中考数学解答题专题训练用二次函数解决问题试题共17页.docx
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中考数学解答题专题训练用二次函数解决问题试题共17页
用二次函数(hánshù)解决问题
1.如图①,一次函数y=kx+b的图象与二次函数y=x2的图象相交于A,B两点,点A,B的横坐标分别为m,n〔m<0,n>0〕.
〔1〕当m=﹣1,n=4时,k= ,b= ;
当m=﹣2,n=3时,k= ,b= ;
〔2〕根据〔1〕中的结果,用含m,n的代数式分别表示k与b,并证明你的结论;
〔3〕利用〔2〕中的结论,解答以下问题:
如图②,直线AB与x轴,y轴分别交于点C,D,点A关于y轴的对称点为点E,连接AO,OE,ED.
①当m=﹣3,n>3时,求
的值〔用含n的代数式表示〕;
②当四边形AOED为菱形时,m与n满足的关系式为 ;
当四边形AOED为正方形时,m= ,n= .
2.抛物线y=
x2﹣
x+2与x轴交于A,B两点〔OA<OB〕,与y轴交于点C.
〔1〕求点A,B,C的坐标;
〔2〕点P从点O出发,以每秒2个单位长度的速度向点B运动,同时点E也从点O出发,以每秒1个单位长度的速度向点C运动,设点P的运动时间是为t秒〔0<t<2〕.
①过点E作x轴的平行线,与BC相交(xiāngjiāo)于点D〔如下图〕,当t为何值时,
+
的值最小,求出这个最小值并写出此时点E,P的坐标;
②在满足①的条件下,抛物线的对称轴上是否存在点F,使△EFP为直角三角形?
假设存在,请直接写出点F的坐标;假设不存在,请说明理由.
3.如图,在平面直角坐标系中,点A〔10,0〕,以OA为直径在第一象限内作半圆,B为半圆上一点,连接AB并延长至C,使BC=AB,过C作CD⊥x轴于点D,交线段OB于点E,CD=8,抛物线经过O、E、A三点.
〔1〕∠OBA= °.
〔2〕求抛物线的函数表达式.
〔3〕假设P为抛物线上位于第一象限内的一个动点,以P、O、A、E为顶点的四边形面积记作S,那么S取何值时,相应的点P有且只有3个?
4.如图,抛物线y=ax2+bx+c的顶点D的坐标为〔1,﹣
〕,且与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,A点的坐标为〔4,0〕.P点是抛物线上的一个动点,且横坐标为m.
〔l〕求抛物线所对应的二次函数的表达式;
〔2〕假设(jiǎshè)动点P满足∠PAO不大于45°,求P点的横坐标m的取值范围;
〔3〕当P点的横坐标m<0时,过P点作y轴的垂线PQ,垂足为Q.问:
是否存在P点,使∠QPO=∠BCO?
假设存在,恳求出P点的坐标;假设不存在,请说明理由.
5.一次函数y=
x的图象如下图,它与二次函数y=ax2﹣4ax+c的图象交于A、B两点〔其中点A在点B的左侧〕,与这个二次函数图象的对称轴交于点C.
〔1〕求点C的坐标;
〔2〕设二次函数图象的顶点为D.
①假设点D与点C关于x轴对称,且△ACD的面积等于3,求此二次函数的关系式;
②假设CD=AC,且△ACD的面积等于10,求此二次函数的关系式.
6.如图,抛物线y=﹣
x2+bx+c与坐标轴分别交于点A〔0,8〕、B〔8,0〕和点E,动点C从原点O开场沿OA方向以每秒1个单位长度挪动,动点D从点B开场沿BO方向以每秒1个单位长度挪动,动点C、D同时出发,当动点D到达原点O时,点C、D停顿运动.
〔1〕直接写出抛物线的解析式:
;
〔2〕求△CED的面积(miànjī)S与D点运动时间是t的函数解析式;当t为何值时,△CED的面积最大?
最大面积是多少?
〔3〕当△CED的面积最大时,在抛物线上是否存在点P〔点E除外〕,使△PCD的面积等于△CED的最大面积?
假设存在,求出P点的坐标;假设不存在,请说明理由.
7.如图,二次函数y1=﹣x2+
x+c的图象与x轴的一个交点为A〔4,0〕,与y轴的交点为B,过A、B的直线为y2=kx+b.
