华东师大版八年级上册数学知识点集及思维导图.docx
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华东师大版八年级上册数学知识点集及思维导图
初中数学知识点
华东师大版初中数学八年级上册第
@本章思维导图
11章数的开方
平方0互逆运舁0开工万如果一个数的平方筝于。
,部么这个数叫做a的平方松含及根,记作吐JT'(q2O)。
表示,丁-个正数有两个平方根,它们互为相反数“…"
瞰平方根是0个性质负数没有平方也’一
■
用计算器求算术平方根教平利等负性卜
—“j
开立方0互逆运第“「立方一
概念及如果一个数的立方等于a押么这个教
表示叫做〃的立方根,记作“狗”
0
任何一个实数却有且仅有一个立力根,
且正教的立方I艮是正教,弼立方根是0,性质负敢的立方根是负教
数的开方
用计算器求立方根
概念。
有理数和无理教统称实教
—5与救物上点的关系一一对应
A运算
—1比较大小
义:
如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根.
(2)表示方法:
±疯(。
>0).
(3)性质:
正数有两个互为相反数的平方根;零的平方根是零;负数没自平方根.
2.算术平方根
(1)定义:
正数a的正的平力根,叫做a的算术平方根.0的算术平方根是0.
(2)表小方法:
n,(a之0).
(3)重要性质:
双重非负性:
V^>0,G/>0)
其他具有非负性的式子:
/,(〃为正整数)加
运算性质:
如果几个非负数的和为0,那么每一个非负数都为0.
(4)运算性质:
一个非负数的算术平方根的平方等于它本身,(&厂=4,(〃之0).
一个实数的平方的算术平方根等十它的绝对值,必=同.
3.开平后
定义:
求一个非负数的平方根的运算,叫做升平方.
一、立方根
1.立方根
3)定义:
如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根.
(2)表示方法:
Va.
(3)性质:
正数的立方根是正教,负数的立方根是负数,0的立方根是0.
(4)运算颤:
V?
=(W=«.
三、实数
定义:
尢限不循环小数叫做无理数.
2.实数
有理数和无理数统称实数.
3.实数的分类
按定义分:
J有理数[鬟
实数〈分数
无理数
按性质分:
根,分别是a+3与2a-15,求a的值,并求这个正数m.
已知-2=2-",求a的取值范围.
若不+网+、5=0,求a、b、c的值
已知实数a、b、c在数轴上的位置如图所示:
化简:
\a\+\a+b\-yl(c—a)2-2-7?
ca6gA
一个数的立力根是它本身,则这个数是.
计算:
而疗=.
有卜列各数,01柄,0.23,
l-v/f2f—f0.3030030003--•,7
其中尢理数有.
求一个无理数的整数部分和小
数部分:
已知a是旧的整数部分,b是&T的小数部分,求a和b的值
比较大小:
2y[33-V2
5-V32+V3
实数零
’负有理数
负无理数
4.实数与数轴上点的关系实数与数轴上的点一一对应.
5.实数大小比较常有方法平方法;做差法;倒数法;做商法
华东师大版初中数学八年级上册第12章整式的乘除国本章思维导了
知识点
典型例题
一、幕的运算
1.同底数落的乘法
法则:
同底数幕相乘,底数不变,指数相加.
已知2'=3,求27的值.
'互逆变形/
(〃八〃为正整数)
逆用:
2.幕的乘方
法则:
黑的乘方,底数不变,指数相乘.
(,*)"=*(=、〃为正整数).
逆用:
产=(〃,=ST,(加、/为正整数).
3.积的乘方
法则:
积的乘方,把积的每一个因式分别乘方,再把所得的寨相乘.
(皿)"=”少(〃为正整数).
逆用:
为正整数).
4.同底数幕的除法
法则:
同底数幕相除,底数不变,指数相减.
a,n+an=a"~",(〃?
、〃为正整数,机,n,a-0)
逆用:
/"=〃、/,(〃?
、〃为正整数,〃?
>%“W0)
二、整式的乘法
L单项式与单项式相乘
法则:
单项式与单项式相乘,只要将它们的系数、相同字母的帚分别相乘,对于只在一个单项式中出现的字母,连同它的指数一起作为积的一个因式.
5.单项式与多项式相乘
法则:
单项式与多项式相乘,将单项式分别乘以多项式的每一项,再将所得的积相加.
3•多项式与多项式相乘
法则:
多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.
