人教A版高中数学必修二浙江专版学案23直线平面垂直的判定及其性质附答案.docx
- 文档编号:23774655
- 上传时间:2023-05-20
- 格式:DOCX
- 页数:68
- 大小:430.76KB
人教A版高中数学必修二浙江专版学案23直线平面垂直的判定及其性质附答案.docx
《人教A版高中数学必修二浙江专版学案23直线平面垂直的判定及其性质附答案.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《人教A版高中数学必修二浙江专版学案23直线平面垂直的判定及其性质附答案.docx(68页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
人教A版高中数学必修二浙江专版学案23直线平面垂直的判定及其性质附答案
2.3
2.3.1 直线与平面垂直的判定
预习课本P64~66,思考并完成以下问题
1.直线与平面垂直的定义是怎样的?
2.直线与平面垂直的判定定理是什么?
3.直线与平面所成的角是怎样定义的?
4.直线与平面所成的角的范围是什么?
1.直线与平面垂直的定义
(1)自然语言:
如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直,就说直线l与平面α互相垂直,记作l⊥α.直线l叫做平面α的垂线,平面α叫做直线l的垂面.直线与平面垂直时,它们惟一的公共点P叫做垂足.
(2)图形语言:
如图.
画直线l与平面α垂直时,通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直.
(3)符号语言:
任意a⊂α,都有l⊥a⇒l⊥α.
[点睛]
(1)直线与平面垂直是直线与平面相交的特殊情形.
(2)注意定义中“任意一条直线”与“所有直线”等同但不可说成“无数条直线”.
2.直线与平面垂直的判定定理
(1)自然语言:
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直.
(2)图形语言:
如图所示.
(3)符号语言:
a⊂α,b⊂α,a∩b=P,l⊥a,l⊥b⇒l⊥α.
[点睛] 判定定理条件中的“两条相交直线”是关键性词语,此处强调“相交”,若两条直线平行,则直线与平面不一定垂直.
3.直线与平面所成的角
(1)定义:
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角.
如图,∠PAO就是斜线AP与平面α所成的角.
(2)当直线AP与平面垂直时,它们所成的角是90°.
(3)当直线与平面平行或在平面内时,它们所成的角是0°.
(4)线面角θ的范围:
0°≤θ≤90°.
[点睛] 把握定义应注意两点:
①斜线上不同于斜足的点P的选取是任意的;②斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线而不是线段.
1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若直线l垂直于平面α,则l与平面α内的直线可能相交,可能异面,也可能平行( )
(2)若a∥b,a⊂α,l⊥α,则l⊥b( )
(3)若a⊥b,b⊥α,则a∥α( )
答案:
(1)×
(2)√ (3)×
2.直线l与平面α内的两条直线都垂直,则直线l与平面α的位置关系是( )
A.平行 B.垂直
C.在平面α内D.无法确定
解析:
选D 当平面α内的两条直线相交时,直线l⊥平面α,即l与α相交,当平面α内的两直线平行时,l⊂α或l∥α或l与α垂直或l与α斜交.
3.如图,∠BCA=90°,PC⊥平面ABC,则在△ABC,△PAC的边所在的直线中:
(1)与PC垂直的直线有________________________________________________________________________;
(2)与AP垂直的直线有________________________________________________________________________.
解析:
(1)∵PC⊥平面ABC,AB,AC,BC⊂平面ABC.
∴PC⊥AB,PC⊥AC,PC⊥BC.
(2)∠BCA=90°,即BC⊥AC,又BC⊥PC,AC∩PC=C,∴BC⊥平面PAC,∴BC⊥AP.
答案:
(1)AB,AC,BC
(2)BC
对直线与平面垂直的判定定理的理解
[典例] 下列说法正确的有________(填序号).
①垂直于同一条直线的两条直线平行;
②如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直,那么这条直线就一定不与这个平面垂直;
③如果一条直线垂直于平面内的两条直线,那么这条直线与这个平面垂直;
④若l与平面α不垂直,则平面α内一定没有直线与l垂直.
