初中数学七年级上数学知识点汇总.docx
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初中数学七年级上数学知识点汇总
第一章:
有理数及其运算
知识要求:
1、在具体情境中,理解有理数及其运算的意义;
2、能用数轴上的点表示有理数,会比较有理数的大小。
3、借助数轴理解相反数与绝对值的意义,会求有理数的相反数与绝对值。
4、经历探索有理数运算法则和运算律的过程;掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算;理解有理数的运算律,并能利用运算律简化运算,及能运用有理数及其运算律解决简单的实际问题。
知识重点:
绝对值的概念和有理数的运算(包括法则、运算律、运算顺序、混合运算)是本章的重点。
知识难点:
绝对值的概念及有关计算,有理数的大小比较,及有理数的运算是本章的难点。
考点:
绝对值的有关概念和计算,有理数的有关概念及混合运算是考试的重点对象。
知识点:
一、有理数的基础知识
1、三个重要的定义
(1)正数:
像1、2.5、这样大于0的数叫做正数;
(2)负数:
在正数前面加上“-”号,表示比0小的数叫做负数;(3)0即不是正数也不是负数,0是一个具有特殊意义的数字,0是正数和负数的分界,不是表示不存在或无实际意义。
概念剖析:
判断一个数是否是正数或负数,不能用数的前面加不加“+”“-”去判断,要严格按照“大于0的数叫做正数;0小的数叫做负数”去识别。
正数和负数的应用:
正数和负数通常表示具有相反意义的量。
所有正整数组成正整数集合;所有负整数组成负整数集合;正整数、0、负整数统称为整数,正整数、0、负整数组成整数集合;
常常有温差、时差、高度差(海拔差)等等差之说,其算法为高温减低温等等;
例1下列说法正确的是()
A、一个数前面有“-”号,这个数就是负数;B、非负数就是正数;
C、一个数前面没有“-”号,这个数就是正数;D、0既不是正数也不是负数;
例2把下列各数填在相应的大括号中8,,0.125,0,,,,
正整数集合整数集合
负整数集合正分数集合
例3如果向南走米记为是米,那么向北走米记为是____________,0米的意义是______________。
例4对某种盒装牛奶进行质量检测,一盒装牛奶超出标准质量2克,记作+2克,那么克表示_________________________
知识窗口:
正数和负数通常表示具有相反意义的量,一个记为正数,另一个就记为负数,我们习惯上把向东、向北、上升、盈利、运进、增加、收入、高于海平面等等规定为正,把相反意义的量规定为负。
例5若,则是;若,则是;若,则是;若,则是;(填正数、负数或0)
2、有理数的概念及分类
整数和分数统称为有理数。
有理数的分类如下:
(1)按定义分类:
(2)按性质符号分类:
概念剖析:
整数和分数统称为有理数,也就是说如果一个数是有理数,则它就一定可以化成整数或分数;
正有理数和0又称为非负有理数,负有理数和0又称为非正有理数
整数和分数都可以化成小数部分为0或小数部分不为0的小数,但并不是所有小数都是有理数,只有有限小数和无限循环小数是有理数;
例6若为无限不循环小数且,是的小数部分,则是()
A、无理数B、整数C、有理数D、不能确定
例7若为有理数,则不可能是()
A、整数B、整数和分数C、D、
3、数轴
标有原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴。
数轴有三要素:
原点、正方向、单位长度。
画一条水平直线,在直线上取一点表示0(叫做原点),选取某一长度作为单位长度,规定直线上向右的方向为正方向,就得到数轴。
在数轴上所表示的数,右边的数总比左边的数大,即从数轴的左边到右边所对应的数逐渐变大,所以正数都大于0,负数都小于0,正数大于负数。
概念剖析:
画数轴时数轴的三要素原点、正方向、单位长度缺一不可;
数轴的方向不一定都是水平向右的,数轴的方向可以是任意的方向;
数轴上的单位长度没有明确的长度,但单位长度与单位长度要保持相等;
有理数在数轴上都能找到点与之对应,一般地,设是一个正数,则数轴上表示数的点在原点的右边,与原点的距离是个单位长度;表示数的点在原点的左边,与原点的距离是个单位长度。