〔1〕求二次函数y1的解析式及点B的坐标;
〔2〕由图象写出满足y1<y2的自变量x的取值范围;
〔3〕在两坐标轴上是否存在点P,使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形?
假设存在,求出P的坐标;假设不存在,说明理由.
8.在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣
x2+bx+c与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,直线y=x+4经过A,C两点.
〔1〕求抛物线的解析式;
〔2〕在AC上方的抛物线上有一动点P.
①如图1,当点P运动到某位置时,以AP,AO为邻边的平行四边形第四个顶点恰好(qiàhǎo)也在抛物线上,求出此时点P的坐标;
②如图2,过点O,P的直线y=kx交AC于点E,假设PE:
OE=3:
8,求k的值.
9.综合与探究
如图1,在平面直角坐标系xOy中,抛物线W的函数表达式为y=﹣
x2+
x+4.抛物线W与x轴交于A,B两点〔点B在点A的右侧,与y轴交于点C,它的对称轴与x轴交于点D,直线l经过C、D两点.
〔1〕求A、B两点的坐标及直线l的函数表达式.
〔2〕将抛物线W沿x轴向右平移得到抛物线W′,设抛物线W′的对称轴与直线l交于点F,当△ACF为直角三角形时,求点F的坐标,并直接写出此时抛物线W′的函数表达式.
〔3〕如图2,连接AC,CB,将△ACD沿x轴向右平移m个单位〔0<m≤5〕,得到△A′C′D′.设A′C交直线l于点M,C′D′交CB于点N,连接CC′,MN.求四边形CMNC′的面积〔用含m的代数式表示〕.
10.O为坐标(zuòbiāo)原点,抛物线y1=ax2+bx+c〔a≠0〕与x轴相交于点A〔x1,0〕,B〔x2,0〕,与y轴交于点C,且O,C两点间的间隔为3,x1•x2<0,|x1|+|x2|=4,点A,C在直线y2=﹣3x+t上.
〔1〕求点C的坐标;
〔2〕当y1随着x的增大而增大时,求自变量x的取值范围;
〔3〕将抛物线y1向左平移n〔n>0〕个单位,记平移后y随着x的增大而增大的局部为P,直线y2向下平移n个单位,当平移后的直线与P有公一共点时,求2n2﹣5n的最小值.
11.在平面直角坐标系中,O为原点,直线y=﹣2x﹣1与y轴交于点A,与直线y=﹣x交于点B,点B关于原点的对称点为点C.
〔1〕求过A,B,C三点的抛物线的解析式;
〔2〕P为抛物线上一点,它关于原点的对称点为Q.
①当四边形PBQC为菱形时,求点P的坐标;
②假设点P的横坐标为t〔﹣1<t<1〕,当t为何值时,四边形PBQC面积最大?
并说明理由.
12.如图,在平面(píngmiàn)直角坐标系xOy中,二次函数y=ax2+bx﹣4〔a≠0〕的图象与x轴交于A〔﹣2,0〕、C〔8,0〕两点,与y轴交于点B,其对称轴与x轴交于点D.
〔1〕求该二次函数的解析式;
〔2〕如图1,连结BC,在线段BC上是否存在点E,使得△CDE为等腰三角形?
假设存在,求出所有符合条件的点E的坐标;假设不存在,请说明理由;
〔3〕如图2,假设点P〔m,n〕是该二次函数图象上的一个动点〔其中m>0,n<0〕,连结PB,PD,BD,求△BDP面积的最大值及此时点P的坐标.
13.抛物线y=﹣mx2+4x+2m与x轴交于点A〔α,0〕,B〔β,0〕,且
=﹣2,
〔1〕求抛物线的解析式.
〔2〕抛物线的对称轴为l,与y轴的交点为C,顶点为D,点C关于l的对称点为E,是否存在x轴上的点M,y轴上的点N,使四边形DNME的周长最小?
假设存在,请画出图形〔保存作图痕迹〕,并求出周长的最小值;假设不存在,请说明理由.
〔3〕假设(jiǎshè)点P在抛物线上,点Q在x轴上,当以点D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时,求点P的坐标.
14.如图,抛物线y=﹣
x2+bx+c与x轴分别相交于点A〔﹣2,0〕,B〔4,0〕,与y轴交于点C,顶点为点P.
