九年级提优以正方形为载体的中考综合题.docx
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九年级提优以正方形为载体的中考综合题
以正方形为载体的中考试题——研究课
主备:
李维明班级________姓名____________
正方形是一种特殊的四边形,它集平行四边形、矩形、菱形的性质于一身,优美漂亮,是中考的热点,与它有关的中考题经常出现.正方形是初中数学的重要知识内容,纵观近几年全国各地中考试题,可以发现诸多以正方形为载体,结合其它数学知识的优秀试题,格调清新、构思巧妙,较好的考察了学生的基础知识、学习能力和思维水平.
方法迁移类:
1.(11济宁)数学课上,李老师出示了这样一道题目:
如图1,正方形ABCD的边长为
,P为边BC延长线上的一点,E为DP的中点,DP的垂直平分线交边DC于M,交边AB的延长线于N.当CP=6时,EM与EN的比值是多少?
经过思考,小明展示了一种正确的解题思路:
过E作直线平行于BC交DC,AB分别于F,G,如图2,则可得:
=
,因为DE=EP,所以DF=FC.可求出EF和EG的值,进而可求得EM与EN的比值.
(1)请按照小明的思路写出求解过程.
(2)小东又对此题作了进一步探究,得出了DP=MN的结论.你认为小东的这个结论正确吗?
如果正确,请给予证明;如果不正确,请说明理由.
2.(11永州)探究问题:
⑴方法感悟:
如图①,在正方形ABCD中,点E,F分别为DC,BC边上的点,且满足∠EAF=45°,连接EF,求证DE+BF=EF.
感悟解题方法,并完成下列填空:
将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG,此时AB与AD重合,由旋转可得:
AB=AD,BG=DE,∠1=∠2,∠ABG=∠D=90°,
∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°,
因此,点G,B,F在同一条直线上.
∵∠EAF=45°∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°.
∵∠1=∠2,∴∠1+∠3=45°.
即∠GAF=∠_________.
又AG=AE,AF=AF
∴△GAF≌_______.
∴_________=EF,故DE+BF=EF.
⑵方法迁移:
如图②,将
沿斜边翻折得到△ADC,点E,F分别为DC,BC边上的点,
且∠EAF=
∠DAB.试猜想DE,BF,EF之间有何数量关系,并证明你的猜想.
⑶问题拓展:
如图③,在四边形ABCD中,AB=AD,E,F分别为DC,BC上的点,满足∠EAF=
∠DAB,试猜想当∠B与∠D满足什么关系时,可使得DE+BF=EF.请直接写出你的猜想(不必说明理由).
3.(10绍兴)
(1)如图1,在正方形ABCD中,点E、F分别在边BC、CD上,AE、BF交于点O,∠AOF=90°.
求证:
BE=CF.
(2)如图2,在正方形ABCD中,点E、H、F、G分别在边AB、BC、CD、DA上,EF、GH交于点O,∠FOH=90°,EF=4.求GH的长.
(3)已知点E、H、F,、G分别在矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA上,EF、GH交于点O,
∠FOH=90°,EF=4.直接写出下列两题的答案:
①如图3,矩形ABCD由2个全等的正方形组成,求GH的长;
②如图4,矩形ABCD由n个全等的正方形组成,求GH的长(用n的代数式表示).
4.(10无锡)
(1)如图1,在正方形ABCD中,M是BC边(不含端点B、C)上任意一点,P是BC延长线上一点,N是∠DCP的平分线上一点.若∠AMN=90°,求证:
AM=MN.
下面给出一种证明的思路,你可以按这一思路证明,也可以选择另外的方法证明.
证明:
在边AB上截取AE=MC,连ME.正方形ABCD中,∠B=∠BCD=90°,AB=BC.
∴∠NMC=180°—∠AMN—∠AMB=180°—∠B—∠AMB=∠MAB=∠MAE.
(下面请你完成余下的证明过程)
(2)若将
(1)中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”(如图2),N是∠ACP的平分线上一点,则当∠AMN=60°时,结论AM=MN是否还成立?
请说明理由.
(3)若将
(1)中的“正方形ABCD”改为“正
边形ABCD……X”,请你作出猜想:
当∠AMN=°时,结论AM=MN仍然成立.(直接写出答案,不需要证明)
类似题型
(10黄冈)如图,一个含45°的三角板HBE的两条直角边与正方形ABCD的两邻边重合,过E点作EF⊥AE交∠DCE的角平分线于F点,试探究线段AE与EF的数量关系,并说明理由.
