word完整版本教师版本高中高考与阿基米德三角形包括答案docx.docx

word完整版本教师版本高中高考与阿基米德三角形包括答案docx.docx

《word完整版本教师版本高中高考与阿基米德三角形包括答案docx.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《word完整版本教师版本高中高考与阿基米德三角形包括答案docx.docx（44页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

word完整版本教师版本高中高考与阿基米德三角形包括答案docx

高考与阿基米德三角形试题答案

1．（2008年江西卷理科第

21题）21．（本小题满分

12分）

1．证明：

（1）设A（x1,y1）,B（x2,y2），由已知得到

y1y2

0，且x12

y12

1，x22

y22

1，

设切线PA的方程为：

y

y1

k（xx1）由

y

y1

k（x

x1）

y

xm

x2

y2

1

2

）x

2

2k（y1

kx1）x（y1

kx1）

2

10

N

得（1k

A

从而

O

4k2（y1

kx1）2

4（1k2）（y1

kx1）2

4（1k2）0

P

M

x

解得k

x1

B

y1

因此PA的方程为：

y1y

x1x

1

同理PB的方程为：

y2y

x2x

1

又P（m,y0）在PA、PB上，所以y1y0

mx1

1，y2y0

mx21

即点A（x1,y1）,B（x2,y2）都在直线y0ymx

1上

又M（1,0）也在直线y0y

mx1上,所以三点A、M、B共线

m

（2）垂线AN的方程为：

y

y1

x

x1，

由

y

y1

x

x1得垂足N（x1

y1,x1y1），

x

y

0

2

2

设重心G（x,y）

1

1

x1

y1

9x

3y

3

x

）

x1

m

（x1

m

2

4

所以

3

解得

1

1

x1

y1

y

（y1

0

）

9y

3x

3

2

y1

m

4

1）（3x3y

1）

1）2

y22

由x12

y12

1可得（3x

3y

2即（x

为重心G所在曲线方

m

m

3m

9

1

程

2．（2008年山东卷理科第

22

题）

解：

（Ⅰ）证明：

由题意设

A

x12

x22

，x1

x2，M（x0，2p）．

x1，

，B

x2，

2p

2p

由x2

2py得y

x2

，得y

x，

2p

p

所以kMA

x1，kMB

x2．

p

p

因此直线MA的方程为y

2p

x1

（x

x0），直线MB的方程为y

2p

x2（xx0）．

p

p

所以x12

2p

x1（x1

x0），①

x22

2p

x2（x2

x0）．②

2p

p

2p

p

由①、②得x1

x2

x1

x2

x0，

因此x0

x1x2

，即2x0

x1

x2．

2

2

所以A，M，B三点的横坐标成等差数列．

（Ⅱ）解：

由（Ⅰ）知，当

x0

2时，将其代入①、②并整理得：

x12

4x1

4p2

0，x22

4x2

4p2

0，

所以x1，x2是方程x2

4x

4p2

0的两根，因此

x1

x2

4，x1x2

4p2，

x2

x2

2

1

又kAB

2p

2p

x1

x2

x0，所以kAB

2

．

x2

x1

2p

p

p

由弦长公式得

AB

1

k

2

（x1

x2）

2

4x1x2

1

4

1616p

2

．

2

p

又AB

410，所以p

1或p

2，

因此所求抛物线方程为

x2

2y或x2

4y．

（Ⅲ）解：

设D（x3，y3），由题意得C（x1

x2，y1

y2），

则CD的中点坐标为Q

x1

x2

x3，y1

y2

y3

，

2

2

2

设直线AB的方程为y

y1

x0（x

x1），

p

由点Q在直线AB上，并注意到点

x1

x2

y1

y2

也在直线AB上，

2

，

2

代入得y3

x0x3．若D（x3，y3）在抛物线上，则

x32

2py32x0x3，

p

因此x3

0或x3

2x02

2x0．即D（0，0）或D2x0，

p

．

（1）当x0

0时，则x1

x2

2x00，此时，点M（0，2p）适合题意．

（2）当x0

0，对于D（0，0），此时C

x12

x22

，

2x0，

2p

x12

x22

kCD

2p

x12

x22

x0

，AB

CD，

2x0

，又kAB

p

4px0

所以kABgkCD

x0gx12

x22

x12

x22

1，即x12

x22

4p2，矛盾．

p

4px0

4p2

对于D

2x02

