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初二上数学知识点大全
第一部分全等三角形
一、全等三角形
1、概念:
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形。
2、全等三角形有哪些性质(理解熟悉,并能熟练应用)
(1):
全等三角形的对应边相等、对应角相等。
(2):
全等三角形的周长相等、面积相等。
(3):
全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。
3、全等三角形的判定(理解熟悉,并能熟练应用)
边边边:
三边对应相等的两个三角形全等(可简写成“SSS”)
边角边:
两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等(可简写成“SAS”)角边角:
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可简写成“ASA”)
角角边:
两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(可简写成“AAS”)
斜边.直角边:
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可简写成“HL”)4、证明两个三角形全等的基本思路:
(归纳概括,课梳理解题思路)
找第三边(SSS)
(1):
已知两边----
(2):
已知一边一角---
找夹角(SAS)
找是否有直角(HL)已知一边和它的邻角已知一边和它的对角
找这边的另一个邻角(ASA)
找这个角的另一个边(SAS)
找这边的对角(AAS)
找一角(AAS)
已知角是直角,找一边(HL)
找两角的夹边(ASA)
(3):
已知两角---
找夹边外的任意边(AAS)
二、角的平分线:
1、(性质)角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
2、(判定)角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
三、学习全等三角形应注意以下几个问题:
(1):
要正确区分“对应边”与“对边”,“对应角”与“对角”的不同含义;
(2):
表示两个三角形全等时,表示对应顶点的字母要写在对应的位置上;
(3):
“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等;
(4):
时刻注意图形中的隐含条件,如“公共角”、“公共边”、“对顶角”
二、经典例题:
例1、如图,已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D是AB的中点,E、F分别在AC、BC上,且ED⊥FD.求证:
.
分析:
由D点为AB的中点可知△ACD,△BCD的面积都等于△ABC的面积的一半.因此可采用割补法证明.
证明:
连结CD.
∵在Rt△ABC中,
∠ACB=90°,AC=BC,D为AB的中点,
∴△ACD≌△BCD
∴∠ADC=∠BDC
且∠A=∠B=45°
又∵∠ADC+∠BDC=180°
∴∠ADC=∠BDC=90°
∴∠BCD=90°-∠B=45°=∠B
∴∠ACD=90°-∠A=45°=∠A
∴AD=BD=CD,
又∵ED⊥FD,∴∠EDC+∠CDF=90°
∵∠ADE+∠EDC=90°
∴∠ADE=∠CDF.
在△ADE和△CDF中,
∴△ADE≌△CDF
∴S△ADE=S△CDF
同理可证:
S△CDE=S△BDF
∴.
例2、在△ABC中,请证明:
(1)若AD为角平分线,则
(2)
设D是BC上一点,连接AD,若,则AD为角平分线.分析:
如图,
(1)由三角形的面积及底边联想到作三角形的高,作DE⊥AB于E,作DF⊥AC于F,则DE=DF,即结论①成立;②由①结合△ABD与△ACD是共高三角形,即可得到结论.
(2)逆用上述的思路即可证明结论成立.
证明:
(1)①如图,过D作DE⊥AB于E,作DF⊥AC于F.
∵AD为角平分线,∴DE=DF
∴.
②如图,过A作AH⊥BC于H,则S△ABD=BD·AH,S△ACD=CD·AH,
∴
结合①有
(2)作DE⊥AB于E,DF⊥AC于F.
∵.
∴DE︰DF=1,即DE=DF
∴AD为△ABC的角平分线.
例3、如图,已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D是AB的中点,E、F分别在AC、BC上,且ED⊥FD.求证:
.
分析:
由D点为AB的中点可知△ACD,△BCD的面积都等于△ABC的面积的一半.因此可采用割补法证明.
证明:
连结CD.
∵在Rt△ABC中,
∠ACB=90°,AC=BC,D为AB的中点,
∴△ACD≌△BCD
∴∠ADC=∠BDC且∠A=∠B=45°
又∵∠ADC+∠BDC=180°
∴∠ADC=∠BDC=90°
∴∠BCD=90°-∠B=45°=∠B
∴∠ACD=90°-∠A=45°=∠A
∴AD=BD=CD,
又∵ED⊥FD,∴∠EDC+∠CDF=90°
∵∠ADE+∠EDC=90°
∴∠ADE=∠CDF.
