高考数学理科一轮复习幂函数学案含答案.docx

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高考数学理科一轮复习幂函数学案含答案

高考数学（理科）一轮复习幂函数学案含答案

学案9　幂函数

导学目标：

1了解幂函数的概念2结合函数＝x，＝x2，＝x3，＝1x，＝x12的图象，了解它们的变化情况．自主梳理

1．幂函数的概念

形如______的函数叫做幂函数，其中____是自变量，____是常数．

2．幂函数的性质

（1）五种常见幂函数的性质，列表如下：

定义域值域奇偶性单调性过定点

＝xRR奇↗（1,1）

＝x2R[0，＋∞）偶[0，＋∞）↗

（－∞，0]↙

＝x3RR奇↗

＝

[0，＋∞）[0，＋∞）非奇

非偶[0，＋∞）↗

＝x－1（－∞，0）

∪（0，＋∞）（－∞，0）

∪（0，＋∞）奇（－∞，0）↙

（0，＋∞）↙

（2）所有幂函数在________上都有定义，并且图象都过点（1,1），且在第____象限无图象．

（3）α>0时，幂函数的图象通过点________________，并且在区间（0，＋∞）上是________，α<0时，幂函数在（0，＋∞）上是减函数，图象________原点．

自我检测

1．（2011•石家庄月考）如图中曲线是幂函数＝xn在第一象限的图象．已知n取±2，±12四个值，则相应于曲线1，2，3，4的n值依次为（　　）A．－2，－12，12，2

B．2，12，－12，－2

．－12，－2,2，12

D．2，12，－2，－12

2．已知函数：

①＝2x；②＝lg2x；③＝x－1；④＝则下列函数图象（在第一象限部分）从左到右依次与函数序号的正确对应顺序是（　　）

A．②①③④B．②③①④

．④①③②D．④③①②

3．（2011•沧州模拟）设α∈{－1,1，12，3}，则使函数＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为（　　）

A．1,3B．－1,1．－1,3D．－1,1,3

4．与函数＝xx＋1的图象形状一样的是（　　）

A．＝2xB．＝lg2x．＝1xD．＝x＋1

．已知点（33，33）在幂函数f（x）的图象上，则f（x）的表达式是（　　）

A．f（x）＝x3B．f（x）＝x－3

．f（x）＝D．f（x）＝探究点一　幂函数的定义与图象

例1　已知幂函数f（x）的图象过点（2，2），幂函数g（x）的图象过点（2，14）．

（1）求f（x），g（x）的解析式；

（2）求当x为何值时：

①f（x）>g（x）；②f（x）＝g（x）；③f（x）<g（x）．

变式迁移1　若点（2，2）在幂函数f（x）的图象上，点（－2，14）在幂函数g（x）的图象上，定义h（x）＝f（x），f（x）≤g（x），g（x），f（x）>g（x），

试求函数h（x）的最大值以及单调区间．

探究点二　幂函数的单调性

例2　比较下列各题中值的大小．

（1），；

（2），；

（3），；（4），和

变式迁移2　

（1）比较下列各组值的大小：

①________；

②020________0403

（2）已知（0713）<（1307），则的取值范围是__________________________．

探究点三　幂函数的综合应用

例3　（2011•葫芦岛模拟）已知函数f（x）＝（∈N*）的图象关于轴对称，且在（0，＋∞）上是减函数，求满足<的a的范围．

变式迁移3　已知幂函数f（x）＝（∈N*）

（1）试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；

（2）若该函数还经过点（2，2），试确定的值，并求满足条f（2－a）>f（a－1）的实数a的取值范围．

1．幂函数＝xα（α∈R），其中α为常数，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数α为常数，这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准．

2．在（0,1）上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴（简记为“指大图低”），在（1，＋∞）上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴．幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．（满分：

7分）

一、选择题（每小题分，共2分）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．右图是函数＝（，n∈N*，、n互质）的图象，则（　　）A．，n是奇数，且n<1