三、乘法公式
1.两数和乘以这两数的差(平力差公式)
:
(a+b)(a-b)=a2-b2
即:
两数和与这两数差的积,等于这两数的平方差.
方法:
找相同项和相反相,用相同项的平方减去相反相的平方.
2.两数和(差)的平方(完全平方公式)
公式:
(4±匕)2=。
2±2〃〃+人2.
即:
两数和(差)的平方,等于这两数的平方和加上(减去)它们的积的2倍.
顺口溜:
自平方,尾平方,乘积2倍放中央.
已知a"'=6,/=2,求a2m+3”的值.
计算:
8,(,x0.1259
已知10m=5,10”=4,求10—的值.
当p,q为何值时,(x2-5x+7)(x2+px+q)的展开式中不含.一和/的项?
计算:
998x1002
已知a+b=5,ab=6,求a2+3ab+b2的值.
已知x+L=3,求炉+1的值.XX
3.补充公式:
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab.
四、整式的除法
1.单项式除以单项式
法则:
单项式相除,把系数、同底数幕分别相除作为商的因式,对于只在被除式中出现的字母,则连同它的指数一起作为商的一个因式.
2.多项式除以单项式
法则:
多项式除以单项式,先用这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加.
五、因式分解
1.定义:
把一个多项式化为几个整式的积的形式,叫做多项式的因式分解.
2.因式分解的方法
j提公因式法十字相乘法分解因式,上平方差公式公式法[完全平方公式分组分解法
(1)提公因式法
公因式:
多项式中每一项都含有的一个相同的因式,叫做公因式
找公因式的方法:
确定各项系数的最大公约数;找各项的相同字母;取相同字母的最小指数.
注意:
若要分解的多项式第一项有负号,通常负号要提前.
(2)形如Y+(〃+〃口+〃〃的二次三项式因式分解(十字相乘法)
x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+h).
(3)公式法
平方差公式:
a2—b1—(a+b)(a—b).
完全平方公式:
a2±2ab+b2=(a±b)2
(4)分组分解法
a.分组后能直接提公因式.b.分组后能直接运用公式.
方法总结:
一提二套三分组.
面会”一y+3,产)+(一产)
下列由左边到右边的变形,属于
因式分解的是()
A(a+1)(x-1)=x2-1
B.x2-2x+l=x(x-2)+1
C.a2-b2=(a+b)(a-b)
D.mx+my+nx+ny=m(x+y)+〃(x+y)
分解因式
-Samb3+12am+lb2+16am"2b
x(x-yXa-b)—y(y-x)(b-a)已知a、b、c为三角形三边,目满足
a2+b~+c2-ab-ac-bc=O,试说明该三角形的形状?
已知n为整数,试说明
(2〃+1)2-25能被4整除
华东师大版初中数学八年级上册第13章全等三角形
国本章思维导图一
作缴支
I作匚’卜锚平分卷]作全线-
I作媒的套鼾分段
等边对等角
三我合一
性质
定义法
kM
等角对等边k
三条边邦和等,
三个角鞫球连
定义法
、等边三角影
三个角都相等的三角影有一个角等于60°的等族三角杉
)判定
期逢宜
平分线!
等腰三角形
逆命题与设定理
角平分线
线段垂直平分线上的点,注质°到坡段两满的距高相等
_到线段两端距离相等的点
划定在线段的垂直平分牡
0
角平分戏上的点到
•M角两边的距离解0
角的内部愉赚距明癖列定八的点在角的平分线上0
知识点
典型例题
—s命题、定理与证明
L命题
3)定义:
表示判断的语句叫做命题.
(2)组成:
命题是由条件和结论两部分组成。
条件是已知事项,结论是由已知事项推出的事项。
命题常可以写成“如果…,那么…”的形式.
“如果”开始的部分是条件,“那么”开始的部分是结论.
(3)命题的真假
真命题:
如果条件成立,那么结论一定成立,这样的命题叫做真命题.
假命题:
如果条件成立时,不能保证结论总是止确,也就是说结论不成立,这样的命题叫做假命题.
判断一个命题是真命题,可以从公理或定理出发,用逻辑推理的方法证明(公理和定理都是真命题);
判断一个命题是假命题,只要举出一个例子,说明该命题不成立就可以了,这种方法称为举反例。
2.定理与证明
(1)基本事实:
数学中某些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的,并把它们作为判断其他命题真假的原始依据,即出发点.这样的真命题视为基本事实.我们也称它为公理.
初中阶段九个基本事实:
基本事实1:
两点确定一条直线.
