学年同步备课套餐之物理人教版选修34讲义第十一章机械振动 4.docx
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学年同步备课套餐之物理人教版选修34讲义第十一章机械振动4
4 单 摆
[学习目标] 1.理解单摆模型和单摆做简谐运动的条件,知道单摆振动时回复力的来源.2.知道影响单摆周期的因素,掌握单摆的周期公式.3.掌握用单摆测定重力加速度的原理和方法.
一、单摆及单摆的回复力
[导学探究]
(1)如图1所示,小球和细线构成一个振动系统,在什么情况下能把该振动系统看成单摆?
图1
(2)小球受到几个力的作用?
(3)什么力充当了小球振动的回复力?
答案
(1)如果细线的质量与小球的质量相比可以忽略,球的直径与线的长度相比也可以忽略,该振动系统可看成单摆.
(2)小球受两个力的作用:
重力和细线的拉力.
(3)重力沿圆弧切线方向的分力G1=mgsinθ提供了使摆球振动的回复力,如图所示.
[知识梳理]
1.单摆
(1)如果细线的质量与小球的质量相比可以忽略,球的直径与线的长度相比也可以忽略,这样的装置就叫做单摆.单摆是实际摆的理想化模型.
(2)单摆的平衡位置:
摆球静止时所在的位置.
2.单摆的回复力
(1)回复力的来源:
如图2所示,摆球的重力沿圆弧切线方向的分力提供回复力(沿半径方向的合力提供向心力).
图2
(2)回复力的特点:
在偏角很小时,sinθ≈
,所以单摆的回复力为F=-
x,即小球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比,方向总是指向平衡位置,单摆的运动可看成是简谐运动.
3.单摆的运动特点
在偏角很小时做简谐运动,其振动图象遵循正弦函数规律.
[即学即用] 判断下列说法的正误.
(1)单摆运动的回复力是重力和摆线拉力的合力.(×)
(2)单摆运动的回复力是重力沿圆弧切线方向的一个分力.(√)
(3)单摆经过平衡位置时受到的合力为零.(×)
(4)单摆是一个理想化的模型.(√)
二、单摆的周期
[导学探究] 如图3所示,摆长不同的两个单摆同时释放,我们可以观察到振动的周期不同.影响周期的因素可能有单摆的振幅、质量、摆长,如何研究周期与这些量的关系?
请设计实验方案.
图3
答案 由于变量比较多,所以需用控制变量法,按下面的方案进行探究:
(1)摆长、质量相同,两摆的振幅不同(都在小偏角情况下).
(2)摆长、振幅相同,两摆摆球的质量不同.
(3)质量、振幅相同,两摆的摆长不同.
比较以上三种情况下两摆的周期,可以得到周期与振幅、质量、摆长之间的定性关系.
[知识梳理] 单摆的等时性与单摆的周期公式
1.单摆振动的周期与摆球质量无关(填“有关”或“无关”),与振幅无关(填“有关”或“无关”).这是单摆的等时性,由伽利略发现,惠更斯得出了单摆的周期公式并发明了摆钟.
2.单摆的周期T=2π
.
(1)单摆的周期公式在单摆偏角很小时成立.
(2)g为单摆所在处的重力加速度,l为单摆的摆长.对于实际的单摆,摆长是指从悬点到摆球重心的长度,l=l′+
,l′为摆线长,d为摆球直径.
(3)等效摆长
图4(a)中甲、乙在垂直纸面方向摆起来的效果是相同的,所以甲摆的等效摆长为lsinα,其周期T=2π
.
图(b)中,乙在垂直纸面方向摆动时,与甲摆等效;乙在纸面内小角度摆动时,与丙等效.
图4
(4)重力加速度g
与位置的关系:
若单摆系统只处在重力场中且处于静止状态,g由单摆所处的空间位置决定,即g=
,式中R为物体到地心的距离,M为地球的质量,G为引力常数,g随所在位置的高度的变化而变化.另外,在不同星球上M和R也是变化的,所以g也不同.g=9.8m/s2只是在地球表面附近时的取值.
[即学即用] 判断下列说法的正误.
(1)若单摆的振幅变为原来的一半,则周期也将变为原来的一半.(×)
(2)如果重力加速度减为原来的四分之一,单摆的频率变为原来的一半.(√)
(3)单摆的周期与摆长成正比.(×)
(4)无论单摆的振幅多大,单摆的周期都是2π
.(×)
(5)一个单摆在月球上摆动的周期大于其在地球上摆动的周期.(√)
三、用单摆测定重力加速度
1.实验原理
由T=2π
,得g=
,则测出单摆的摆长l和周期T,即可求出当地的重力加速度.