在数轴上求任意两点a、b的距离L,则有公式,这两个公式选择那个都一样。
例8在数轴上表示数3的点到表示数的点之间的距离是10,则数;若在数轴上表示数3的点到表示数的点之间的距离是,则数。
例9a,b两数在数轴上的位置如图,则下列正确的是()
A、a+b<0B、ab<0C、<0D、
例10下列数轴画正确的是()
4、相反数
如果两个数只有符号不同,那么其中一个数就叫另一个数的相反数。
0的相反数是0,互为相反的两个数,在数轴上位于原点的两则,并且与原点的距离相等。
概念剖析:
“如果两个数只有符号不同,那么其中一个数就叫另一个数的相反数”,不要茫然的认为“如果两个数符号不同,那么其中一个数就叫另一个数的相反数”。
很显然,数的相反数是,即与互为相反数。
要把它与倒数区分开。
互为相反数的两个数在数轴上对应的点一个在原点的左边,一个在原点的右边,且离原点的距离相等,也就是说它们关于原点对称。
在数轴上离某点的距离等于的点有两个。
如果数和数互为相反数,则+=0;或;
求一个数的相反数,只要在这个数的前面加上“—”即可;例如的相反数是;
例11下列说法正确的是()
A、若两个数互为相反数,则这两个数一定是一个正数,一个负数;
B、如果两个数互为相反数,则它们的商为-1;
C、如果+=0,则数和数互为相反数;
D、互为相反数的两个数一定不相等;
例12求出下列各数的相反数
例13化简下列各数的符号
知识窗口:
一个数前面加上“—”号,该数就成了它的相反数;
一个数前面的符号确定方法:
奇数个负号相当于一个负号,偶数个负号相当于一个正号,而与正号的个数无关。
5、绝对值
数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值。
(1)绝对值的几何意义:
一个数的绝对值就是数轴上表示该数的点与原点的距离。
(2)绝对值的代数意义:
一个正数的绝对值是它本身;0的绝对值是0;一个负数的绝对值是它的相反数,可用字母a表示如下:
(3)两个负数比较大小,绝对值大的反而小。
概念剖析:
“一个数的绝对值就是数轴上表示该数的点与原点的距离”,而距离是非负,也就是说任何一个数的绝对值都是非负数,即。
互为相反数的两个数离原点的距离相等,也就是说互为相反数的两个数绝对值相等。
例14如果两个数的绝对值相等,那么这两个数是()
A、互为相反数B、相等C、积为0D、互为相反数或相等
例15已知ab>0,试求的值。
例16若|x|=-x,则x是_________数;
例17若│χ+3∣+∣y—2∣=0,则=;
例18将下列各数从大到小排列起来
0、、、
例19如果两个数和的绝对值相等,则下列说法正确的是()
A、B、C、D、不能确定
二、有理数的运算
1、有理数的加法
(1)有理数的加法法则:
同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加;绝对值不等的异号两数相加,取绝对值较大数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值;互为相反的两个数相加得0;一个数同0相加,仍得这个数。
例20计算下列各式
(–3)–(–4)+7
+
(2)有理数加法的运算律:
加法的交换律:
a+b=b+a;加法的结合律:
(a+b)+c=a+(b+c)
知识窗口:
用加法的运算律进行简便运算的基本思路是:
先把互为相反数的数相加;把同分母的分数先相加;把符号相同的数先相加;把相加得整数的数先相加。
例21计算下列各式
2、有理数的减法
(1)有理数减法法则:
减去一个数等于加上这个数的相反数。
(2)有理数减法常见的错误:
顾此失彼,没有顾到结果的符号;仍用小学计算的习惯,不把减法变加法;只改变运算符号,不改变减数的符号,没有把减数变成相反数。
(3)有理数加减混合运算步骤:
先把减法变成加法,再按有理数加法法则进行运算;
概念剖析:
减法是加法的逆运算,用法则“减去一个数等于加上这个数的相反数”即可转化。
转化后它满足加法法则和运算律。
例22计算:
例23月球表面的温度中午是,半夜是,中午比半夜高多少度?