基本事实2:
两点之间线段最短.
基本事实3:
过一点自且只有一条直线与这条直线垂直.
基本事实4:
两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么两直线平行。
基本事实5:
过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.
基本事实6:
两边及其夹角分别相等的两个二角形全等.
基本事实7:
两角及具夹边分别相等的两个二角形全等.
基本事实8:
三边分别相等的两个三角形全等.
基本事实9:
两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例.
(2)定理:
教学中,有些命题可以从基本事实或其他真命题出发,用逻辑推理的方法判断它们是正确的,并且可以作为进一步判断其他命题
已知:
AC平分匚BAD,CE匚AB,ZB+JD=18O°f求证:
AE=AD+BE
A
L已知:
AB=4,AC=2,D是BC中点,AD是整数,求AD
二
真假的依据,这样的真命题叫做定理.
(3)证明:
根据条件、定义以及基本事实、定理等,经过演绎推理,来判断一个命题是否止确,这样的推理过程叫做证明.
(4)如果要证明一个文字语言叙述的证明题,而没有给出图形、已知、求证,我们要证明这个命题,必须:
L首先必须根据命题的要求准确的画出图形,标出字母.
2.再根据要求按照图中所标字母与出数学语言表小的已知和求证.
3.最后根据已知和求证,用有关基本事实(公理\定理等进行证明.
二、全等三角形的判定
1.全等二角形
3)定义:
能够完全重合的两个三角形,叫做全等三角形.
(2)性质:
全等三角形的对应边相等,对应角相等.
2.全等三角形的判定条件
两个三角形只有一组或两组对应相等的元素(边或角),这两个三角形不一定全等.
3.全等二角形的判定
(1)边角边:
基本事实两边及具夹角分别相等的两个二角形全等.简记为S.A.S(或边角边).
(2)角边角:
基本事实两角及其夹边分别相等的两个二角形全等.简记为A.S.A(或角边角).
(3)角角边:
定理两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.简记为A.A.S.(或角角边).
(4边边边基本事实三边分别相等的两个三角形全等.简记为S.S.S.
(或边边边).
(5)斜边直角边:
定理斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.简记为H.L,(或斜边直角边).
二、等腰二角形
L等腰三角形的性质
3)定义:
有两条边相等的二角形叫做等腰二角形.
(2)相关概念:
等腰二角形中,相等的两边叫做腰,另一边叫做底边,两腰的夹角叫做顶角,腰和底边的夹角叫做底角.
(3):
等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角“).
等腰二角形底边上的高、中线及顶角的平分线互相重合.(简称“二线h)
(4)等边三角形
定义:
三条边都相等的三角形是等边三角形.
性质:
等边三角形的各个角都相等,并且每一个角都等于60°.
等边三角形的三条边都相等,三个角都相等,也称为正三角形.
与等腰二角形的关系:
等边二角形是特殊的等腰二角形.
2.等腰三角形的判定
(1)如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等.(简写成“等角对等边”).
(2)等边三角形的判定:
三个角都相等的三角形是等边三角形;
有一个角等于60。
的等腰二角形是等边二角形.
四、尺规作图
在几何里,把限定只用圆规和没有刻度的直尺来作几何图形的方法称为尺规作图.最基本、最常用的尺规作图,通常称基本作图.
5种基本作图:
(1)作一条线段等于已知线段;
(2)作一个角等于已知角;
(3)作已知角的平分线;
(4)经过一已知点作已知直线的垂线;
(5)作已知线段的垂直平分线.
一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的.
五、逆命题与逆定理
L互逆命题与互逆定理
互逆命题:
在两个命题中,如果第一个命题的条件是第二个命题的结论,而第一个命题的结论是第一个命题的条件,那么这两个命题叫做互逆命题.
如果把其中一个命题叫做原命题,那么另一个命题就叫做它的逆命题.
互逆定理:
如果一个定理的逆命题也是定理,那么这两个定理叫做互逆定理,其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理.
注意1:
逆命题、互逆命题不一定是真命题,
但逆定理、互逆定理,一定是真命题.
注意2:
不是所有的定理都有逆定理.
2.线段垂直平分线
性质定理:
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
判定定理:
到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
它们是互逆定理.
拓展:
将军饮马问题
唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句说:
"白日登山望峰火,黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题.
如图所示,诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发,走到河边饮马后冉到B点宿宫.请问怎样走才能使总的路程最短?
山峰A/!
