数轴及动点问题探讨.docx

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数轴及动点问题探讨

数轴上的线段与动点问题 

1．数轴上两点间的距离，即为这两点所对应的坐标差的绝对值，也即用右边的数减去左边的数的差。

即数轴上两点间的距离=右边点表示的数—左边点表示的数。

2．点在数轴上运动时，由于数轴向右的方向为正方向，因此向右运动的速度看作正速度，而向左运动的速度看作负速度。

这样在起点的基础上加上点的运动路程就可以直接得到运动后点的坐标。

即一个点表示的数为a，向左运动b个单位后表示的数为a—b；向右运动b个单位后所表示的数为a+b。

3．数轴是数形结合的产物，分析数轴上点的运动要结合图形进行分析，点在数轴上运动形成的路径可看作数轴上线段的和差关系。

【例题学习】

1、已知数轴上有A、B、C三点，分别代表—24，—10，10，两只电子蚂蚁甲、分别从A、C两点同时相向而行，甲的速度为4个单位/秒。

⑴问多少秒后，甲到A、B、C的距离和为40个单位？

⑵若乙的速度为6个单位/秒，两只电子蚂蚁甲、乙分别从A、C两点同时相向而行，问甲、乙在数轴上的哪个点相遇？

⑶在⑴⑵的条件下，当甲到A、B、C的距离和为40个单位时，甲调头返回。

问甲、乙还能在数轴上相遇吗？

若能，求出相遇点；若不能，请说明理由。

例2．如图，已知A、B分别为数轴上两点，A点对应的数为—20，B点对应的数为100。

1AB中点M对应的数；

⑵现有一只电子蚂蚁P从B点出发，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，求C点对应的数；

⑶若当电子蚂蚁P从B点出发时，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的D点相遇，求D点对应的数。

例3．已知数轴上两点A、B对应的数分别为—1，3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x。

（1）若点P到点A、点B的距离相等，求点P对应的数；

（2）数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为5？

若存在，请求出x的值。

若不存在，请说明理由？

（3）当点P以每分钟一个单位长度的速度从O点向左运动时，点A以每分钟5个单位长度向左运动，点B一每分钟20个单位长度向左运动，问它们同时出发，几分钟后P点到点A、点B的距离相等？

例4．点A1、A2、A3、……An（n为正整数）都在数轴上，点A1在原点O的左边，且A1O=1，点A2在点A1的右边，且A2A1=2，点A3在点A2的左边，且A3A2=3，点A4在点A3的右边，且A4A3=4，……，依照上述规律点A2008、A2009所表示的数分别为（）。

A．2008，—2009B．—2008，2009C．1004，—1005D．1004，—1004

5、如图，若点A在数轴上对应的数为a，点B在数轴上对应的数为b，且a，b满足

｜a＋2｜＋（b－1）2＝0。

AB

（1）求线段AB的长；0

（2）点C在数轴上对应的数为x，且x是方程2x－1＝

x＋2的根，在数轴上是否存在点P，使PA＋PB＝PC，若存在，求出点P对应的数；若不存在，说明理由。

6、已知线段AB＝12，CD＝6，线段CD在直线AB上运动，（CA在B的左侧，C在D的左侧）

（1）M、N分别是线段AC、BD的中点，若BC＝4，求MN。

（2）当CD运动到D点与B点重合时，P是线段AB的延长线上一点，下列两个结论：

是定值，

是定值。

其中有一个正确，请你作出正确的选择，并求出其定值。

7、观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离4与

，3与5，

与

，

与3.

并回答下列各题：

（1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？

答：

____.

（2）若数轴上的点A表示的数为x，点B表示的数为―1，则A与B两点间的距离

可以表示为．

（3）结合数轴求得

的最小值为，取得最小值时x的取值范围为（4）满足

的

的取值范围为

规律发现专题训练

1．用黑白两种颜色的正六边形地砖按如下所示的规律拼成若干个图案：

第（4）个图案中有黑色地砖4块；那么第（

）个图案中有白色地砖块。

2.我国著名数学家华罗庚曾说过：

“数形结合百般好，隔裂分家万事非。

”如图，在一个边长为1的正方形纸版上，依次贴上面积为

，

，

，…，

的矩形彩色纸片（n为大于1的整数）。

请你用“数形结合”的思想，依数形变化的规律，计算

=。

3.有一列数：

第一个数为x1=1，第二个数为x2=3，第三个数开始依次记为x3，x4，…，xn；从第二个数开始，每个数是它相邻两个数和的一半。

（如：

x2=

）

（1）求第三、第四、第五个数，并写出计算过程；

（2）根据

（1）的结果，推测x8=；

（3）探索这一列数的规律，猜想第k个数xk=.（k是大于2的整数）

4.将一张长方形的纸对折，如图所示可得到一条折痕（图中虚线）.继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得到7条折痕，那么对折四次可以得到_条折痕.如果对折n次，可以得到条折痕.