例24已知是6的相反数,比的相反数小5,求比大多少?
3、有理数的乘法
(1)有理数乘法的法则:
两个有理数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘;任何数与0相乘都得0。
(2)有理数乘法的运算律:
交换律:
ab=ba;结合律:
(ab)c=a(bc);交换律:
a(b+c)=ab+ac。
(3)倒数的定义:
乘积是1的两个有理数互为倒数,即ab=1,那么a和b互为倒数;倒数也可以看成是把分子分母的位置颠倒过来。
概念剖析:
“两个有理数相乘,同号得正,异号得负”不要误认为成“同号得正,异号得负”
多个有理数相乘时,积的符号确定规律:
多个有理数相乘,若有一个因数为0,则积为0;几个都不为0的因数相乘,积的符号由负因数的个数来决定,当负因数的个数为奇数时,积为负;当负因数的个数为偶数时,积为正。
有理数乘法的计算步骤:
先确定积的符号,再求各因数绝对值的积。
例25计算下列各式:
4、有理数的除法
有理数的除法法则:
除以一个数,等于乘上这个数的倒数,0不能做除数。
这个法则可以把除法转化为乘法;除法法则也可以看成是:
两个数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除,0除以任何一个不等于0的数都等于0。
概念剖析:
除法是乘法的逆运算,用法则“除以一个数,等于乘上这个数的倒数”即可转化,转化后它满足乘法法则和运算律。
倒数的求法:
求一个整数的倒数,直接可写成这个数分之一,即的倒数为;求一个真分数和假分数的倒数,只要将分子、分母颠倒一下即可,即的倒数为;求一个带分数的倒数,应先将带分数化为假分数,再求其倒数;求一个小数的倒数,应先将小数化为分数,再求其倒数。
注意:
0没有倒数。
例25倒数是其本身的数有_________;
例26计算下列各式:
5、有理数的乘方
(1)有理数的乘方的定义:
求几个相同因数a的运算叫做乘方,乘方是一种运算,是几个相同的因数的特殊乘法运算,记做“”其中a叫做底数,表示相同的因数,n叫做指数,表示相同因数的个数,它所表示的意义是n个a相乘,不是n乘以a,乘方的结果叫做幂。
(2)正数的任何次方都是正数,负数的偶数次方是正数,负数的奇数次方是负数,0的任何非0次幂都是0,1的任何非0次幂都是1,偶数次幂是1、奇数次幂是;
概念剖析:
“”所表示的意义是n个a相乘,不是n乘以a;
。
因为表示个相乘,而表示个的相反数;
任何数的偶次幂都得非负数,即。
例27的意义是_________________________;
的意义是________________________;
的意义是_________________________;
例28当,时,则_________;
例29计算:
例30若互为相反数,是自然数,则()
A、和互为相反数B、和互为相反数
C、和互为相反数D、和互为相反数
知识窗口:
所有的奇数可以表示为或;所有的偶数可以表示为。
6、有理数的混合运算
(1)进行有理数混合运算的关建是熟练掌握加、减、乘、除、乘方的运算法则、运算律及运算顺序。
比较复杂的混合运算,一般可先根据题中的加减运算,把算式分成几段,计算时,先从每段的乘方开始,按顺序运算,有括号先算括号里的,同时要注意灵活运用运算律简化运算。
(2)进行有理数的混合运算时,应注意:
一是要注意运算顺序,先算高一级的运算,再算低一级的运算;二是要注意观察,灵活运用运算律进行简便
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