河流i
r
如图所示,从A出发向河岸引垂线,垂足为D,在AD的延长线上,
取A关于河岸的对称点A\连结A'B,与河岸线相交于C,则C点就是饮马的地方,将军只要从A出发,沿直线走到C,饮马之后,再由C沿直线走到B,所走的路程就是最短的.
3.角平分线
性质定理:
角平分线上的点到角两边的距离相等.
判定定理:
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
它们是互逆定理.
K、几何证明吊用的思考方法:
1、分析法
要证明一个命题止确,为了寻找正确的证题方法或途径,我们可以先设想它的结论是正确的,然后追究它成立的原因,再就这些原因分别研究,看它们的成立又各需具备什么条件,如此逐步往上逆求,直至达到已知的事实,这样一种思维方法就叫做分析法。
可简单地概括为:
"执果索因"。
2、综合法
证明一个命题的正确时,我们先从已知的条件出发,通过一系列已确立的命题(如定义、定理等),逐步向前推演,最后推得要证明的结果,这种思维方法,就叫做综合法。
可简单地概括为:
”由因导果〃
3、综合分析法
就是把分析法和综合法结合起来运用,也可以叫〃两头凑",即先从已知条件出发,看可以得出什么结果,再从要证明的结论开始寻求,看它的成立需具备哪些条件,最后看它们的差距在哪里,从而找出正确的证题途径。
七、常见辅助线作法
1、截长补短法
2、补形法
角三角形三边的关系
勾股定理:
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
2.直角三角形的判定
(1)勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形,且边c所对的角为直角.
(2)能够成为直角三角形三边长的三个正整数,称为勾股数.
3.反证法
步骤为:
⑴先假设结论的反面是正确的;
(2)然后通过逻辑推理,得出与基本事实、已证的定理、定义或已知条件相矛盾;
(3)从而说明假设不成立,进而得出原结论正确。
二、勾股定理的应用
L利用直角三角形的面积关系求斜边上的高
由S=—ab=—ch22
可得,ab=ch,
nnab
即c=T
2.在立体图形中求最低距离(正方体、长方体、圆柱体)
BC,两边长分别为3和4,求第三边长.
2.如果一个三角形的三边长分别是5、12、13,则这个三角形的最大内角的度数是
3.一块长、宽、高分别是3cm、2cm、1cm的长方体木块,一只蚂蚁要从长方体木块的顶点A处,沿着长方体的表面到长方体上和点A相对的顶点B处吃食物,那么它需要爬行的最短路程是.
主要方法:
利用立体图形的表面展开图,根据基本事实两点之间线段最短和勾股定理可求。
有时还要运用到"将军饮马”问题的基本模型求解。
数据的收条
华东师大版初中数学八年级上册第15章数据的收集与表示
膨本章思维导图
数据的用处数据的收集步歌
频数、频率
知识点
典型例题
一、数据的收集
L数据收集的步骤:
(1)明确调查的问题;
(2)确定调查的对象;
(3)选择调查的方法;
(4)展开调查;
(5)记录结果;
(6)得出结论。
2.频数:
表示每个对象出现的次数.
3.频率:
表示每个对象出现的次数与总次数的比值(或者百分百).
频数和频率都能够反映每个对象出现的频繁程度.
频率=上与_,总次数=修,频数=总次数X频率总次数频率
二、数据的表示
L常有统计图:
条形统计图、折线统计图、扇形统计图.
2.绘制扇形统计图的一般步骤:
(1)计算各部分数量占总数量的百分比:
(部分+总体)x100%
(2)计算相应的扇形圆心角的度数:
360。
乂百分比
(3)画圆及扇形:
画适度大小的圆,并按圆心角的度数度量画出各部分扇形.
(4)注明相应的百分比各成分的名称可以注在图上,也可以用图例表明.
3.归纳总结
(1)统计表:
可以清楚的将数据分门别类的列出来,当数据之间的关系比较复杂时,可以通过增加子栏目继续对数据进行分类统计.
(2)条形统计图:
用宽度相同的条形的高低或长短来表示数据特征的统计图.它可以直观的反映出数据的数量特征.
(3)扇形统计图:
□利用圆和扇形表示整体和部分的关系.
□圆代表整体,圆中的各个扇形分别代表总体中的不同部分.
□扇形的大小反映部分占总体的百分比的大小.
(4)折线统计图:
用折线表示数量变化规律的统计图.以折线的起伏直观的反映出数量随时间所发生的相应变化.
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