面积相等的两部分?
若存在,请求出点P的横坐标;若不存在,请说明理由.
22.(本题满分12分)
(2009泸州)如图12,已知二次函数的图象与x轴的正半轴相交于点A、B,
与y轴相交于点C,且.
(1)求c的值;
(2)若△ABC的面积为3,求该二次函数的解析式;
(3)设D是
(2)中所确定的二次函数图象的顶点,试问在直线AC上是否存在一点P使△PBD的周长最小?
若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
23.(12分)(2009南州)已知二次函数。
(1)求证:
不论a为何实数,此函数图象与x轴总有两个交点。
(2)设a<0,当此函数图象与x轴的两个交点的距离为时,求出此二次函数的解析式。
(3)若此二次函数图象与x轴交于A、B两点,在函数图象上是否存在点P,使得△PAB的面积为,若存在求出P点坐标,若不存在请说明理由。
24.(2009成都)在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,其顶点为M,若直线MC的函数表达式为,与x轴的交点为N,且COS∠BCO=。
(2)在此抛物线上是否存在异于点C的点P,使以N、P、C为顶点的三角形是以NC为一条直角边的直角三角形?
若存在,求出点P的坐标:
若不存在,请说明理由;
(3)过点A作x轴的垂线,交直线MC于点Q.若将抛物线沿其对称轴上下平移,使抛物线与线段NQ总有公共点,则抛物线向上最多可平移多少个单位长度?
向下最多可平移多少个单位长度?
25.(2009莆田)已知,如图抛物线与y轴交于C点,与x轴交于A、B两点,A点在B点左侧。
点B的坐标为(1,0),OC=30B.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点D是线段AC下方抛物线上的动点,求四边形ABCD面积的最大值:
(3)若点E在x轴上,点P在抛物线上。
是否存在以A、C、E、P为顶点且以AC为一边的平行四边形?
若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由.
26.(2009江苏)如图,已知二次函数的图象的顶点为.二次函数的图象与轴交于原点及另一点,它的顶点在函数的图象的对称轴上.
(1)求点与点的坐标;
(2)当四边形为菱形时,求函数的关系式.
27.(2009泰安)如图,△OAB是边长为2的等边三角形,过点A的直线
(1)求点E的坐标;
(2)求过A、O、E三点的抛物线解析式;
(3)(2009遂宁)如图,二次函数的图象经过点D(0,),且顶点C的横坐标为4,该图象在x轴上截得的线段AB的长为6.
⑴求二次函数的解析式;
⑵在该抛物线的对称轴上找一点P,使PA+PD最小,求出点P的坐标;
⑶在抛物线上是否存在点Q,使△QAB与△ABC相似?
如果存在,求出点Q的坐标;如果不存在,请说明理由.
28.(2009湖州)已知抛物线()与轴相交于点,顶点为.直线分别与轴,轴相交于两点,并且与直线相交于点.
(1)填空:
试用含的代数式分别表示点与的坐标,则;
(2)如图,将沿轴翻折,若点的对应点′恰好落在抛物线上,′与轴交于点,连结,求的值和四边形的面积;
(3)在抛物线()上是否存在一点,使得以为顶点的四边形是平行四边形?
若存在,求出点的坐标;若不存在,试说明理由.
29.(2009广州)如图13,二次函数的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C(0,-1),ΔABC的面积为。
(1)求该二次函数的关系式;
(2)过y轴上的一点M(0,m)作y轴上午垂线,若该垂线与ΔABC的外接圆有公共点,求m的取值范围;
(3)在该二次函数的图象上是否存在点D,使四边形ABCD为直角梯形?
若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由。
30.(2009江西)如图,抛物线与轴相交于、两点(点在点的左侧),与轴相交于点,顶点为.
(1)直接写出、、三点的坐标和抛物线的对称轴;
(2)连接,与抛物线的对称轴交于点,点为线段上的一个动点,过点作交抛物线于点,设点的横坐标为;
①用含的代数式表示线段的长,并求出当为何值时,四边形为平行四边形?
②设的面积为,求与的函数关系式.
31.(2009安顺)如图,已知抛物线与交于A(-1,0)、E(3,0)两点,与轴交于点B(0,3)。
(1)求抛物线的解析式;
(2)设抛物线顶点为D,求四边形AEDB的面积;
(3)△AOB与△DBE是否相似?
