第2章3线性离散系统的Z变换分析方法.docx
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第2章3线性离散系统的Z变换分析方法
课程名称:
针耳机较制牧求
Th®TheoryandTechnologyofComputerControl
授课教师:
机电$tt測拉糸
1藏曲
一计#2■衣术一
第二章线性离散系统的Z变换分析法
DiscreteSystemsZJTransformAnalysis
王H心:
shxwangl(<»bjtu.eduxn
SchoolofMechanicalsElectronicandControl
EngineeringBJTU
一计屮t気枚求一
第六节Unit6
计算机挫制系统的分析
AnalysisoftheDiscreteSystem
本课主要内容
•离散系统的稳定性分析
•离散系统的过渡响应分析
•离散系统的稳态准确度分析
一计算zt•祓求一
•教学目的:
(1)了解S平面、W平面与Z平面的映射关系;
(2)掌握离散系统的稳定性分析方法,会应用Routh准則对离散系统进行稳定性分析;
(3)对照连续系统,会对离散系统进行过渡过程分析;
(4)掌握离散系统稳态课差的计算方法.
•本课重点:
•本课难点:
S平面与Z平面以及Z平面与W平面的关系理解;极点位置与脉冲响应的关系.
•本课关钱:
对照连续系统的相应定义来理解离散系统•
微分方程一差分方程
传递函数_Z传递函数
L氏变换法一Z变换法
S平面—Z平面—W平面
本课引入
(1)
■用Z传递函数来分析离散系统的特性
与连续系统用传递函数分析过減过程类似.可以用Z传遏函数来分析离欷系統妁过淤过程特牲・
W⑵氓
R⑵
当鳥散系统的结构和枣数已知时,便可求出相应的Z;侍
4A4^L
Y(z)=W(z)Ra>
系统输出的时间序列:
y(kT)=ZA[Y(z)]
在输入信号给定的惜况下,便可以得到输出量的Z变换
本课引入
(2)
穩定性:
RouthM据.
根据过渡过程曲线<
v(*t)=zl\Y(Z)]
动态特性:
Op丄
稳态特性:
如稳态误星s等.
2-6-1需散系统的■定性分析
・S平面与Z平面的映射关系:
回顾:
檢izV
相用:
Z:
=0)7
一计算*捡気枚求一
S平面与Z平面的映射关系如图所示.
图丨s平面与刀平面的映射关*
MOIM兀St■牙齐廉
一计算机植気枚求一
结论:
LS平面的虚報对应于Z平面的单位圖的圆周.
2.S平面的左半面对总于Z平面的单住5内部.
3・S平面的负实轴对应于Z平面的单伎圖内正实轴.
4.
S平面左半面负实轴的尢穷远处对应于Z平面单位B)
5.S平面的右半面对应于Z平面吐位囲的外部.
6.
S平面的原点对应于Z平面正实轴上二二1的点.
•连续系统的穗定域:
知果其闻环传遲函數的极点、都在S平面的左半部分,或者说它的闭环特征方程的根的实部小于农.
.舅散系统的稳定域:
闭环Z传逼函數的全部极点(特征方41的根)必須在Z平面中的单位圆内.W回
一计射出気枚求一
vyz平面上不同极点位置与稳定性的关系?