5.(11舟山)以四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形,直角顶点分别为E、F、G、H,顺次连结这四个点,得四边形EFGH.
(1)如图1,当四边形ABCD为正方形时,我们发现四边形EFGH是正方形;如图2,当四边形ABCD为矩形时,请判断:
四边形EFGH的形状(不要求证明);
(2)如图3,当四边形ABCD为一般平行四边形时,设∠ADC=
(0°<
<90°),
①试用含
的代数式表示∠HAE;
②求证:
HE=HG;
③四边形EFGH是什么四边形?
并说明理由.
6.(11盐城)
情境观察
将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开,得到△ABC和△A′C′D,如图1所示.将△A′C′D的顶点A′与点A重合,并绕点A按逆时针方向旋转,使点D、A(A′)、B在同一条直线上,如图2所示.
观察图2可知:
与BC相等的线段是,∠CAC′=°.
问题探究
如图3,△ABC中,AG⊥BC于点G,以A为直角顶点,分别以AB、AC为直角边,向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF,过点E、F作射线GA的垂线,垂足分别为P、Q.试探究EP与FQ之间的数量关系,并证明你的结论.
拓展延伸
如图4,△ABC中,AG⊥BC于点G,分别以AB、AC为一边向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF,射线GA交EF于点H.若AB=kAE,AC=kAF,试探究HE与HF之间的数量关系,并说明理由.
图4
结论探究类:
1.(11临沂)如图1,奖三角板放在正方形ABCD上,使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合,三角板的一边交CD于点F,另一边交CB的延长线于点G.
(1)求证:
EF=EG;
(2)如图2,移动三角板,使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上,其他条件不变.
(1)中的结论是否仍然成立?
若成立,情给予证明;若不成立,请说明理由;
(3)如图3,将
(2)中的“ABCD”改为“矩形ABCD”,且使三角板的一边经过点B,其他条件不变,若AB=a,BC=b,求
的值.
2.(10三明)正方形ABCD中,点O是对角线AC的中点,P为对角线AC上一动点,过点P作PF⊥DC于点F,如图1,当点P与点O重合时,显然有DF=CF.
(1)如图2,若点P在线段AO上(不与A、O重合0,PE⊥PB且PE交CD点E.
①求证:
DF=EF;②写出线段PC、PA、CE之间的一个等量关系式,并证明
你的结论;
(2)若点P在线段CA的延长线上,PE⊥PB且PE交直线CD于点E.请完成图3并判断
(1)中的结论①、②是否成立?
若不成立,写出相应的结论(所写结论均不必证明)
3.(11潍坊)已知正方形ABCD的边长为a,两条对角线AC、BD相交于点O,P是射线AB上任意一点,过P点分别做直线AC、BD的垂线PE、PF,垂足为E、F.
(1)如图1,当P点在线段AB上时,求PE+PF的值;
(2)如图2,当P点在线段AB的延长线上时,求PE-PF的值.
4.(2010湖南衡阳)如图,在正方形ABCD中,点E、F分别在BC、CD上移动,但A到EF的距离AH始终保持与AB长相等,问在E、F移动过程中:
(1)∠EAF的大小是否有变化?
请说明理由.
(2)△ECF的周长是否有变化?
请说明理由.
5.如图1,在△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,四边形DEFG为△ABC的内接正方形,若设正方形的边长为x,容易算出x的长为
.
探究与计算:
(1)如图2,若三角形内有并排的两个全等的正方形,它们组成的矩形内接于△ABC,则正方形的边长为;
(2)如图3,若三角形内有并排的三个全等的正方形,它们组成的矩形内接于
△ABC,则正方形的边长为.
猜想与证明:
如图4,若三角形内有并排的n个全等的正方形,它们组成的矩形内接于△ABC,请你猜想正方形的边长是多少?
并对你的猜想进行证明.
6.操作:
将一把三角尺放在边长为4的正方形ABCD上,并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动,直角的一边始终经过点B,另一边与射线DC相交于点Q探究:
设A、P两点间的距离为x.
(1)当点Q在边CD上时,线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系?
试证明你的结论.
(2)当点P在线段AC上滑动时,△PCQ是否可能成为等腰三角形?