2.实验器材
铁架台及铁夹,金属小球(有孔)、秒表、细线(1m左右)、刻度尺、游标卡尺.
3.实验步骤
(1)让细线穿过小球上的小孔,在细线的穿出端打一个稍大一些的线结,制成一个单摆.
(2)将铁夹固定在铁架台上端,铁架台放在实验桌边,把单摆上端固定在铁夹上,使摆球自由下垂.在单摆平衡位置处做上标记.
(3)用刻度尺量出悬线长l′(准确到mm),用游标卡尺测出摆球的直径d(准确到mm),则摆长为l=l′+
.
(4)把单摆拉开一个角度,角度不大于5°,释放摆球.摆球经过最低位置时,用秒表开始计时,测出单摆全振动30次(或50次)的时间,求出一次全振动的时间,即为单摆的振动周期.
(5)改变摆长,反复测量几次,将数据填入表格.
4.数据处理
(1)平均值法:
每改变一次摆长,将相应的l和T代入公式中求出g值,最后求出g的平均值.
设计如下所示实验表格
实验次数
摆长l/m
周期T/s
重力加速度
g/(m·s-2)
重力加速度g的
平均值/(m·s-2)
1
g=
2
3
(2)图象法:
由T=2π
得T2=
l,作出T2-l图象,即以T2为纵轴,以l为横轴.其斜率k=
,由图象的斜率即可求出重力加速度g.
5.注意事项
(1)选择细而不易伸长的线,比如用单根尼龙丝、丝线等,长度一般不应短于1m,摆球应选用密度较大的金属球,直径应较小,最好不超过2cm.
(2)摆动时控制摆线偏离竖直方向的角度应很小.
(3)摆球摆动时,要使之保持在同一竖直平面内,不要形成圆锥摆.
(4)计算单摆的全振动次数时,应从摆球通过最低位置时开始计时,每当摆球从同一方向通过最低位置时计数,要测n次(如30次或50次)全振动的时间t,用取平均值的方法求周期T=
.
一、单摆的回复力
1.摆球受到的作用力有两个:
重力和绳子的拉力,摆球的回复力是重力沿圆弧切线方向的分力,不是摆球受到的某一性质力.
2.摆球运动的轨迹是一段圆弧,因此摆球运动过程需要有向心力,故摆球运动的回复力不是摆球所受外力的合力.
3.在摆角很小的情况下,摆球的回复力满足F=-kx,此时摆球的运动可看成是简谐运动.
例1
(多选)一单摆做小角度摆动,其振动图象如图5所示,以下说法正确的是( )
图5
A.t1时刻摆球速度为零,摆球的合外力为零
B.t2时刻摆球速度最大,悬线对它的拉力最小
C.t3时刻摆球速度为零,摆球的回复力最大
D.t4时刻摆球速度最大,悬线对它的拉力最大
答案 CD
解析 由题图读出t1时刻位移最大,说明摆球在最大位移处,速度为零,回复力最大,合外力不为零.故A错误;t2时刻位移为零,说明摆球在平衡位置,摆球速度最大,悬线对它的拉力最大.故B错误;t3时刻位移最大,说明摆球在最大位移处,速度为零,回复力最大.故C正确;t4时刻位移为零,说明摆球在平衡位置,摆球速度最大,悬线对它的拉力最大.故D正确.
二、单摆的周期
1.单摆的周期公式T=2π
在单摆的最大偏角小于5°的情况下才适用.
2.单摆的周期与摆长l有关,在g不变的情况下,仅改变摆长,即可改变周期.
3.单摆的周期与重力加速度g有关,不同纬度、不同海拔高度处,同一单摆的周期不同.
例2
有一单摆,其摆长l=1.02m,摆球的质量m=0.10kg,已知单摆做简谐运动,单摆30次全振动用的时间t=60.8s,试求:
(1)当地的重力加速度是多大?
(2)如果将这个单摆改为秒摆(周期为2s),摆长应怎样改变?
改变多少?
答案
(1)9.79m/s2
(2)缩短0.027m
解析
(1)当单摆做简谐运动时,其周期公式T=2π
,由此可得g=
,只要求出T值代入即可.因为T=
=
s≈2.027s,所以g=
=
m/s2≈9.79m/s2.