[解析] 因为空间内与一条直线同时垂直的两条直线可能相交,可能平行,也可能异面,故①不正确.
由线面垂直的定义可得,故②正确.
因为这两条直线可能是平行直线,故③不正确.
如图,l与α不垂直,但a⊂α,l⊥a,故④不正确.
[答案] ②
(1)对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”说法与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事,后者说法是不正确的,它可以使直线与平面斜交.
(2)判定定理中要注意必须是平面内两相交直线.
[活学活用]
1.若三条直线OA,OB,OC两两垂直,则直线OA垂直于( )
A.平面OAB B.平面OAC
C.平面OBCD.平面ABC
解析:
选C ∵OA⊥OB,OA⊥OC,OB∩OC=O,OB,OC⊂平面OBC,∴OA⊥平面OBC.
2.如果一条直线垂直于一个平面内的:
①三角形的两边;②梯形的两边;③圆的两条直径;④正五边形的两边.能保证该直线与平面垂直的是________(填序号).
解析:
根据直线与平面垂直的判定定理,平面内这两条直线必须是相交的,①③④中给定的两直线一定相交,能保证直线与平面垂直.而②梯形的两边可能是上、下底边,它们互相平行,不满足定理条件.故填①③④.
答案:
①③④
线面垂直的判定
[典例] 如图,在三棱锥SABC中,∠ABC=90°,D是AC的中点,且SA=SB=SC.
(1)求证:
SD⊥平面ABC;
(2)若AB=BC,求证:
BD⊥平面SAC.
[证明]
(1)因为SA=SC,D是AC的中点,
所以SD⊥AC.在Rt△ABC中,AD=BD,
由已知SA=SB,
所以△ADS≌△BDS,
所以SD⊥BD.又AC∩BD=D,
所以SD⊥平面ABC.
(2)因为AB=BC,D为AC的中点,
所以BD⊥AC.由
(1)知SD⊥BD.
又因为SD∩AC=D,所以BD⊥平面SAC.
利用线面垂直的判定定理证明线面垂直的步骤
(1)在这个平面内找两条直线,使它和这条直线垂直;
(2)确定这个平面内的两条直线是相交的直线;
(3)根据判定定理得出结论.
[活学活用]
如图,AB为⊙O的直径,PA垂直于⊙O所在的平面,M为圆周上任意一点,AN⊥PM,N为垂足.
(1)求证:
AN⊥平面PBM.
(2)若AQ⊥PB,垂足为Q,求证:
NQ⊥PB.
证明:
(1)∵AB为⊙O的直径,
∴AM⊥BM.
又PA⊥平面ABM,∴PA⊥BM.
又∵PA∩AM=A,∴BM⊥平面PAM.
又AN⊂平面PAM,∴BM⊥AN.
又AN⊥PM,且BM∩PM=M,
∴AN⊥平面PBM.
(2)由
(1)知AN⊥平面PBM,
PB⊂平面PBM,∴AN⊥PB.
又∵AQ⊥PB,AN∩AQ=A,
∴PB⊥平面ANQ.
又NQ⊂平面ANQ,∴PB⊥NQ.
直线与平面所成角
[典例] 三棱锥SABC的所有棱长都相等且为a,求SA与底面ABC所成角的余弦值.
[解] 如图,过S作SO⊥平面ABC于点O,连接AO,BO,CO.则SO⊥AO,SO⊥BO,SO⊥CO.
∵SA=SB=SC=a,
∴△SOA≌△SOB≌△SOC,
∴AO=BO=CO,
∴O为△ABC的外心.
∵△ABC为正三角形,
∴O为△ABC的中心.
∵SO⊥平面ABC,
∴∠SAO即为SA与平面ABC所成的角.
在Rt△SAO中,SA=a,AO=×a=a,
∴cos∠SAO==,
∴SA与底面ABC所成角的余弦值为.
求斜线与平面所成的角的步骤
(1)作角:
作(或找)出斜线在平面上的射影,将空间角(斜线与平面所成的角)转化为平面角(两条相交直线所成的锐角),作射影要过斜线上一点作平面的垂线,再过垂足和斜足(有时可以是两垂足)作直线,注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关,才能便于计算.