如果相似,请给以证明;如果不相似,请说明理由。
32.(2009洛江)我区某工艺厂为迎接建国60周年,设计了一款成本为20元∕件的工艺品投放市场进行试销.经过调查,其中工艺品的销售单价(元∕件)与每天销售量(件)之间满足如图所示关系.
(1)请根据图象直接写出当销售单价定为30元和
40元时相应的日销售量;
(2)①试求出与之间的函数关系式;
②若物价部门规定,该工艺品销售单价最高不能超过45元/件,那么销售单价定为多少时,工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大?
最大利润是多少?
(利润=销售总价-成本总价)。
33.(2009衡阳)已知二次函数的图象过坐标原点,它的顶点坐标是(1,-2),求这个二次函数的关系式.
34.(2009烟台)某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出,平均每天能售出8台,为了配合国家"家电下乡"政策的实施,商场决定采取适当的降价措施.调查表明:
这种冰箱的售价每降低50元,平均每天就能多售出4台.
(1)假设每台冰箱降价x元,商场每天销售这种冰箱的利润是y元,请写出y与x之间的函数表达式;(不要求写自变量的取值范围)
(2)商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元,同时又要使百姓得到实惠,每台冰箱应降价多少元?
(3)每台冰箱降价多少元时,商场每天销售这种冰箱的利润最高?
最高利润是多少?
35.(2009娄底)已知关于x的二次函数y=x2-(2m-1)x+m2+3m+4.
(1)探究m满足什么条件时,二次函数y的图象与x轴的交点的个数.
(2)设二次函数y的图象与x轴的交点为A(x1,0),B(x2,0),且+=5,与y轴的交点为C,它的顶点为M,求直线CM的解析式.
36.(2009中山)正方形ABCD边长为4,M、N分别是BC、CD上的两个动点,当M点在BC上运动时,保持AM和MN垂直.
(1)证明:
Rt△ABM∽Rt△MCN;
(2)设BM=x,梯形ABCN的面积为y,求y与x之间的函数关系式;当M点运动到什么位置时,四边形ABCN面积最大,并求出最大面积;
(3)当M点运动到什么位置时Rt△ABM∽Rt△AMN,求此时x的值.
37.(2009荆门)一开口向上的抛物线与x轴交于A(m-2,0),B(m+2,0)两点,记抛物线顶点为C,且AC⊥BC.
(1)若m为常数,求抛物线的解析式;
(2)若m为小于0的常数,那么
(1)中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点?
(3)设抛物线交y轴正半轴于D点,问是否存在实数m,使得△BCD为等腰三角形?
若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.
38.(13分)(2009洛江)我区某工艺厂为迎接建国60周年,设计了一款成本为20元∕件的工艺品投放市场进行试销.经过调查,其中工艺品的销售单价(元∕件)与每天销售量(件)之间满足如图所示关系.
(1)请根据图象直接写出当销售单价定为30元和
40元时相应的日销售量;
(2)①试求出与之间的函数关系式;
②若物价部门规定,该工艺品销售单价最高不能超过45元/件,那么销售单价定为多少时,工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大?
最大利润是多少?
(利润=销售总价-成本总价)。
(2009日照)某仓库为了保持库内的湿度和温度,四周墙上均装有如图所示的自动通风设施.该设施的下部ABCD是矩形,其中AB=2米,BC=1米;上部CDG是等边三角形,固定点E为AB的中点.△EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗(阴影部分均不通风),MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB平行的伸缩横杆.
(1)当MN和AB之间的距离为0.5米时,求此时△EMN的面积;
(2)设MN与AB之间的距离为米,试将△EMN的面积S(平方米)表示成关于x的函数;
(3)请你探究△EMN的面积S(平方米)有无最大值,若有,请求出这个最大值;若没有,请说明理由.
39.(2009杭州)已知平行于x轴的直线与函数和函数的图象分别交于点A和点B,又有定点P(2,0)。
(1)若,且tan∠POB=,求线段AB的长;
(2)在过A,B两点且顶点在直线上的抛物线中,已知线段AB=,且在它的对称轴左边时,y随着x的增大而增大,试求出满足条件的抛物线的解析式;
(3)已知经过A,B,P三点的抛物线,平移后能得到的图象,求点P到直线AB的距离。
40.(2009义乌)如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=1,点P在线段AB上运动,设AP=,现将纸片折叠,使点D与点P重合,得折痕EF(点E、F为折痕与矩形边的交点),再将纸片还原。
(1)当时,折痕EF的长为;当点E与点A重合时,折痕EF的长为;
(2)请写出
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- 二次 函数 及其 应用 专题 训练