在△ADE和△CDF中,
∴△ADE≌△CDF
∴S△ADE=S△CDF
同理可证:
S△CDE=S△BDF
∴.
例4、在△ABC中,请证明:
(1)若AD为角平分线,则
(2)
设D是BC上一点,连接AD,若,则AD为角平分线.分析:
如图,
(1)由三角形的面积及底边联想到作三角形的高,作DE⊥AB于E,作DF⊥AC于F,则DE=DF,即结论①成立;②由①结合△ABD与△ACD是共高三角形,即可得到结论.
(2)逆用上述的思路即可证明结论成立.
证明:
(1)①如图,过D作DE⊥AB于E,作DF⊥AC于F.
∵AD为角平分线,∴DE=DF
∴.
②如图,过A作AH⊥BC于H,则S△ABD=BD·AH,S△ACD=CD·AH,
∴
结合①有
(2)
作DE⊥AB于E,DF⊥AC于F.
∵.
∴DE︰DF=1,即DE=DF
∴AD为△ABC的角平分线.
三、练习题:
选择题
1.如图1,AB=AC,∠BAD=∠CAD,AB=6,BD=4,AD=3,则CD等于()
(A)6(B)4(C)3(D)5
2.如图2,△ABC≌△CDA,∠BAC=85°,∠B=65°,则∠CAD度数为()
(A)85°(B)65°(C)40°(D)30°
3.如图3,AC、BD相交于点O,OA=OC,OB=OD,则图中全等三角形有()
(A)2对(B)3对(C)4对(D)5对
D
AAD
B图1C
BC
图3
B图2C
4.如图4,点D、E在线段BC上,AB=AC,AD=AE,BE=CD,要判定△ABD≌△ACE,较为快捷的方法为()
(A)SSS(B)SAS(C)ASA(D)AAS5.根据下列条件,能唯一画出△ABC的是()
(A)AB=3,BC=4,AC=8(B)AB=4,BC=3,∠A=30°
(C)∠A=60°,∠B=45°,AB=4(D)∠C=90°,AB=6
6.如图5,等边△ABC中,BD=CE,AD与BE交于点P,则∠APE的度数为().
(A)70°(B)60°(C)40°(D)30°
参考答案:
BDCACB
填空题
7.如图6,AC=AD,BC=BD,则△ABC≌;应用的识别方法
是.
8.如图7,△ABD≌△BAC,若AD=BC,则∠BAD的对应角为.
AAC
BDEC
图4
AB
BDC
图5D
9.已知AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于E,且DE=3cm,则点D到AC的距离为.
10.如图8,AB与CD交于点O,OA=OC,OD=OB,∠AOD=,
根据可得△AOD≌△COB,从而可以得到AD=.
11.如图9,∠A=∠D=90°,AC=DB,欲使OB=OC,可以先利用“HL”说明≌得到AB=DC,再利用“”证明△
AOB≌得到OB=OC.
12.如果两个三角形的两条边和其中一边上的高分别对应相等,那么这两个三角形
的第三边所对的角的关系是.AD
DCBC
图9
AB
图7
图8
参考答案:
7.△ABDSSS8.∠ABC9.3cm10.∠COBSASBC11.△ACB,△DBCSAS△DOC12.相等
解答题:
13.
如图,已知AE⊥AD,AF⊥AB,AF=AB,AE=AD=BC,AD//BC.
求证:
(1)AC=EF,
(2)AC⊥EF
14.如图所示,BE、CF是△ABC的高,BE、CF相交于O,且OA平分∠BAC.求证:
OB=OC.
参考答案:
13解:
分析:
(1)
要证AC=EF,可证△ABC≌△FAE,而BC=AE,AB=AF,所以只需证明∠B=∠EAF即可.
(2)要证AC⊥EF,若延长CA交EF于G,可证∠2=90°,而∠3+∠1=∠2+∠F,而由
(1)得∠1=∠F.