(2)证明:
证明某平面角就是斜线与平面所成的角.
(3)计算:
通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算.
[活学活用]
在正方体ABCDA1B1C1D1中,
(1)直线A1B与平面ABCD所成的角的大小为________;
(2)直线A1B与平面ABC1D1所成的角的大小为________;
(3)直线A1B与平面AB1C1D所成的角的大小为________.
解析:
(1)由线面角定义知,∠A1BA为A1B与平面ABCD所成的角,∠A1BA=45°.
(2)如图,连接A1D,设A1D∩AD1=O,连接BO,则易证A1D⊥平面ABC1D1,∴A1B在平面ABC1D1内的射影为OB,∴A1B与平面ABC1D1所成的角为∠A1BO.∵A1O=A1B,∴∠A1BO=30°.
(3)∵A1B⊥AB1,A1B⊥B1C1,
∴A1B⊥平面AB1C1D,
即A1B与平面AB1C1D所成的角的大小为90°.
答案:
(1)45°
(2)30° (3)90°
层级一 学业水平达标
1.已知m和n是两条不同的直线,α和β是两个不重合的平面,那么下面给出的条件中,一定能推出m⊥β的是( )
A.α∥β,且m⊂α B.m∥n,且n⊥β
C.m⊥n,且n⊂βD.m⊥n,且n∥β
解析:
选B A中,由α∥β,且m⊂α,知m∥β;B中,由n⊥β,知n垂直于平面β内的任意直线,再由m∥n,知m也垂直于β内的任意直线,所以m⊥β,符合题意;C、D中,m⊂β或m∥β或m与β相交,不符合题意,故选B.
2.若两条不同的直线与同一平面所成的角相等,则这两条直线( )
A.平行B.相交
C.异面D.以上皆有可能
解析:
选D 在正方体ABCDA1B1C1D1中,A1A,B1B与底面ABCD所成的角相等,此时两直线平行;A1B1,B1C1与底面ABCD所成的角相等,此时两直线相交;A1B1,BC与底面ABCD所成的角相等,此时两直线异面.故选D.
3.下列四个命题中,正确的是( )
①若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,则这条直线与这个平面垂直;
②若一条直线平行于一个平面,则垂直于这条直线的直线必垂直于这个平面;
③若一条直线平行于一个平面,另一条直线垂直于这个平面,则这两条直线互相垂直;
④若两条直线垂直,则过其中一条直线有惟一一个平面与另一条直线垂直.
A.①②B.②③
C.②④D.③④
解析:
选D ①②不正确.
4.如图,α∩β=l,点A,C∈α,点B∈β,且BA⊥α,BC⊥β,那么直线l与直线AC的关系是( )
A.异面B.平行
C.垂直D.不确定
解析:
选C ∵BA⊥α,α∩β=l,l⊂α,∴BA⊥l.同理BC⊥l.又BA∩BC=B,∴l⊥平面ABC.∵AC⊂平面ABC,∴l⊥AC.
5.如图所示,若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍,则AB与平面α所成的角是( )
A.60°B.45°
C.30°D.120°
解析:
选A ∠ABO即是斜线AB与平面α所成的角,
在Rt△AOB中,AB=2BO,所以cos∠ABO=,
即∠ABO=60°.
6.已知直线l,a,b,平面α,若要得到结论l⊥α,则需要在条件a⊂α,b⊂α,l⊥a,l⊥b中另外添加的一个条件是________.
答案:
a,b相交
7.如图所示,三棱锥PABC中,PA⊥平面ABC,PA=AB,则直线PB与平面ABC所成的角等于________.
解析:
因为PA⊥平面ABC,所以斜线PB在平面ABC上的射影为AB,所以∠PBA即为直线PB与平面ABC所成的角.在△PAB中,∠BAP=90°,PA=AB,所以∠PBA=45°,即直线PB与平面ABC所成的角等于45°.