盘沐JT2*姓ekkwmgM刀St■牙斯Fr
■线性离散系统的稳定性条件
设离散系统的闭环Z传递函数为:
*)
w(:
)一心)一九二J肚"+L十兀_3("
尺
(2)2"+“]2""+L+an
设有”个闭环极点©互异,加<刃,输入为单位阶跃函数,
则心缚耳4^驱)
z”+s严+Lg
一
i=l
.Y(z)_B(z)
八Z(Z-l)A(z)
_%/+/y^+L+—
(2-l)JJ(Z-Zj
;=l
其中;
一時昇2気披术一
・・・y⑵二竺+£竺
Z-lz-z
取Z反变换得:
T«l
y(kT)=Z^l[Y(z)]=y(k)
=VV(l)iq)+Eg:
R=123丄
稳态分量
—f=l
暂态分量
采样系统在单位阶跃函数作用下输出
响应序列的一般关系. 结论反推: 若离散系统稳定,则当时间k"时,输出响应的暂态分量应趋于0,即: 这就要求: 兀<1 结论: 匚: 〉离散系统稳定的充分必要条件是: 闭环Z传递函数的全部极点应位于Z平面的单位圆内.r 例1: 某离散系统的闭环Z传递函数为 \v(z)= 3.16;~' 1+I.792R+().36&F 试判断系统的稳定性. 解: W(z)的极点为: Zj=-0.237,z2=-1.556 由于lz21=1.556>1,故该系统是不稳定的。 例2: 设线性离散系统的特征方程为 (Z2-0」—0.3)(孑■()」z-0.56)(z-0.9)=0 试判断系统的稳定性. 解: 由特征方程可得特征根为 Zj=-0.5,©二0.6,石=一°・7,<4=0.8,&=0.9 Q|召|<1,<=1,2,L,5 ■Routh穗定性准则在离散系统的应用 S平面: Routh稳走性准则用来判斷复变量代数方程 的根是否住于S平面的左半面。 Z平面: Routh稳定性准则用来判断复变童代数方程 的根是否住于Z平面的单伎圖内。 £平面 一计鼻机牡.就术一 图47平面与讥•平面的映射关系 Z-VV变換: Z平面上以原点为圆心的单位圓周映射到W平面上为虚轴;乃平面上单依圖内的各点映射到'V平面上为左半平面上各点; "2*X的■分Kr—计#权”枚术一 W变换: 将Z特征方程变成VV特征方程.系统的£特征方程为 人2・+九严+现.? 严也+4=0 经过Z・W变换,可得到W代数方程 +心-1屛"+厲_2W"2+L4-^=0 ■4对上式施用Routh判据便可利断系统的稳定性: 即: W特征方程的根是否在W平面的左半面. 劳斯判据的要点: (1)特征方程a”y」十①丿厂'+L+ao=O: 1 % • b一T % ・b_T 叫7 %、 ■ % •Di— % % : L LL ⑶若劳斯行列表第一列各元素均为正,则所有特征根均分布在左半平面,系统稳定. ⑷若劳斯行列表第一列出现负数,表明系统不稳定・第一列元素符号变化的次数,表示右半平面上特征根的个数. 例3: 设有线性离散系统如图5所示,KiT=Ij,试判斷系统的稳定性. 解: 系统的闭环Z传递函数 特征方程为 Z2-z+O.632=O»5銭I初姚的必上 令",代入特征方程得到 建立劳斯行列式 22.6320.632 “0.7360 屏0.632 劳斯行列式的第一列各元素均为正,由劳斯 判据可知系统稳定. 例5: 设线性离散系统如图5所示,T=\s,试求系统的临界放大倍数&• 解: 系统的轿征方程式为 F4(0.368K-1368): +0.264K40.368=0 作Z・W变换.可得 (2.736-()」O4K)M*(I.264-().52&K)w4().632K=0建立劳斯行列表: h? 2.736-0.104K0.632& M1.264-0.528K0 h°0.632K 欲使系统稳定,必须使劳斯行列表的第一列 2.736-0.1O4KX) •1.264-0.528K>0 0.632/f>0 K<26.3可得•K<2.4 K>0 系统的临界放大倍数K,=2.4・ 可以选用放大倍数为: () 曲,JT2*址&7THmg的K*■: y»h法 例6: 某离散系统如图6所示,试用Routh准则确定使该系统稳定A值范围,设化=0.25、. y(f) 巾) 解: 该系统的开环Z传递函数为: 0」58灯 (Z-1XZ-0.368) 7一r的) s(s+4) 闭环Z传递函数为: W(Z>=旳=二2222: —— 1+G(Z)(Z-1)(2-0.368)+0.15^? 偽3T2*X"刀■■分衢Fr—计科七気校术— 求得该系统的闭环Z特征方程为: (2-1)(2-0.368>+().15&您=0 对应的W特征方程为: 0.158kw2+1.264w+(2.736-0」58&)=() Routli表为: w20.15«^(2.736-0.15«Jt) 屛1.2640 泸(2.736-0.158*)0 ■o「 讨论: (1)显然,当A>17・3时,该系统是不稳定的.