所以∠2=∠3,而∠3=90°于是可证明∠2=90°
证明:
(1)∵AD//BC,∴∠B+∠DAB=180°
又∵∠DAB+∠4+∠EAF+∠3=360°,∠3=∠4=90°
∴∠DAB+∠EAF=180°
∴∠B=∠EAF
在△ABC和△FAE中
∴△ABC≌△FAE(SAS)
∴AC=EF
(2)∵△ABC≌△FAE
∴∠1=∠F
又∵∠1+∠3=∠2+∠F
∴∠2=∠3又∵∠3=90°
∴∠2=90°
∴AG⊥EF,即AC⊥EF
14.解答,分析:
要证OB=OC,需证△BOF≌△COE,条件有对顶角,直角,又OA是角平分线,不难证OF=OE,此问题得证.
证明:
因为BE⊥AC,AB⊥CF(已知),所以∠BFO=∠CEO=90°(垂直定义).
又因为BE、CF相交于O,且OA平分∠BAC,
所以OF=OE(角平分线上的点到角两边的距离相等).
在△BOF和△COE中,
所以△BOF≌△COE(ASA),所以OB=OC(全等三角形的对应边相等).
第二部分轴对称
知识梳理
一、轴对称图形:
(理解掌握)
1.把一个图形沿着一条直线折叠,如果直线两旁的部分能够完全重合,那么这个图形就叫做轴对称图形。
这条直线就是它的对称轴。
这时我们也说这个图形关于这条直线(成轴)对称。
2.把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能与另一个图形完全重合,那么就说这两个图关于这条直线对称。
这条直线叫做对称轴。
折叠后重合的点是对应点,叫做对称点
3、轴对称图形和轴对称的区别与联系
3、轴对称图形和轴对称的区别与联系
4.轴对称的性质
①关于某直线对称的两个图形是全等形。
②如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
③轴对称图形的对称轴,是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
④如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称。
二、线段的垂直平分线(理解掌握,能熟练应用)
1.经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线,也叫中垂线。
2.线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等
3.与一条线段两个端点距离相等的点,在线段的垂直平分线上
三、用坐标表示轴对称小结:
在平面直角坐标系中,关于x轴对称的点横坐标相等,纵坐标互为相反数.关于y轴对称的点横坐标互为相反数,纵坐标相等.
点(x,y)关于x轴对称的点的坐标为.点(x,y)关于y轴对称的点的坐标为.
2.三角形三条边的垂直平分线相交于一点,这个点到三角形三个顶点的距离相等
四、(等腰三角形)知识点回顾
1.等腰三角形的性质
①.等腰三角形的两个底角相等。
(等边对等角)
②.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
(三线合一)2、等腰三角形的判定:
如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等。
(等角对等边)
五、(等边三角形)知识点回顾
1.等边三角形的性质:
等边三角形的三个角都相等,并且每一个角都等于600。
2、等边三角形的判定:
①三个角都相等的三角形是等边三角形。
②有一个角是600的等腰三角形是等边三角形。
3.在直角三角形中,如果一个锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半。
经典例题分析
例1、如图,△ABC为等边三角形,AE=CD,AD、BE相交于点P,BQ⊥AD于Q,PQ=3,PE=1.求AD的长.
分析:
由已知条件易知△ABE≌△CAD,从而AD=BE,只须求BP长即可,由BQ⊥AD知,若在Rt△BPQ中有∠PBQ=30°,就可求出BP的长,于是求证∠BPQ=60°为问题的突破口.证明:
∵△ABC为等边三角形,
∴∠BAC=∠C=60°,AB=AC.
又AE=CD,∴△ABE≌△CAD,
∴∠ABE=∠CAD,BE=AD,
∴∠BPQ=∠BAP+∠ABE=∠BAP+∠PAE=∠BAC=60°,
∴∠PBQ=30°.
又BQ⊥PQ,∴PB=2PQ=6,
∴BE=PB+PE=7,
∴AD=BE=7.
例2、如图,已知△ABC中,AB=AC,AB、AC的垂直平分线DF、EG分别交BC、CB的延长线于F、G.求证:
∠1=∠2.
分析:
遇到线段垂直平分线和等腰三角形,首先考虑运用等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质,寻求最简捷的解题途径.
证明:
因为AB=AC,所以∠4=∠5.
因为DF、EG分别为AB、AC的垂直平分线,所以AF=BF,AG=CG,
所以∠1+∠3=∠5,∠2+∠3=∠4.所以∠1+∠3=∠2+∠3.
所以∠1=∠2.
例3、如图,在△ABC中,AB=AC,过BC上一点D作BC的垂线,交BA的延长线于P,交AC于Q.判断△APQ的形状,并证明你的结论.
