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广西南宁市届高三第一次适应性考试数学文试题含答案解析
广西南宁市2022届高三第一次适应性考试数学(文)试题
学校:
___________姓名:
___________班级:
___________考号:
___________
一、单选题
1.设集合
,则
( )
A.
B.
C.
D.
2.若两个向量
满足
,则
与
的夹角是( )
A.
B.
C.
D.
3.已知i是虚数单位,若复数
,则
( )
A.2B.
C.3D.4
4.已知
,则
( )
A.
B.
C.
D.
5.已知实数
满足
则点
所在平面区域的面积为( )
A.3B.4C.5D.6
6.在正方体
中O为面
的中心,
为面
的中心.若E为
中点,则异面直线
与
所成角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
7.己知直线
与圆
交于
两点,则
的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
8.函数
的图象最有可能是以下的( )
A.
B.
C.
D.
9.过抛物线
:
的焦点
作倾斜角为60°的直线交抛物线
于
,
两点,则
的值为( )
A.3B.2C.
D.1
10.已知函数
的图象如图所示,则下列说法正确的是( )
A.将
的图象向左平移
个单位长度,得到新函数为奇函数
B.函数
的图象关于点
对称
C.
的解折式为
D.函数
在区间
上的值域为
11.设
是双曲线
的左、右焦点.若双曲线C上存在点P满足
且
,则双曲线C的渐近线方程是( )
A.
B.
C.
D.
12.已知
,则实数
的大小关系是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题
13.已知向量
,若
,则实数
___________.
14.已知函数
,则
的极小值为___________.
15.2021年9月17日,搭载着3名英航天员的神舟十二号载人飞船返回舱成功着陆于东风着陆场,标志着神舟十二号返回任务取得圆满成功.假设返回舱D是垂直下落于点C,某时刻地面上点
观测点观测到点D的仰角分别为
,若
间距离为10千米(其中向量
与
同向),试估算该时刻返回舱距离地面的距离
约为___________千米(结果保留整数,参考数据:
).
16.在三棱锥
中,
面
是边长为
的正三角形.若
,则该三棱锥的外接球表面积为___________.
三、解答题
17.己知数列
的前n项和为
,满足
.
(1)求
的通项公式;
(2)设
的前n项和为
.若
对于任意
恒成立,求n的取值范围.
18.某市公安交管部门曾于2017年底公布了一组统计数据:
一年来全市范围内共发生涉及电动自行车的交通事故(一般程序)共3558起,造成326人死亡(因颅脑损伤导致死亡占
),死亡人数中有263人未佩戴头盔(占
).驾乘电动自行车必需佩戴头盔,既是守法的体现,也是对家庭和社会负责的表现.该市经过长期开展安全教育,取得了一定的效果.表一是该市某主干路口连续5年监控设备抓拍到的驾乘人员未佩戴头盔的统计数据:
表一
年度
2017
2018
2019
2020
2021
年度序号x
1
2
3
4
5
未佩戴头盔人数y
1250
1200
1010
920
870
(1)请利用表一数据求未佩戴头盔人数y与年度序号x之间的回归直线方程
,并预测该路口2022年驾乘人员未佩戴头盔的人数;
(2)交管部门从
年在该路口发生涉及电动自行车的交通事故案例中随机抽取了50起作为样本制作出表二:
未佩戴头盔
佩戴头盔
合计
伤亡
6
10
16
无伤亡
4
30
34
合计
10
40
50
请问能否有
的把握认为驾乘电动自行车未佩戴头盔的行为与事故伤亡有关?
附:
参考公式及数据:
;
,其中
.
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
k
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
19.如图所示,己知四棱锥
中底面
是矩形,面
底面
且
,
,
为
中点.
(1)求证:
平面
平面
;
(2)求点
到平面
的距离.
20.已知椭圆
的右焦点为F,过点F且不垂直于x轴的直线交C于
两点,分别过
作平行于x轴的两条直线
,设
分别与直线
交于点
,点R是
的中点.
(1)求证:
;
(2)若
与x轴交于点D(异于点R),求
的取值范围.
21.已知函数
,(e为自然对数的底数).
(1)讨论
的单调性;
(2)当
时,证明
的最小值小于
.
22.在直角坐标系
中,直线
的参数方程为
(t为参数).以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为
.
(1)设点
是曲线C上的一个动点,求
的取值范围;
(2)经过变换公式
把曲线C变换到曲线
,设点P是曲线
上的一个动点,求点P到直线
的距离的最小值.
23.已知函数
.
(1)当
时,解不等式
;
(2)若对任意的
,不等式
恒成立,求实数m的取值范围.
参考答案:
1.A
【解析】
【分析】
解不等式求得集合
,由此求得
.
【详解】
,
所以
.