(2)秒摆的周期是2s,设其摆长为l0,由于在同一地点重力加速度是不变的,根据单摆的振动规律有
=
,故有:
l0=
=
m≈0.993m.
其摆长要缩短Δl=l-l0=1.02m-0.993m=0.027m.
三、用单摆测定重力加速度
例3
下表是“用单摆测定重力加速度”实验中获得的有关数据:
摆长l/m
0.4
0.5
0.6
0.8
1.0
1.2
周期平方T2/s2
1.6
2.2
2.4
3.2
4.0
4.8
(1)利用上述数据,在图6中描出l-T2的图象.
图6
(2)利用图象,取T2=5.2s2时,l=________m,重力加速度g=________m/s2.
答案
(1)见解析图
(2)1.3 9.86
解析
(1)描点作图如图所示.
(2)由
(1)中图可知当T2=5.2s2时,l=1.3m,将它代入g=
得:
g=
m/s2≈9.86m/s2.
针对训练 某同学利用单摆测定重力加速度.
(1)(多选)为了使实验误差尽量小,下列说法正确的是( )
A.组装单摆须选用密度和直径都较小的摆球
B.组装单摆须选用轻且不易伸长的细线
C.实验时须使摆球在同一竖直面内摆动
D.摆长一定的情况下,摆的振幅尽量大
(2)如图7所示,在物理支架的竖直立柱上固定有摆长约1m的单摆.实验时,由于仅有量程为20cm、精度为1mm的钢板刻度尺,于是他先使摆球自然下垂,在竖直立柱上与摆球最下端处于同一水平面的位置做一标记点,测出单摆的周期T1;然后保持悬点位置不变,设法将摆长缩短一些,再次使摆球自然下垂,用同样方法在竖直立柱上做另一标记点,并测出单摆的周期T2;最后用钢板刻度尺量出竖直立柱上两标记点之间的距离ΔL.用上述测量结果,写出重力加速度的表达式g=________.
图7
答案
(1)BC
(2)
解析
(1)应选用密度较大且直径较小的摆球,A错.在摆动中要尽力保证摆长不变,故应选用不易伸长的细线,B对.摆动中要避免单摆成为圆锥摆,摆球要在同一竖直面内摆动,C对.摆角要控制在5°以内,所以D错.
(2)设两次摆动时单摆的摆长分别为L1和L2,则T1=2π
,T2=2π
,则ΔL=
(T
-T
),因此g=
.
1.(多选)图8中O点为单摆的固定悬点,现将摆球(可视为质点)拉至A点,此时细线处于张紧状态,释放摆球,摆球将在竖直平面内的A、C之间来回摆动,B点为运动中的最低位置,则在摆动过程中( )
图8
A.摆球在A点和C点处,速度为零,合力也为零
B.摆球在A点和C点处,速度为零,回复力最大
C.摆球在B点处,速度最大,回复力也最大
D.摆球在B点处,速度最大,细线拉力也最大
答案 BD
解析 摆球在摆动过程中,在最高点A、C处速度为零,回复力最大,合力不为零,故A错误,B正确;在最低点B处,速度最大,回复力为零,摆球做圆周运动,细线的拉力最大,故C错误,D正确.
2.在“用单摆测定重力加速度”的实验中:
(1)为使实验结果尽可能精确,下列器材中应选用______(用字母填入)
A.1米长的细丝线
B.20厘米长的尼龙线
C.塑料小球
D.小铁球
E.时钟
F.0.1秒刻度的秒表
G.最小刻度是毫米的刻度尺
H.最小刻度是厘米的刻度尺
(2)实验时,摆线偏离竖直方向的偏角应小于________,测量时,要让单摆在竖直平面内自由摆动几次后,从摆球经过________时开始计时.
(3)某同学某次实验数据如下:
细丝线长101.1cm,摆球直径为1.8cm,完成35次全振动的时间是70.80s,由这些数据计算得重力加速度g=________.
答案
(1)ADFG
(2)5° 平衡位置(最低位置)
(3)9.83m/s2
解析
(1)线的形变量要小且长度一般不应短于1m,选择A;
球的密度要大,选择D;
计时工具和刻度尺的精确度要高,选择F、G;
(2)单摆的小角度摆动是简谐运动,摆角不宜超过5°;
经过平衡位置速度最大,时间最短,测量误差最小;
(3)根据单摆周期公式T=2π
和t=nT,有:
g=
=
≈9.83m/s2.