解:
△APQ是等腰三角形.证明如下:
因为AB=AC,所以∠B=∠C.
因为PD⊥BC,所以∠P+∠B=90°,∠2+∠C=90°,所以∠P=∠2.
又因为∠1=∠2,所以∠P=∠1.所以AP=AQ.
所以△APQ为等腰三角形.
三、练习题
1.等腰三角形的一边等于5,一边等于12,则它的周长为()A.22B.29C.22或29D.17
2.如图14-110所示,图中不是轴对称图形的是()
3.在△ABC中,∠A和∠B的度数如下,其中能判定△ABC是等腰三角形的是()
A.∠A=50°,∠B=70°B.∠A=70°,∠B=40°
C.∠A=30°,∠B=90°D.∠A=80°,∠B=60°
4.
如图14-111所示,在△ABC中,AB=AC,BD是角平分线,若∠BDC=69°,则∠A等于()A.32°B.36°C.48°D.52°
5.成轴对称的两个图形的对应角,对应线段.
6.等边三角形是轴对称图形,它有条对称轴.
7.等腰三角形顶角的与底边上的、重合,称三线合一.
8.
(1)等腰三角形的一个内角等于130°,则其余两个角分别为;
(2)等腰三角形的一个内角等于70°,则其余两个角分别为.
9.如图14-112所示,△ABC是等边三角形,∠1=∠2=∠3,求∠BEC的度数.
10.如图14-113所示,在△ABC中,AB=AC,E在CA延长线上,AE=AF,AD是高,试判断EF与BC的位置关系,并说明理由.
11.
如图14-114所示,在△ABC中,点E在AC上,点N在BC上,在AB上找一点F,使△ENF的周长最小,试说明理由.
参考答案、
1.B2.C3.B4.A[提示:
∵AB=AC,∴∠ABC=∠C.又∵BD是∠ABC的平分线,
∴∠DBC=1
2
1
∠ABC=1
2
∠C.又∵∠BDC=69°,
3
∴∠C+∠C+∠BDC=180°,即
22
2
∠C+69°=180°,
∴∠C=111°×
3
=74°.
∴∠A=180°-74°×2=180°-148°=32°.∴∠A=32°.]
5.相等相等6.37.平分线中线高
8.
(1)25°,25°
(2)55°,55°或70°,40°
9.解:
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=BC=CA,∠ABC=∠BCA=∠CAB=60°.
又∵∠1=∠2=∠3,
∴∠BAC-∠1=∠ABC-∠2=∠BCA-∠3,
即∠CAF=∠ABD=∠BCE.
在△ABD和△BCE和△CAF中,
∴△ABD≌△BCE≌△CAF(ASA).
∴AD=BE=CF,BD=CE=AF.∴AD-AF=BE-BD=CF-CE,即FD=DE=EF.
∴△DEF是等边三角形.∴∠FED=60°.
∴∠BEC=180°-∠FED=180°-60°=120°,
∴∠BEC=120°.
10.解:
EF与BC的位置关系是:
EF⊥BC.理由如下:
1
∵AB=AC,AD⊥BC,∴∠BAD=
2
又∵AE=AF,∴∠E=∠AFE.
∠BAC.
1
又∵∠BAC=∠E+∠AFE=2∠AFE,∠AFE=
2
∠BAC.
∴∠BAD=∠AFE.∴EF∥AD.又∵AD⊥BC,∴EF⊥BC.
11.提示:
图略.因为欲使△ENF的周长最小,即EN+NF+EF最小,而EN为定长,则必有NF+EF最小,又因为点F在AB上,且E,N在AB的同侧,由轴对称的性质,可作点E关于直线AB的对称点E′,连接E′N与AB的交点即为点F,此时,FE+FN最小,即△EFN的周长最小.
第三部分一次函数
基础知识梳理
一.常量、变量:
在一个变化过程中,数值发生变化的量叫做变量;数值始终不变的量叫做常
量;
二、函数的概念:
函数的定义:
一般的,在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说x是自变量,y是x的函数.