B．是偶数，n是奇数，且n>1

．是偶数，n是奇数，且n<1

D．是奇数，n是偶数，且n>1

2．（2010•陕西）下列四类函数中，具有性质“对任意的x>0，>0，函数f（x）满足f（x＋）＝f（x）f（）”的是（　　）

A．幂函数B．对数函数

．指数函数D．余弦函数

3．下列函数图象中，正确的是（　　）

4．（2010•安徽）设a＝，b＝，＝，则a，b，的大小关系是（　　）

A．a>>bB．a>b>

．>a>bD．b>>a

．下列命题中正确的是（　　）

①幂函数的图象都经过点（1,1）和点（0,0）；

②幂函数的图象不可能在第四象限；

③当n＝0时，函数＝xn的图象是一条直线；

④幂函数＝xn当n>0时是增函数；

⑤幂函数＝xn当n<0时在第一象限内函数值随x值的增大而减小．

A．①和④B．④和⑤

．②和③D．②和⑤

题号1234

答案

二、填空题（每小题4分，共12分）

6．（2011•邯郸模拟）若幂函数＝的图象不经过原点，则实数的值为________．

7．已知a＝xα，b＝，＝，x∈（0,1），α∈（0,1），则a，b，的大小顺序是________．

8．已知函数f（x）＝xα（0<α<1），对于下列命题：

①若x>1，则f（x）>1；②若0<x<1，则0<f（x）<1；③当x>0时，若f（x1）>f（x2），则x1>x2；④若0<x1<x2，则f（x1）x1<f（x2）x2

其中正确的命题序号是________．

三、解答题（共38分）

9．（12分）设f（x）是定义在R上以2为最小正周期的周期函数．当－1≤x<1时，＝f（x）的表达式是幂函数，且经过点（12，18）．求函数在[2－1,2＋1）（∈Z）上的表达式．

10．（12分）已知f（x）＝（n＝2，∈Z）的图象在[0，＋∞）上单调递增，解不等式f（x2－x）>f（x＋3）．

11．（14分）（2011•荆州模拟）已知函数f（x）＝（∈Z）满足f

（2）<f（3）．

（1）求的值并求出相应的f（x）的解析式；

（2）对于

（1）中得到的函数f（x），试判断是否存在q>0，使函数g（x）＝1－qf（x）＋（2q－1）x在区间[－1,2]上的值域为[－4，178]？

若存在，求出q；若不存在，请说明理由．

答案自主梳理

1．＝xα　x　α　2

（2）（0，＋∞）　四　（3）（0,0），（1,1）　增函数　不过

自我检测

1．B　[方法一　由幂函数的图象与性质，n<0时不过原点，故3，4对应的n值均为负，1，2对应的n值均为正；

由增（减）快慢知n

（1）>n

（2）>n（3）>n（4）．

故1，2，3，4的n值依次为

2，12，－12，－2

方法二　作直线x＝2分别交1，2，3，4于点A1，A2，A3，A4，则其对应点的纵坐标显然为22,，，2－2，故n值分别为2，12，－12，－2]

2．D　[第一个图象过点（0,0），与④对应；第二个图象为反比例函数图象，表达式为＝x，③＝x－1恰好符合，

∴第二个图象对应③；

第三个图象为指数函数图象，表达式为＝ax，且a>1，①＝2x恰好符合，∴第三个图象对应①；

第四个图象为对数函数图象，表达式为＝lgax，且a>1，②＝lg2x恰好符合，∴第四个图象对应②

∴四个函数图象与函数序号的对应顺序为④③①②]

3．A　4　B

堂活动区

例1　解　

（1）设f（x）＝xα，

∵图象过点（2，2），故2＝

（2）α，

解得α＝2，∴f（x）＝x2

设g（x）＝xβ，∵图象过点（2，14），

∴14＝2β，解得β＝－2

∴g（x）＝x－2

（2）在同一坐标系下作出f（x）＝x2与g（x）＝x－2的图象，如图所示．

由图象可知，f（x），g（x）的图象均过点（－1，1）和（1,1）．

∴①当x>1，或x<－1时，f（x）>g（x）；

②当x＝1，或x＝－1时，f（x）＝g（x）；

③当－1<x<1且x≠0时，f（x）<g（x）．

变式迁移1　解　求f（x），g（x）解析式及作出f（x），g（x）的图象同例1，

如例1图所示，

则有：

h（x）＝x－2，x<－1或x>1，x2，－1≤x≤1

根据图象可知函数h（x）的最大值为1，单调增区间为（－∞，－1）和（0,1）；单调减区间为（－1,0）和（1，＋∞）．

例2　解题导引　比较两个幂的大小关键是搞清楚是底数相同，还是指数相同，若底数相同，利用指数函数的性质；若指数相同，利用幂函数的性质；若底数、指数皆不相同，考虑用中间值法，常用0和1“搭桥”进行分组．