3.一个单摆的摆长为l,在其悬点O的正下方0.19l处有一钉子P(如图9所示),现将摆球向左拉开到A,使摆线偏角θ<5°,放手后使其摆动,摆动到B的过程中摆角也小于5°,求单摆的振动周期.
图9
答案 1.9π
解析 释放后摆球到达右边最高点B处,由机械能守恒可知B和A等高,则摆球始终做简谐运动.单摆做简谐运动的摆长有所变化,它的周期为两个不同单摆的半周期的和.
小球在左边的周期为T1=2π
小球在右边的周期为T2=2π
则整个单摆的周期为T=
+
=π
+π
=1.9π
一、选择题
1.(多选)关于单摆运动,下列说法正确的是( )
A.单摆的回复力是摆线的拉力与重力的合力
B.单摆的回复力是重力沿摆球运动轨迹切向的分力
C.单摆的周期与摆球质量无关,与振幅无关,与摆长和当地的重力加速度有关
D.单摆做简谐运动的条件是摆角应小于5°
答案 BCD
2.(多选)下列说法正确的是( )
A.单摆的等时性是惠更斯首先发现的
B.单摆的等时性是伽利略首先发现的
C.惠更斯首先将单摆的等时性用于计时
D.伽利略首先发现了单摆的等时性,并把它用于计时
答案 BC
解析 伽利略发现了单摆的等时性,荷兰物理学家惠更斯首先确定了单摆的周期公式,B、C正确.
3.(多选)某单摆由1m长的摆线连接一个直径为2cm的铁球组成,关于单摆周期的下列说法正确的是( )
A.用等大的铜球替代铁球,单摆的周期不变
B.用大球替代小球,单摆的周期不变
C.摆角从5°改为3°,单摆的周期会变小
D.将单摆从赤道移到北极,单摆的周期会变小
答案 AD
解析 用等大的铜球替代铁球,摆长不变,由单摆周期公式T=2π
可知,单摆的周期不变,故A正确;用大球替代小球,单摆摆长变长,由单摆周期公式T=2π
可知,单摆的周期变大,故B错误;由单摆周期公式T=2π
可知,在小摆角情况下,单摆做简谐运动的周期与摆角无关,摆角从5°改为3°时,单摆周期不变,故C错误;将单摆从赤道移到北极,重力加速度g变大,由单摆周期公式T=2π
可知,单摆周期变小,故D正确.
4.如图1所示,MN为半径较大的光滑圆弧轨道的一部分,把小球A放在MN的圆心处,再把另一小球B放在MN上离最低点C很近的M处,今使两球同时自由释放,则在不计空气阻力时有( )
图1
A.A球先到达C点
B.B球先到达C点
C.两球同时到达C点
D.无法确定哪一个球先到达C点
答案 A
解析 A做自由落体运动,到C所需时间tA=
,R为圆弧轨道的半径.因为圆弧轨道的半径R很大,B球离最低点C又很近,所以B球在轨道给它的支持力和其重力的作用下沿圆弧做简谐运动(等同于摆长为R的单摆),则运动到最低点C所用的时间是单摆振动周期的
,即tB=
=
>tA,所以A球先到达C点.
5.(多选)图2中两单摆摆长相同,平衡时两摆球刚好接触,现将摆球A在两摆球所在平面内向左拉开一小角度后释放,碰撞后,两摆球分开,各自做简谐运动,以mA、mB分别表示摆球A、B的质量,则( )
图2
A.如果mA>mB,下一次碰撞将发生在平衡位置右侧
B.如果mA<mB,下一次碰撞将发生在平衡位置左侧
C.无论两摆球的质量之比是多少,下一次碰撞都不可能在平衡位置右侧
D.无论两摆球的质量之比是多少,下一次碰撞都不可能在平衡位置左侧
答案 CD
解析 A、B两球碰撞后,B球一定向右摆,A球可能向右摆,也可能向左摆,还可能停下来.由于两单摆摆长相同,因此摆动的周期相同,它们在第一次碰后半个周期回到平衡位置而发生第二次碰撞,C、D正确.