故选:
A
2.C
【解析】
【分析】
依据向量夹角的余弦公式即可求得
与
的夹角.
【详解】
,又
则
,即
与
的夹角是
故选:
C
3.A
【解析】
【分析】
化简复数
即得解.
【详解】
解:
由题得
,所以
2.
故选:
A
4.C
【解析】
【分析】
已知式由诱导公式变形后平方,然后由平方关系和正弦的二倍角公式化简可得.
【详解】
因为
,
所以
,所以
,
.
故选:
C.
5.D
【解析】
【分析】
画出可行域,再去求该平面区域的面积即可解决.
【详解】
画出可行域如下:
由
,可得
,即
由
,可得
,即
由
,可得
,即
则该平面区域的面积为
故选:
D
6.B
【解析】
【分析】
建立空间直角坐标系,利用向量法求得异面直线
与
所成角的余弦值.
【详解】
设正方体的边长为
,建立如图所示空间直角坐标系,
,
,
设异面直线
与
所成角为
,
则
.
故选:
B
7.D
【解析】
【分析】
先求得直线
所过定点坐标,然后利用勾股定理求得
的最小值.
【详解】
圆
的圆心为
,半径为
.
直线
的方程
可化为
,
所以
,解得
,即直线
过定点
.
,所以
在圆
内.
当
的中点为
,也即
时,
最小,
且最小值为
.
故选:
D
8.B
【解析】
【分析】
根据函数奇偶性排除CD,代入特殊点,排除A,选出正确答案.
【详解】
定义域为
,关于原点对称,又
,所以
是奇函数,故排除CD,又
,故排除A选项,B正确.
故选:
B
9.A
【解析】
【分析】
首先,写出抛物线的焦点坐标,然后,求解直线的方程,利用焦半径公式求解比值.
【详解】
抛物线
的焦点坐标为
,
,
直线
倾斜角为
,
直线
的方程为:
.
设直线与抛物线的交点为
,
、
,
,
,
,
联立方程组
,消去
并整理,得
,
解得
,
,
,
,
,
的值为3,
故选:
10.C
【解析】
【分析】
根据给定条件求出函数
的解析式,再逐一分析各个选项判断作答.
【详解】
函数
的周期
,依题意,
,解得
,则
,
而当
时,
,则
,又
,即有
,则
,
对于A,
是偶函数,将
的图象向左平移
个单位长度所得新函数不是奇函数,A错;
对于B,因
,函数
的图象关于点
不对称,B错;
对于C,
的解折式为
,C正确;
对于D,当
时,
,
,则
,D错.
故选:
C
11.B
【解析】
【分析】
根据双曲线的定义得出
的关系,求得
后可得渐近线方程.
【详解】
由
得
,又
,
所以
,
,
又
,则
,
,
,
,
渐近线方程为
,即
.
故选:
B.
12.A
【解析】
【分析】
依据对数函数单调性判断a、c的大小关系,再构造函数比较a、b的大小关系即可解决.
【详解】
由
,可得
由
在
上单调递增,可得
,即
令
,则
令
,则
当
时,
,
单调递增,
当
时,
,
单调递减,
在
取得最大值,
又
,
则当
时,
,
,
单调递增
则
,即
,则
,即
综上,实数
的大小关系是
故选:
A
13.
【解析】
【分析】
由向量平行的坐标表示计算.
【详解】
由题意
,
由
得
,
,
故答案为:
.
14.
【解析】
【分析】
根据导数判断函数的单调性,进而求得极小值.
【详解】
由
,得
,
令
,解得
或
,
故函数
在
,
上单调递减,在
上单调递增,
故函数
在
时取极小值
,
故答案为:
.
15.
【解析】
【分析】
利用正弦定理求得
,由此求得
.
【详解】
在三角形
中,
,
由正弦定理得
,
,
所以
千米.
故答案为:
16.
【解析】
【分析】
如图,取
的中点
,连接
,取
的外心
,则
在
,过
作平面
的垂线,则可得三棱锥
的外接球的球心
在此垂线上,由于
面
,所以可得
,然后在直角三角形
可求出球的半径,从而可求出球的表面积
【详解】
如图,取
的中点
,连接
,取
的外心
,
因为
为边长为
的正三角形,所以
在
,
,
过
作平面
的垂线,则可得三棱锥
的外接球的球心
在此垂线上,
因为
平面
,
,所以
,
在
中,
即三棱锥
的外接球的半径为
所以三棱锥
的外接球的表面积为
,
故答案为:
17.
(1)
(2)
且
【解析】
【分析】
(1)利用
求得
的通项公式.
(2)利用裂项求和法求得
,进而求得题目所求
的取值范围.
(1)
依题意
,
当
时,
,
.