5.观察下面一列有规律的数

，根据这个规律可知第n个数是（n是正整数）

6.古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，……，叫做三角形数，它有一定的规律性，则第24个三角形数与第22个三角形数的差为。

7、观察下面一列数：

-1，2，-3，4，-5，6，-7，．．．，将这列数排成下列形式

按照上述规律排下去，那么第10行从左边第9个数是.

8.探索：

⑴一条直线可以把平面分成两部分，两条直线最多可以把平面分成4部分，三条直线最多可以把平面分成部分，四条直线最多可以把平面分成部分，试画图说明；⑵n条直线最多可以把平面分成几部分？

练习巩固】

1．已知数轴上A、B两点对应数分别为—2，4，P为数轴上一动点，对应数为x。

⑴若P为线段AB的三等分点，求P点对应的数。

⑵数轴上是否存在P点，使P点到A、B距离和为10？

若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由。

⑶若点A、点B和P点（P点在原点）同时向左运动。

它们的速度分别为1、2、1个单位长度/分钟，则第几分钟时P为AB的中点？

2．电子跳蚤落在数轴上的某点K0，第一步从K0向左跳一个单位到K1，第二步由K1向右跳2个单位到K2，第三步由K2向左跳3个单位到K3，第四步由K3向右跳4个单位到K4……按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的K100所表示的数恰是19.94。

试求电子跳蚤的初始位置K0点表示的数。

3、数轴上A点对应的数为－5，B点在A点右边，电子蚂蚁甲、乙在B分别以分别以2个单位/秒、1个单位/秒的速度向左运动，电子蚂蚁丙在A以3个单位/秒的速度向右运动。

（1）若电子蚂蚁丙经过5秒运动到C点，求C点表示的数；

AB

－5

（2）若它们同时出发，若丙在遇到甲后1秒遇到乙，求B点表示的数；

AB

－5

（3）在

（2）的条件下，设它们同时出发的时间为t秒，是否存在t的值，使丙到乙的距离是丙到甲的距离的2倍？

若存在，求出t值；若不存在，说明理由。

A

4、三个数a、b、c的积为负数，和为正数，且

，

则

的值是_______。

－

5、如图，平面内有公共端点的六条射线OA，OB，OC，OD，OE，OF，从射线OA开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1，2，3，4，5，6，7，…．