答案:
45°
8.已知PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面,若PC⊥BD,则平行四边形ABCD一定是________.
解析:
如图,∵PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,∴BD⊥PA.又BD⊥PC,PA∩PC=P,∴BD⊥平面PAC.又AC⊂平面PAC,∴BD⊥AC.∴平行四边形ABCD为菱形.
答案:
菱形
9.
如图,在四面体ABCD中,∠BDC=90°,AC=BD=2,E,F分别为AD,BC的中点,且EF=.
求证:
BD⊥平面ACD.
证明:
取CD的中点为G,连接EG,FG.
又∵E,F分别为AD,BC的中点,∴FG∥BD,EG∥AC.
∵AC=BD=2,则EG=FG=1.
∵EF=,∴EF2=EG2+FG2,∴EG⊥FG,
∴BD⊥EG.
∵∠BDC=90°,∴BD⊥CD.
又EG∩CD=G,∴BD⊥平面ACD.
10.
在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,E是A1B1的中点,求直线AE与平面ABC1D1所成的角的正弦值.
解:
如图,取CD的中点F,连接EF交平面ABC1D1于O,连接AO,B1C.
由ABCDA1B1C1D1为正方体,易得B1C⊥BC1,B1C⊥D1C1,BC1∩D1C1=C1,BC1⊂平面ABC1D1,D1C1⊂平面ABC1D1,∴B1C⊥平面ABC1D1.
∵E,F分别为A1B1,CD的中点,∴EF∥B1C,∴EF⊥平面AC1,即∠EAO为直线AE与平面ABC1D1所成的角.
在Rt△EOA中,EO=EF=B1C=,
AE===,
∴sin∠EAO==.
∴直线AE与平面ABC1D1所成的角的正弦值为.
层级二 应试能力达标
1.在正方体ABCDA1B1C1D1中,与AD1垂直的平面是 ( )
A.平面DD1C1C B.平面A1DB1
C.平面A1B1C1D1D.平面A1DB
答案:
B
2.下面四个命题:
①过一点和一条直线垂直的直线有且只有一条;
②过一点和一个平面垂直的直线有且只有一条;
③过一点和一条直线垂直的平面有且只有一个;
④过一点和一个平面垂直的平面有且只有一个.
其中正确的是( )
A.①④B.②③
C.①②D.③④
解析:
选B 过一点和一条直线垂直的直线有无数条,故①不正确;过一点和一个平面垂直的平面有无数个,故④不正确;易知②③均正确.故选B.
3.设l,m是两条不同的直线,α是一个平面,则下列命题正确的是( )
A.若l⊥m,m⊂α,则l⊥αB.若l⊥α,l∥m,则m⊥α
C.若l∥α,m⊂α,则l∥mD.若l∥α,m∥α,则l∥m
解析:
选B 根据两条平行线中的一条直线垂直于一个平面,则另一条直线也垂直于这个平面,知选项B正确.
4.如图,四棱锥SABCD的底面为正方形,SD⊥底面ABCD,则下列结论中不正确的是( )
A.AC⊥SB
B.AB∥平面SCD
C.SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角
D.AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角
解析:
选D 选项A正确,因为SD垂直于平面ABCD,而AC在平面ABCD内,所以AC垂直于SD;再由ABCD为正方形,所以AC垂直于BD,而BD与SD相交,所以AC垂直于平面SBD,进而垂直于SB.
选项B正确,因为AB平行于CD,而CD在平面SCD内,AB不在平面SCD内,所以AB平行于平面SCD.
选项C正确,设AC与BD的交点为O,连接SO,则SA与平面SBD所成的角就是∠ASO,SC与平面SBD所成的角就是∠CSO,易知这两个角相等.
选项D错误,AB与SC所成的角等于∠SCD,而DC与SA所成的角是∠SAB,这两个角不相等.
5.如图,在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中,E是AD的中点,F是BB1的中点,则直线EF与平面ABCD所成角的正切值为________.
解析:
连接EB,由BB1⊥平面ABCD,知∠FEB即
直线EF与平面ABCD所成的角.在Rt△FBE中,BF=1,BE=,则tan∠FEB=.