解　

（1）函数＝3x是增函数，∴308>307

（2）函数＝x3是增函数，∴0213<0233

（3）∵，

∴

（4）＝1；0<＝1；

<0，∴

变式迁移2　

（1）①<　②<

（2）>0

解析　根据幂函数＝x13的图象，

当0<x<1时，0<<1，∴0<0713<1

又根据幂函数＝x07的图象，

当x>1时，>1，∴1307>1

于是有0713<1307

对于幂函数＝x，由（0713）<（1307）知，当x>0时，随着x的增大，函数值也增大，∴>0

例3　解　∵函数f（x）在（0，＋∞）上递减，

∴2－2－3<0，解得－1<<3

∵∈N*，∴＝1,2

又函数的图象关于轴对称，

∴2－2－3是偶数，

而22－2×2－3＝－3为奇数，

12－2×1－3＝－4为偶数，

∴＝1

而＝在（－∞，0），（0，＋∞）上均为减函数，

∴<等价于a＋1>3－2a>0，

或0>a＋1>3－2a，或a＋1<0<3－2a，

解得a<－1或23<a<32

故a的范围为{a|a<－1或23<a<32}．

变式迁移3　解　

（1）2＋＝（＋1），∈N*，

而与＋1中必有一个为偶数，

∴（＋1）为偶数．

∴函数f（x）＝（∈N*）的定义域为[0，＋∞），并且在定义域上为增函数．

（2）∵函数f（x）经过点（2，2），

∴2＝，即

∴2＋＝2

解得＝1或＝－2

又∵∈N*，∴＝1

由f（2－a）>f（a－1）得2－a≥0，a－1≥02－a>a－1

解得1≤a<32

∴a的取值范围为[1，32）．

后练习区

1．　[由图象知，函数为偶函数，

∴为偶数，n为奇数．

又函数图象在第一限内上凸，∴n<1]

2．　[∵（x＋）α≠xα•α，

∴幂函数f（x）＝xα不具有此性质．

∵lga（x＋）≠lgax•lga，

∴对数函数f（x）＝lgax不具有此性质．

∵ax＋＝ax•a，∴指数函数f（x）＝ax具有此性质．

∵s（x＋）≠sx•s，

∴余弦函数＝sx不具有此性质．]

3．　[对A、B，由＝x＋a知a>1，可知A、B图象不正确；

D中由＝x＋a知0<a<1，∴＝lgax应为减函数，D错．]

4．A　[∵＝在x∈（0，＋∞）递增，

∴，即a>，

∵＝

（2）x在x∈（－∞，＋∞）递减，

∴，即>b，

∴a>>b]

．D

6．1或2

解析　由2－3＋3＝12－－2≤0解得＝1或2

经检验＝1或2都适合．

7．<a<b

解析　∵α∈（0,1），∴1α>α>α2

又∵x∈（0,1），∴<xα<，即<a<b

8．①②③解析　作出＝xα（0<α<1）在第一象限内的图象，如图所示，

可判定①②③正确，

又fxx表示图象上的点与原点连线的斜率，

当0<x1<x2时应有fx1x1>fx2x2，故④错．

9．解　设在[－1,1）中，f（x）＝xn，

由点（12，18）在函数图象上，求得n＝3……………………………………………………（4分）

令x∈[2－1,2＋1），则x－2∈[－1,1），

∴f（x－2）＝（x－2）3……………………………………………………………………（8分）

又f（x）周期为2，∴f（x）＝f（x－2）＝（x－2）3

即f（x）＝（x－2）3（∈Z）．………………………………………………………………（12分）

10．解　由条知1－n2＋2n＋3>0，

－n2＋2n＋3>0，解得－1<n<3…………………………………………………………（4分）

又n＝2，∈Z，∴n＝0,2

当n＝0,2时，f（x）＝x13，

∴f（x）在R上单调递增．…………………………………………………………………（8分）

∴f（x2－x）>f（x＋3）转化为x2－x>x＋3

解得x<－1或x>3

∴原不等式的解集为（－∞，－1）∪（3，＋∞）．………………………………………（12分）

11．解　

（1）∵f

（2）<f（3），

∴f（x）在第一象限是增函数．

故－2＋＋2>0，解得－1<<2

又∵∈Z，∴＝0或＝1

当＝0或＝1时，－2＋＋2＝2，

∴f（x）＝x2…………………………………………………………………………………（6分）

（2）假设存在q>0满足题设，由

（1）知

g（x）＝－qx2＋（2q－1）x＋1，x∈[－1,2]．

∵g

（2）＝－1，∴两个最值点只能在端点（－1，g（－1））和顶点（2q－12q，4q2＋14q）处取得．

……………………………………………………………………………………………（8分）

而4q2＋14q－g（－1）＝4q2＋14q－（2－3q）＝4q－124q≥0，

∴g（x）ax＝4q2＋14q＝178，…………………………………………………………………（12分）

g（x）in＝g（－1）＝2－3q＝－4

解得q＝2∴存在q＝2满足题意．……………………………………………………（14分）