①,当
时,
②,
①-②并化简得
,
所以数列
是首项为
,公差为
的等差数列,
所以
.
(2)
,
所以
.
且
.
18.
(1)
,预测值为738
(2)有
的把握认为驾乘电动自行车未佩戴头盔的行为与事故伤亡有关
【解析】
【分析】
(1)根据回归直线方程计算公式,计算出回归直线方程,并计算出预测值.
(2)计算
的值,由此作出判断.
(1)
,
,
.
所以
,
当
时,预测值为
人.
(2)
,
所以有
的把握认为驾乘电动自行车未佩戴头盔的行为与事故伤亡有关.
19.
(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
(1)利用面面垂直的性质定理可得线面垂直,结合勾股定理可证面面垂直;
(2)利用等体积转化求点到平面的距离.
(1)
由平面
底面
,且平面
底面
,
又底面
是矩形,则
,
,
平面
,
,
,
又
,且
是
中点,
,
,
,
,
,
又
,
则
平面
,
又
平面
,
所以平面
平面
;
(2)
如图所示,取
中点
,连接
,作
,连接
,
则
,
,
又平面
底面
,且平面
底面
,
平面
,故
平面
,
,
,
,
又
,
即
,
,
解得
,
故点
到平面
的距离为
.
20.
(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
(1)设出直线
的方程为
,并与椭圆方程联立,化简写出根与系数关系,通过证明
来证得
.
(2)由
,结合
(1)来求得
的取值范围.
(1)
设直线
的方程为
,
,
则
,
,
要证
,只需证
即可,
只需证
,只需证
.
联立
,消去
并化简得
.
所以
,
所以
成立,所以
.
(2)
延长
交
于点
,
由
(1)得
,且
,
因为
是
的中点,所以
为
的中点.
所以
,则
,因此
,
从而
.
由
(1)得
,
,
,
,即
.
令
,则
,
,
因为
,
,
故
的取值范围是
.
21.
(1)答案见解析;
(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
(1)求导以后,分
和
进行讨论即可求出结果;
(2)由
(1)可知函数
在
时的单调性,进而可得
,从而求出
的值域即可得出结论.
(1)
因为
,
则
,
①若
,则
,令
,则
,
所以当
时,
,则
单调递减,当
时,
,则
单调递增,故
的单调递增区间为
,单调递减区间为
;
②若
,则
,令
,则
或
,则
或
时,
,则
单调递减,当
时,
,则
单调递增,故
的单调递增区间为
,单调递减区间为
和
;
综上:
当
时,
的单调递增区间为
,单调递减区间为
;当
时,
的单调递增区间为
,单调递减区间为
和
;
(2)
由
(1)知当
时,
的单调递增区间为
,单调递减区间为
和
;所以
在
处取得极小值,在
处取得极大值,
又
时,
,
,所以
在
上恒大于0,
且
,故
在
处取得最小值,
故
,而因为
时,
,则
,即
,
故
的最小值小于-1.
【点睛】
用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面:
(1)在利用导数讨论函数的单调区间时,首先要确定函数的定义域;
(2)不能随意将函数的2个独立的单调递增(或递减)区间写成并集形式;
(3)利用导数解决含参函数的单调性问题时,一般将其转化为不等式恒成立问题,解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.
22.
(1)
;
(2)
.
【解析】
【分析】
(1)把点M用极坐标表示出,结合已知将
用极角
的三角函数表示,通过三角变换借助正弦函数性质求解作答.
(2)求出曲线
的参数方程及直线
的普通方程,利用点到直线距离公式结合正弦函数性质计算作答.
(1)
因点
是曲线C上的一个动点,则有
,并满足
,
于是得
,
其中锐角
由
确定,而
,则
,
所以
的取值范围是:
.
(2)
消去
中的参数t得直线
的普通方程:
,
由
,即
得曲线
的普通方程:
,
经过变换
,即
得曲线
:
,即
,
因此,曲线
的普通方程为:
,其参数方程为
,
为参数,
则点
到直线
的距离
,
其中锐角
由
确定,当
时,
,
此时由
得
,即点
,
所以点P到直线
的距离的最小值是
.
23.
(1)
或
(2)
或
【解析】
【分析】
(1)对
进行分类讨论,化简不等式
,由此求得不等式的解集.
(2)结合
的图象与
的图象的关系来求得
的取值范围.
(1)
依题意
,
,
当
时,不等式可化为
,即
,
因为
,故
.
当
时,不等式可化为
,
即
,故
.
当
时,不等式可化为
,即
,
故
.
综上所述,不等式
的解集为
或
.
(2)
依题意
在
上恒成立,
即
的图象恒在直线
的上方,如图所示.
直线
过点
,
则只需
或
在
时的函数值大于等于
,
即
或
.
所以实数
的取值范围是
或
.
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