答案:
6.如图所示,将平面四边形ABCD沿对角线AC折成空间四边形,当平面四边形ABCD满足________时,空间四边形中的两条对角线互相垂直.(填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能情况)
解析:
在平面四边形中,设AC与BD交于E,假设AC⊥BD,则AC⊥DE,AC⊥BE.
折叠后,AC与DE,AC与BE依然垂直,所以AC⊥平面BDE,所以AC⊥BD.若四边形ABCD为菱形或正方形,因为它们的对角线互相垂直,同上可证AC⊥BD.
答案:
AC⊥BD(或四边形ABCD为菱形、正方形等)
7.如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=AA1.
(1)求证:
AB1⊥平面A1BC1.
(2)若D为B1C1的中点,求AD与平面A1B1C1所成角的正弦值.
解:
(1)证明:
由题意知四边形AA1B1B是正方形,
∴AB1⊥BA1.
由AA1⊥平面A1B1C1得AA1⊥A1C1.
又∵A1C1⊥A1B1,AA1∩A1B1=A1,
∴A1C1⊥平面AA1B1B,
又∵AB1⊂平面AA1B1B,
∴A1C1⊥AB1.
又∵BA1∩A1C1=A1,∴AB1⊥平面A1BC1.
(2)连接A1D.设AB=AC=AA1=1,
∵AA1⊥平面A1B1C1,
∴∠A1DA是AD与平面A1B1C1所成的角.
在等腰直角三角形A1B1C1中,D为斜边的中点,
∴A1D=×B1C1=.
在Rt△A1DA中,AD==.
∴sin∠A1DA==,
即AD与平面A1B1C1所成角的正弦值为.
8.如图,直三棱柱ABCA1B1C1中,AC=BC=1,∠ACB=90°,AA1=,D是A1B1的中点.
(1)求证C1D⊥平面AA1B1B;
(2)当点F在BB1上的什么位置时,会使得AB1⊥平面C1DF?
并证明你的结论.
证明:
(1)∵ABCA1B1C1是直三棱柱,
∴A1C1=B1C1=1,且∠A1C1B1=90°.
又D是A1B1的中点,
∴C1D⊥A1B1.
∵AA1⊥平面A1B1C1,C1D⊂平面A1B1C1,
∴AA1⊥C1D,又A1B1∩C1D=D,
∴C1D⊥平面AA1B1B.
(2)作DE⊥AB1交AB1于E,延长DE交BB1于F,连接C1F,则AB1⊥平面C1DF,点F为所求.
∵C1D⊥平面AA1B1B,AB1⊂平面AA1B1B,∴C1D⊥AB1.
又AB1⊥DF,DF∩C1D=D,∴AB1⊥平面C1DF.
∵AA1=A1B1=,∴四边形AA1B1B为正方形.
又D为A1B1的中点,DF⊥AB1,∴F为BB1的中点,
∴当点F为BB1的中点时,AB1⊥平面C1DF.
2.3.2 平面与平面垂直的判定
预习课本P67~69,思考并完成以下问题
1.二面角的定义、表示分别是怎样的?
2.二面角的平面角的定义、范围分别是怎样的?
3.面面垂直是怎样定义的?
4.面面垂直的判定定理的内容是什么?
1.二面角
(1)定义:
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角(如图).直线AB叫做二面角的棱,半平面α和β叫做二面角的面.
记法:
αABβ,在α,β内,分别取点P,Q时,可记作PABQ;当棱记为l时,可记作αlβ或PlQ.
(2)二面角的平面角:
①定义:
在二面角αlβ的棱l上任取一点O,如图所示,以点O为垂足,在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB,则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.
②直二面角:
平面角是直角的二面角.
[点睛] 二面角的平面角的定义是两条“射线”的夹角,不是两条直线的夹角,因此,二面角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.
2.平面与平面垂直
(1)面面垂直的定义
①定义:
如果两个平面相交,且它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.
②画法:
记作:
α⊥β.