，因为C

x12

x22

，此时直线CD平行于y轴，

2x0，

2x0，

p

2p

又kAB

x0

0，所以直线

AB与直线CD不垂直，与题设矛盾，

p

所以x0

0时，不存在符合题意的

M点．

综上所述，仅存在一点

M（0，2p）适合题意．

3．（2007年江苏卷理科

19题）

解：

（1）设过

C

点的直线为y

kx

c，所以x2

kx

cc

0

，即x2

kx

c

0，设

uuur

uuur

uuur

uuur

Ax1,y1

B

x2,y2

，OA=

x1,y1，OB

x2,y2

，因为OAOB

2，所以

x1x2

y1y2

2，即x1x2

kx1

ckx2

c

2，x1x2

k2x1x2

kcx1

x2

c2

2

所以

c

k2c

kcgk

c2

2，即c2

c

2

0,所以c

2舍去c

1

（2）设过Q

的切线为yy

k

xx，y/

2x，所以k1

2x1，即

1

1

1

3

2

y1

2x1xx1

2

c的交点为M

x1

c

c，又

y2x1x2x1

，它与y

2

2x1

P

x1

x2

y1

y2

kk2

c

，所以

Q

k

c

，因为x1x2

c,所以

c

x2，所以

2

2

2

2

x1

2

M

x1

x2

c

k,

c

所以点M和点Q重合，也就是

QA为此抛物线的切线。

2

2

2

（3）

（2）的逆命题是成立，由（

2）可知Q

k,

c

，因为PQ

x轴，所以P

k,yP

2

2

x1

x2

k

，所以P为AB

的中点。

因为

2

2

4．（2005年江西卷理科

22题）

解：

（1）设切点A、B坐标分别为（x,x02）和（x1,x12）（（x1

x0），

∴切线AP的方程为：

2x0x

y

x02

0;

切线BP的方程为：

2x1x

y

x12

0;

解得P点的坐标为：

xP

x0

x1,yP

x0x1

2

所以△APB的重心G的坐标为

x0

x1

xP

xP，

xG

3

yG

y0

y1yP

x02

x12

x0x1

（x0

x1）2

x0x1

4xP2

yp

3

3

3

3

所以yp

3yG

4xG2，由点P在直线l上运动，从而得到重心

G的轨迹方程为：

x（3y4x2）20,即y

1（4x2

x2）.

3

（2）方法1：

因为FA

2

1

x

0

x1

x0x1

1

2

1

（x0,x0

）,FP

（

2

）,FB

（x1,x1

）.

4

4

4

由于P点在抛物线外，则

|FP|

0.

FP

FA

x0

x1x0（x0x1

1）（x02

1）x0x1

1

∴cos

2

4

4

4,

AFP

（x0

1）2

|FP||FA|

|FP|x0

2

|FP|

2

4

4

x0x1

x1

（x0x1

1

2

1

x0x1

1

FP

FB

）（x1

）

同理有cos

BFP

2

4

4

4,

|FP||FB|

12

2

2

|FP|

|FP|x1

（x1

）

4

∴∠AFP=∠PFB.

方法2：

①当x1x0

0时,由于x1

x0,不妨设x0

0,则y0

0,所以P点坐标为（x1

0），则

2

|x1

|

1

x12

1

P点到直线AF的距离为：

d1

4x,

2

;而直线BF的方程:

y

4

x1

即

2

1

1

0.

（x1

4）xx1y

4x1

2

1

x1

x1

|

2

1

|x1|

|（x1

）

2

4

（x1

）

2

|x1|

所以P点到直线BF的距离为：

d2

4

4

1）

2

1

2

（x12

（x1）2

2

x1

4

4

所以d1=d2，即得∠AFP=∠PFB.

②当xx

0时，直线AF的方程：

1

x02

1

1

1

0

4

2

0,

1

y

x0

0

（x0）,即（x0

）xx0y

x0

4

4

4

1

x12

1

1）x

1x1

直线BF的方程：

y

x1

4（x

0）,即（x12

x1y

0,

4

0

4

4

所以P点到直线AF的距离为：

|（x02

1）（x0

x1）x02x1

1x0|

|x0

2

x1）（x02

1）

|x0x1|

d1

4

2

4

1

4

，同理可得到P

1）2

x02

2

（x02

x

02

4

4

点到直线BF的距离d2

|x1

x0|

，因此由d1=d2

，可得到∠AFP=∠PFB

2

5．（2006年全国卷2理科第21题）

解：

（Ⅰ）由已知条件，得

F（0，1），λ＞0．

→

→

设A（x1，y1），B（