三、函数中自变量取值范围的求法:
(1).用整式表示的函数,自变量的取值范围是全体实数。
(2)用分式表示的函数,自变量的取值范围是使分母不为0的一切实数。
(3)用奇次根式表示的函数,自变量的取值范围是全体实数。
用偶次根式表示的函数,自变量的取值范围是使被开方数为非负数的一切实数。
(4)若解析式由上述几种形式综合而成,须先求出各部分的取值范围,然后再求其公共范围,即为自变量的取值范围。
(5)对于与实际问题有关系的,自变量的取值范围应使实际问题有意义。
四、函数图象的定义:
一般的,对于一个函数,如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标,那么在坐标平面内由这些点组成的图形,就是这个函数的图象.
五、用描点法画函数的图象的一般步骤(解题中,要善于利用函数图象)1、列表(表中给出一些自变量的值及其对应的函数值。
)
注意:
列表时自变量由小到大,相差一样,有时需对称。
2、描点:
(在直角坐标系中,以自变量的值为横坐标,相应的函数值为纵坐标,描出表格中数值对应的各点。
3、连线:
(按照横坐标由小到大的顺序把所描的各点用平滑的曲线连接起来)。
六、函数有三种表示形式:
(1)列表法
(2)图像法(3)解析式法七、正比例函数与一次函数的概念:
一般地,形如y=kx(k为常数,且k≠0)的函数叫做正比例函数.其中k叫做比例系数。
一般地,形如y=kx+b(k,b为常数,且k≠0)的函数叫做一次函数.
当b=0时,y=kx+b即为y=kx,所以正比例函数,是一次函数的特例.八、正比例函数的图象与性质:
(1)图象:
正比例函数y=kx(k是常数,k≠0))的图象是经过原点的一条直线,我们称它为直线y=kx。
(2)性质:
当k>0时,直线y=kx经过第三,一象限,从左向右上升,即随着x的增大y也增大;当k<0时,直线y=kx经过二,四象限,从左向右下降,即随着x的增大y反而减小。
九、求函数解析式的方法:
待定系数法:
先设出函数解析式,再根据条件确定解析式中未知的系数,从而具体写出这个式子的方法。
1.一次函数与一元一次方程:
从“数”的角度看x为何值时函数y=ax+b的值为0.
2.求ax+b=0(a,b是常数,a≠0)的解,从“形”的角度看,求直线y=ax+b与x轴交点的横坐标
3.一次函数与一元一次不等式:
解不等式ax+b>0(a,b是常数,a≠0).从“数”的角度看,x为何值时函数y=ax+b
的值大于0.
4.解不等式ax+b>0(a,b是常数,a≠0).从“形”的角度看,求直线y=ax+b在x轴
一次函数
概念
如果y=kx+b(k、b是常数,k≠0),那么y叫x的一次函数.当
b=0时,一次函数y=kx(k≠0)也叫正比例函数.
图像
一条直线
性质
“撇”增
k>0时,y随x的增大(或减小)而增大(或减小);“捺”减
k<0时,y随x的增大(或减小)而减小(或增大).
直线y=kx+b(k≠0)的位置与k、b
符号之间的关系.
(1)k>0,b>0;
(2)k>0,b<0;
(3)k>0,b=0(4)k<0,b>0;
(5)k<0,b<0(6)k<0,b=0
一次函数表达式的
确定
求一次函数y=kx+b(k、b是常数,k≠0)时,需要由两个点来确
定;求正比例函数y=kx(k≠0)时,只需一个点即可.
上方的部分(射线)所对应的的横坐标的取值范围.十、一次函数与正比例函数的图象与性质
5.一次函数与二元一次方程组:
解方程组⎧⎪a1x+b1y=c1
⎨
⎪⎩a2
x-b2
y=c2
从“数”的角度看,自变量(x)为何值时两个函数的值相等.并
求出这
解方程组⎧⎪a1x+b1y=c1
个函数值
⎨
⎪⎩a2
x-b2
y=c2
从“形”的角度看,确定两直线交点的坐标
经典例题分析
例1、函数y=(k-5)x|k|-4+2是一次函数,求此函数的解析式.解:
由一次函数的定义,知自变量x的指数等于1,系数不为零,即解得k=-5.因此此函数的解析式为y=-10x+2.
例2、已知一次函数y=kx+1(k≠0)的函数值y随x的增大而减小,则一次函数y=x+k的图象大致是图中的()
解:
由一次函数的性质知,当y随x的增大而减小时,k<0;由1>0,k<0,可知y=x+k
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