(2)两平面垂直的判定定理:
①文字语言:
一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直.
②图形语言:
如图.
③符号语言:
AB⊥β,AB∩β=B,AB⊂α⇒α⊥β.
[点睛] 定理的关键词是“过另一面的垂线”,所以应用的关键是在平面内寻找另一个面的垂线.
1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若l⊥α,则过l有无数个平面与α垂直( )
(2)两垂直的平面的二面角的平面角大小为90°( )
答案:
(1)√
(2)√
2.在二面角αlβ的棱l上任选一点O,若∠AOB是二面角αlβ的平面角,则必须具有的条件是( )
A.AO⊥BO,AO⊂α,BO⊂β
B.AO⊥l,BO⊥l
C.AB⊥l,AO⊂α,BO⊂β
D.AO⊥l,BO⊥l,且AO⊂α,BO⊂β
答案:
D
3.对于直线m,n和平面α,β,能得出α⊥β的一组条件是( )
A.m⊥n,m∥α,n∥β B.m⊥n,α∩β=m,n⊂β
C.m∥n,n⊥β,m⊂αD.m∥n,m⊥α,n⊥β
解析:
选C A与D中α也可与β平行,B中不一定α⊥β,故选C.
面面垂直的判定
[典例] 如图,四边形ABCD为菱形,∠ABC=120°,E,F是平面ABCD同一侧的两点,BE⊥平面ABCD,DF⊥平面ABCD,BE=2DF,AE⊥EC.
证明:
平面AEC⊥平面AFC.
[证明] 如图,连接BD,设BD∩AC于点G,连接EG,FG,EF.在菱形ABCD中,不妨设GB=1.由∠ABC=120°,可得AG=GC=.
由BE⊥平面ABCD,AB=BC,可知AE=EC.
又AE⊥EC,所以EG=,且EG⊥AC.
在Rt△EBG中,可得BE=,故DF=.
在Rt△FDG中,可得FG=.
在直角梯形BDFE中,由BD=2,BE=,DF=,
可得EF=.
从而EG2+FG2=EF2,所以EG⊥FG.
又AC∩FG=G,所以EG⊥平面AFC.
因为EG⊂平面AEC,所以平面AEC⊥平面AFC.
(1)证明平面与平面垂直的方法:
①利用定义:
证明二面角的平面角为直角;
②利用面面垂直的判定定理:
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面互相垂直.
(2)根据面面垂直的定义判定两平面垂直,实质上是把问题转化成了求二面角的平面角,通常情况下利用判定定理要比定义简单些,这也是证明面面垂直的常用方法,即要证面面垂直,只要转证线面垂直,其关键与难点是在其中一个平面内寻找一直线与另一平面垂直.
[活学活用]
1.如图,已知PA⊥矩形ABCD所在的平面,则图中互相垂直的平面有( )
A.1对 B.2对
C.3对D.5对
解析:
选D ∵DA⊥AB,DA⊥PA,∴DA⊥平面PAB.同理BC⊥平面PAB,又AB⊥平面PAD,∴DC⊥平面PAD,∴平面PAD⊥平面AC,平面PAB⊥平面AC,平面PBC⊥平面PAB,平面PAB⊥平面PAD,平面PDC⊥平面PAD,共5对.
2.如图,四边形ABCD是边长为a的菱形,PC⊥平面ABCD,E是PA的中点,求证:
平面BDE⊥平面ABCD.
证明:
连接AC,设AC∩BD=O,连接OE.
因为O为AC中点,E为PA的中点,
所以EO是△PAC的中位线,
所以EO∥PC.
因为PC⊥平面ABCD,
所以EO⊥平面ABCD.
又因为EO⊂平面BDE,
所以平面BDE⊥平面ABCD.
二面角的求法
[典例]
(1)如图,在正方体ABCDA′B′C′D′中:
①二面角D′ABD的大小为________.
②二面角A′ABD的大小为________.
(2)如图,已知
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 人教 高中数学 必修 浙江 专版 23 直线 平面 垂直 判定 及其 性质 答案