6.(多选)如图3甲所示,一个单摆做小角度摆动,从某次摆球由左向右通过平衡位置时开始计时,相对平衡位置的位移x随时间t变化的图象如图乙所示.不计空气阻力,g取10m/s2.对于这个单摆的振动过程,下列说法中正确的是( )
图3
A.单摆的位移x随时间t变化的关系式为x=8sin(πt)cm
B.单摆的摆长约为1m
C.从t=2.5s到t=3s的过程中,摆球的重力势能逐渐增大
D.从t=2.5s到t=3s的过程中,摆球所受绳子拉力逐渐减小
答案 AB
解析 由题目中振动图象可读出周期T=2s,振幅A=8cm,由ω=
得到圆频率ω=πrad/s,则单摆的位移x随时间t变化的关系式为x=Asinωt=8sin(πt)cm.故A正确.由公式T=2π
,代入得到l≈1m.故B正确.从t=2.5s到t=3s的过程中,摆球从最高点运动到最低点,重力势能减小,故C错误.从t=2.5s到t=3s的过程中,摆球的位移减小,回复力减小,速度增大,所需向心力增大,绳子的拉力增大,故D错误.
7.(多选)图4为甲、乙两单摆的振动图象,则( )
图4
A.若甲、乙两单摆在同一地点摆动,则甲、乙两单摆的摆长之比为l甲∶l乙=2∶1
B.若甲、乙两单摆在同一地点摆动,则甲、乙两单摆的摆长之比为l甲∶l乙=4∶1
C.若甲、乙两摆摆长相同,且在不同的星球上摆动,则甲、乙两摆所在星球的重力加速度之比为g甲∶g乙=4∶1
D.若甲、乙两摆摆长相同,且在不同的星球上摆动,则甲、乙两摆所在星球的重力加速度之比为g甲∶g乙=1∶4
答案 BD
解析 由题图可知T甲∶T乙=2∶1,由公式T=2π
可知:
若两单摆在同一地点,则两摆长之比为l甲∶l乙=4∶1,故A错误,B正确;若两摆长相等,则所在星球的重力加速度之比为g甲∶g乙=1∶4,故C错误,D正确.
8.如图5所示为演示简谐振动的沙摆,已知摆长为l,沙筒的质量为m,沙子的质量为M,沙子逐渐下漏的过程中,摆的周期( )
图5
A.不变
B.先变大后变小
C.先变小后变大
D.逐渐变大
答案 B
解析 在沙摆摆动、沙子逐渐下漏的过程中,摆的重心逐渐下降,即摆长逐渐变大,当沙子流到一定程度后,摆的重心又重新上移,即摆长变小,由周期公式可知,沙摆的周期先变大后变小,故选B.
二、非选择题
9.如图6所示为一单摆及其振动图象,由图回答:
图6
(1)单摆的振幅为________,频率为________,摆长约为________(保留一位有效数字);图中所示周期内位移x最大的时刻为________.
(2)若从E指向G为正方向,α为最大摆角,则图象中A、B、C点分别对应单摆图中的________点.图中所示周期内加速度为正且减小,并与速度同方向的时间范围是______.势能增加且速度为正的时间范围是________.
答案
(1)3cm 0.5Hz 1m 0.5s末和1.5s末
(2)G、E、F 1.5~2s 0~0.5s
10.在“用单摆测定重力加速度”的实验中,由单摆做简谐运动的周期公式得到g=
.只要测出多组单摆的摆长l和运动周期T,作出T2-l图象,就可以求出当地的重力加速度.理论上T2-l图象是一条过坐标原点的直线,某同学根据实验数据作出的图象如图7所示.
图7
(1)造成图象不过坐标原点的原因可能是________.
(2)由图象求出的重力加速度g=________m/s2.(取π2=9.87)
答案
(1)测摆长时漏掉了摆球半径
(2)9.87
解析
(1)既然所画T2-l图象与纵坐标有正截距,这就表明l的测量值与真实值相比偏小了,则意味着测摆长时可能漏掉了摆球半径.
(2)图象的斜率k=
,则g=
=9.87m/s2.
11.图8甲所示是一个单摆振动的情形,O是它的平衡位置,B、C是摆球所能到达的最远位置,设向右为正方向,图乙是这个单摆的振动图象,根据图象回答:
图8
(1)单摆振动的频率是多大?
(2)开始时刻摆球在何位置?
(3)若当地的重力加速度为10m/s2,试求这个摆的摆长是多少?
答案
(1)1.25Hz
(2)B点 (3)0.16m
解析
(1)由题图乙知周期T=0.8s,则频率f=
=1.25Hz.
(2)由题图乙知,开始时刻摆球在负向最大位移处,因向右为正方向,所以在B点.(3)由T=2π
得l=
≈0.16m.
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