但对于二阶连续系统,k为任何值时都是稳定的. ■►说明E对离散系统的稳定性是有彫响的. (2)釆样周期T对系统的稳定性亦有彫响: T|—稳定性1 对于本例,若r=O.ls,可以得到0V&V40.5・ (3) 对于计算机•控制系统,缩短釆样周期就意味着增加计算机的运算时间,且当采样周期减小到一定程度后,对改善动态性能无多大意义,所以应该适当选取采样周期■ 2-6-2翦散系统的过渡过程分析 ■定义 控制系统的过渡过程;一个控制系统在外信号作用下从原有稳定状态变化到新的稳定状态(新稳态值附近士5%或士3%)的整个动态过程. v(at)=z(ru)]=z|w⑵尺⑵] r(o=£- 住=0|s| ■单位阶跃响应 由此可见,离散系统的时间响应是它冬个极点时间 响应的线性叠加.N^* 臨JT2*址性官傲11■的刀戛・5»侪洛—if■昇权雀直核求一 结论: (丨)极点在单位圆外的正实轴上,对应的暂态响应分量y(kT)单调发散. (2)极点在单住S1与正实轴的交点,对应的暂态响应‘仗门是等幅的. (3)极点在单位圖内的正实轴上,对应的暂态响J^LyikT)单调衰减. (4)极点在单位圆内的负实轴上,对应的暫态响应y(kT)是以2卩为周期正负交普的衰减振荡・ (5)极点在单位圓与负实轴的交点,对应的暂态^)Ay(kr)是以2F为周期正負交警的第幅振蕩・ (6)极点在单位圖外的负实轴上,对应的暂态响HylkT'是 以2F为周期正负交替的发散撅荡.-- 例7: 某离散系统如图9所示,分析该系统的过渡过程.设系统输入是单位阶跃函数. Y(z)=W(z)R(z) _O.368zH+()・264芒 -1-2芒十1・632严-0.632严 =0.368? "4尹亠1.4尹4.收」+1」47疋40.895严+0.802^-740.868241+0.993厂+1.077--10+1.081z川+1.032工12+().98if■K).96k_,4+0.9732-15+0.997+L 从上述数据可以看出,系统在单位阶跃函数作用F的过渡过程具有衰减振荡的形式,故系统是穗定的.其翅调量约为40%,且峰值出现在第3、4拍之间,约经12个采样周期过渡过程结束,如图10曲线" 所示。 *2*址»析法—计鼻权程•枚农_ ⑵现将图中的保持壽去掉,*=1,T=r=l;则 0.632J =0・632「+ +0.98Z-7+L 该二阶离散系统仍是稳定的,超调量约为21%,峰值产生在幕3拍,调整时间为5拍,如图10曲线〃所示. 可见,无保持器比有保持器的系统的获性餾好,这是因为保持器有滞后作用所致 ⑶现将图中保持器去掉,io=5,r=T=it则 c(3」&L '~(1z~l)(1-0368z_,) "⑴=1+1.7922」+0.3682・ 3」6厂 y(-)=z 'I+0.792Z-*-1.424严-O.368Z-5 =3.16「一2.5z~2+6.52」一7.5W4413.6才’+L 由上面数据可以看出,当K=5,r=T=i&t,没有保持器的二阶系统是不稳定的,且是正负交替的 话外音: 我们知道,对于二阶的连续系统无论K为何值都是稳定的,而采样控制系统则不然. 以上说明,利用无变换本身含有时间概念的特点,分析釆样控制系统的运动特性是很方便的,且很适用于计算机. 2-6-3髙散系统的稳态准确度分析 ■基本方法 利用z变换的终值定理,求取误差采样的离散系统在采样瞬时的终值课差. 图11单伎负反馈禹散系統 )訣⑵一1 R(z)1+G⑵ 图中: G($)为连续部分的传递函数,W)为系统连续课差信号,ep)为系统采样诔基信号 4£⑵二Wf(i)R(z)=——R(z) I+G(z) 则采样瞬时的终值误差为 €(<»)=limee(r)=lim(1-z»)E(z)二;->i 条件: 离散系统是稳定的. 讨论: 线性定帯离散系统的稳态误差,不但与系统本身的结构和参数有关,而且与输入序列的形式珂更值有关,除此之外,还与釆样周期的选取有关 一時算Z気枚术一 思考题: 如何求得系统的动态误差? 上克】"2*址>1的刀3»齐法 ■典型输入时的稳态误差计算 1.单位阶跃输人时的稳态谋差 对于单位阶跃输入M)=l(/)时,十)呷乎E(沪卿订話=爲=丄则K严1呗1十G(w)]称为位亶放大系數. 2.单位速度输入时的穗态谋星 对于单位速度输入r(“曰时 则心=雪: 一102)称为連度放大系数. 3.单位加迷度输入时的稳态误差 对于单位加速度输入r(t)=时 0.368Q+0.718) (Z-1KZ-0.368) 求该系统在三种典型信号的作用下的稳态误差.解: (1)单位阶跃函数输入时 K「=lim[1+G(z)]=lim 0.368(2+0,718) +=QO (乙一1)(乙一0.368)
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- 线性 离散系统 变换 分析 方法