（1）“17”在射线____上，

“2008”在射线___________上．

（2）若n为正整数，则射线OA上数字的排列规律可以用含n的

代数式表示为__________________________．

6、已知|ab－2|与|a－1|互为相互数，试求下式的值．

例1、分析：

如图1，易求得AB=14，BC=20，AC=34

⑴设x秒后，甲到A、B、C的距离和为40个单位。

此时甲表示的数为—24+4x。

①甲在AB之间时，甲到A、B的距离和为AB=14

甲到C的距离为10—（—24+4x）=34—4x

依题意，14+（34—4x）=40，解得x=2

②甲在BC之间时，甲到B、C的距离和为BC=20，甲到A的距离为4x

依题意，20+4x）=40，解得x=5

即2秒或5秒，甲到A、B、C的距离和为40个单位。

⑵是一个相向而行的相遇问题。

设运动t秒相遇。

依题意有，4t+6t=34，解得t=3.4

相遇点表示的数为—24+4×3.4=—10.4（或：

10—6×3.4=—10.4）

⑶甲到A、B、C的距离和为40个单位时，甲调头返回。

而甲到A、B、C的距离和为40个单位时，即的位置有两种情况，需分类讨论。

①甲从A向右运动2秒时返回。

设y秒后与乙相遇。

此时甲、乙表示在数轴上为同一点，所表示的数相同。

甲表示的数为：

—24+4×2—4y；乙表示的数为：

10—6×2—6y

依题意有，—24+4×2—4y=10—6×2—6y，解得y=7

相遇点表示的数为：

—24+4×2—4y=—44（或：

10—6×2—6y=—44）

②甲从A向右运动5秒时返回。

设y秒后与乙相遇。

甲表示的数为：

—24+4×5—4y；乙表示的数为：

10—6×5—6y

依题意有，—24+4×5—4y=10—6×5—6y，解得y=—8（不合题意，舍去）

即甲从A点向右运动2秒后调头返回，能在数轴上与乙相遇，相遇点表示的数为—44。

例2、分析：

⑴设AB中点M对应的数为x，由BM=MA

所以x—（—20）=100—x，解得x=40即AB中点M对应的数为40

⑵易知数轴上两点AB距离，AB=140，设PQ相向而行t秒在C点相遇，

依题意有，4t+6t=120，解得t=12

（或由P、Q运动到C所表示的数相同，得—20+4t=100—6t，t=12）

相遇C点表示的数为：

—20+4t=28（或100—6t=28）

⑶设运动y秒，P、Q在D点相遇，则此时P表示的数为100—6y，Q表示的数为—20—4y。

P、Q为同向而行的追及问题。

依题意有，6y—4y=120，解得y=60

（或由P、Q运动到C所表示的数相同，得—20—4y=100—6y，y=60）

D点表示的数为：

—20—4y=—260（或100—6y=—260）

例3、解：

∵点P到点A.点B的距离相等，点P为数轴上一动点，其对应的数为X

∴点P为线段AB的中点

∴X为1

⑵由AB=4，若存在点P到点A、点B的距离之和为5，P不可能在线段AB上，只能在A点左侧，或B点右侧。

①P在点A左侧，PA=—1—x，PB=3—x

依题意，（—1—x）+（3—x）=5，解得x=—1.5

②P在点B右侧，PA=x—（—1）=x+1，PB=x—3

依题意，（x+1）+（x—3）=5，解得x=3.5

（3）设x分钟后点P到点A，点B的距离相等；

出发x分钟后，点P、A、B对应的数分别为-x、-1-5x、3-20x，

可列方程：

|（-x）-（-1-5x）|=|（-x）-（3-20x）|，

即有：

|4x+1|=|19x-3|，

分两种情况讨论：

①当0≤x≤3/19时，4x+1=3-19x，解得：

x=2/23<3/19；

②当x>3/19时，4x+1=19x-3，解得：

x=4/15>3/19；

综上可得：

2/23分钟后或4/15分钟后，点P到点A，点B的距离相等。

例4、

分析：

如图，

点A1表示的数为—1；

点A2表示的数为—1+2=1；

点A3表示的数为—1+2—3=—2；

点A4表示的数为—1+2—3+4=2……

点A2008表示的数为—1+2—3+4—……—2007+2008=1004

点A2009表示的数为—1+2—3+4—……—2007+2008—2009=1005

7、

（2）分析：

即x与2的差的绝对值，它可以表示数轴上x与2之间的距离。

即x与-3的差的绝对值，它也可以表示数轴上x与-3之间的距离。

如图，x在数轴上的位置有三种可能：

图1图2图3

图2符合题意5、-3≤x_≤2______.

（3）分析：

同理

表示数轴上x与-1之间的距离，

表示数轴上x与-4之间的距离。

本题即求，当x是什么数时x与-1之间的距离加上x与-4之间的距离会大于3。

借助数轴，我们可以得到正确答案：

x<-4或x>-1。

1.4n+22.1-1/2n3.解：

根据上面的分析

（1）x3=2x2-x1=2×3-1=5；x4=2x3-x2=2×5-3=7；x5=2x4-x3=2×7-5=9；

（2）解：

x8=16；（3）2n-14.15;2n-15.n/n（n+2）6.45根据所给的数据发现：

第n个三角形数是1+2+3+…+n，则第24个三角形数与第22个三角形数的差为23+24=47．

解答：

解：

第24个三角形：

1+…+21+22+23+24，

第22个三角形：

1+…+21+22

8.90解：

根据每行的最后一个数的绝对值是这个行的行数n的平方，

所以第9行最后一个数字的绝对值是：

9×9=81，

第10行从左边第9个数是：

81+9=90．

故第10行从左边第9个数是90．

一条直线可以把平面分成两部分，两条直线最多可以把平面分成4部分，三条直线最多可以把平面分成7部分，四条直线最多可以把平面分成11部分，可以发现，两条直线时多了2部分，三条直线比原来多了3部分，四条直线时比原来多了4部分，…，n条时比原来多了n部分．

因为n=1，a1=1+1

n=2，a2=a1+2

n=3，a3=a2+3

n=4，a4=a3+4

…

n=n，an=an-1+n

以上式子相加整理得，an=1+1+2+3+…+n=1+（1+2+3+…+n）=1+n（n+1）/2