如果可能,指出所有可能的情况,并求出相应的x的值.
旋转动点类:
1.(10宁德)如图,四边形ABCD是正方形,△ABE是等边三角形,M为对角线BD(不含B点)上任意一点,将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,连接EN、AM、CM.
⑴求证:
△AMB≌△ENB;
⑵①当M点在何处时,AM+CM的值最小;
②当M点在何处时,AM+BM+CM的值最小,并说明理由;
⑶当AM+BM+CM的最小值为
时,求正方形的边长.
2.(11南通)已知:
如图1,O为正方形ABCD的中心,分别延长OA到点F,OD到点E,使OF=2OA,OE=2OD,连结EF,将△FOE绕点O逆时针旋转α角得到△
(如图2).
(1)探究AE′与BF'的数量关系,并给予证明;
(2)
当α=30°时,求证:
△AOE′为直角三角形.
3.(11泰州)在平面直角坐标系xoy中,边长为a(a为大于0的常数)的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P,顶点A在x轴正半轴上运动,顶点B在y轴正半轴上运动(x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O),顶点C、D都在第一象限.
(1)当∠BAO=45°时,求点P的坐标;
(2)求证:
无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动,点P都在∠AOB的平分线上;
(3)设点P到x轴的距离为h,试确定h的取值范围,并说明理由.
4.(10常德)如图10,若四边形ABCD、四边形GFED都是正方形,显然图中有AG=CE,AG⊥CE.
(1)当正方形GFED绕D旋转到如图11的位置时,AG=CE是否成立?
若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.
(2)当正方形GFED绕D旋转到如图12的位置时,延长CE交AG于H,交AD于M.
①求证:
AG⊥CH;
A
B
C
D
E
F
G
图11
A
B
C
D
E
F
G
图10
B
A
C
D
E
F
G
H
图12
M
②当AD=4,DG=
时,求CH的长.
5.操作:
如图,已知正方形ABCD与CEFG的边长分别为a、b(a>b),连结DE、AF.固定正方形ABCD,将正方形CEFG绕顶点C逆时针旋转角度α(0°<α<180°).
探究:
在图形的旋转变换中,我们发现,DE、AF的长度
也随旋转而发生着变化.为探究AF与DE之间的函数关系,
设DE=x,AF=y.
(1)若a=4cm,b=2cm,则在旋转过程中,函数值y的
取值范围为_______________;
(2)对于旋转角度α为锐角和钝角这两种情形,分别在如下的备用图中画出相应的图形
;
(3)探究y与x的函数关系式
6.(10年顺义)已知正方形纸片ABCD的边长为2.
操作:
如图1,将正方形纸片折叠,使顶点A落在边CD上的点P处(点P与C、D不重合),折痕为EF,折叠后AB边落在PQ的位置,PQ与BC交于点G.
探究:
(1)观察操作结果,找到一个与
相似的三角形,并证明你的结论;
(2)当点P位于CD中点时,你找到的三角形与
周长的比是多少(图2为备用图)?
7.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=6cm,正方形DEFG的边长为2cm,其一边EF在BC所在的直线L上,开始时点F与点C重合,让正方形DEFG沿直线L向右以每秒1cm的速度作匀速运动,最后点E与点B重合.
(1)请直接写出该正方形运动6秒时与直角ABC重叠部分面积的大小;
(2)设运动时间为x(秒),运动过程中正方形DEFG与Rt△ABC重叠部分的面积为y.
①在该正方形运动6秒后至运动停止前这段时间内,求y与x之间的函数关系式;
②在该正方形整个运动过程中,求x为何值时,y的值为0.5?
8.如图,等腰Rt△MNQ与正方形ABCD中,∠MNQ=90°,正方形ABCD的边长为4cm,MQ与AB在同一直线上,MQ=6cm,NQ、BC相交于点K,设Rt△MNQ与正方形ABCD的面积分别为S1、S2.
(1)直接写出S1、S2的值;
(2)当Q点在射线AB上平行移动时,△MNQ也随之移动,在上述平行移动过程中,试求△MNQ与正方形ABCD的重叠部分的面积y与AQ长度x(cm)之间的函数关系式;
(3)当MA=BQ时,将△MNQ沿MN翻折,使Q点落在Q'处,试求翻折后所得的△MNQ'与正方形ABCD的重叠部分的面积.
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- 九年级 正方形 载体 中考 综合