〔1〕求抛物线的解析式;
〔2〕动点M、N从点O同时出发,都以每秒1个单位长度的速度分别在线段OB、OC上向点B、C方向运动,过点M作x轴的垂线交BC于点F,交抛物线于点H.
①当四边形OMHN为矩形时,求点H的坐标;
②是否存在这样的点F,使△PFB为直角三角形?
假设存在,求出点F的坐标;假设不存在,请说明理由.
15.如图,在平面直角坐标系中,⊙A与x轴相交于C〔﹣2,0〕,D〔﹣8,0〕两点,与y轴相切于点B〔0,4〕.
〔1〕求经过B,C,D三点的抛物线的函数表达式;
〔2〕设抛物线的顶点为E,证明:
直线CE与⊙A相切;
〔3〕在x轴下方的抛物线上,是否存在(cúnzài)一点F,使△BDF面积最大,最大值是多少?
并求出点F的坐标.
16.如图,抛物线y=ax2+bx〔a≠0〕经过点A〔2,0〕,点B〔3,3〕,BC⊥x轴于点C,连接OB,等腰直角三角形DEF的斜边EF在x轴上,点E的坐标为〔﹣4,0〕,点F与原点重合
〔1〕求抛物线的解析式并直接写出它的对称轴;
〔2〕△DEF以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向挪动,运动时间是为t秒,当点D落在BC边上时停顿运动,设△DEF与△OBC的重叠局部的面积为S,求出S关于t的函数关系式;
〔3〕点P是抛物线对称轴上一点,当△ABP是直角三角形时,请直接写出所有符合条件的点P坐标.
17.如图,在平面直角坐标系中,顶点为A〔1,﹣1〕的抛物线经过点B〔5,3〕,且与x轴交于C,D两点〔点C在点D的左侧〕.
〔1〕求抛物线的解析(jiěxī)式;
〔2〕求点O到直线AB的间隔;
〔3〕点M在第二象限内的抛物线上,点N在x轴上,且∠MND=∠OAB,当△DMN与△OAB相似时,请你直接写出点M的坐标.
18.如图,抛物线y=﹣
〔x2﹣7x+6〕的顶点坐标为M,与x轴相交于A,B两点〔点B在点A的右侧〕,与y轴相交于点C.
〔1〕用配方法将抛物线的解析式化为顶点式:
y=a〔x﹣h〕2+k〔a≠0〕,并指出顶点M的坐标;
〔2〕在抛物线的对称轴上找点R,使得CR+AR的值最小,并求出其最小值和点R的坐标;
〔3〕以AB为直径作⊙N交抛物线于点P〔点P在对称轴的左侧〕,求证:
直线MP是⊙N的切线.
19.如图,在平面直角坐标系xOy中,以M为顶点的抛物线与x轴分别相交于B,C两点,抛物线上一点A的横坐标为2,连接AB,AC,正方形DEFG的一边GF在线段BC上,点D,E在线段AB,AC上,AK⊥x轴于点K,交DE于点H,下表给出了这条抛物线上局部点〔x,y〕的坐标值:
x
…
﹣2
0
4
8
10
…
y
…
0
5
9
5
0
…
〔1〕求出这条抛物线的解析(jiěxī)式;
〔2〕求正方形DEFG的边长;
〔3〕请问在抛物线的对称轴上是否存在点P,在x轴上是否存在点Q,使得四边形ADQP的周长最小?
假设存在,恳求出P,Q两点的坐标;假设不存在,请说明理由.
20.如下图,抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于A,B两点,与y轴交于C点,且A〔﹣2,0〕、B〔4,0〕,其原点为D,连接BD,点P是线段BD上的一个动点〔不与B、D重合〕,过点P作y轴的垂线,垂足为E,连接BE.
〔1〕求抛物线的解析式,并写出原点D的坐标;
〔2〕设P点的坐标为〔x,y〕,△PBE的面积为S,求S与x之间的函数关系式,写出自变量x的取值范围,并求出S的最大值;
〔3〕在〔2〕的条件下,当S取值最大值时,过点P作x轴的垂线,垂足为F,连接EF,△PEF沿直线EF折叠,点P的对应点为点P′,请直接写出P′点的坐标,并判断点P′是否在该抛物线上.
21.抛物线y=ax2+bx+c,假设(jiǎshè)a,b,c满足b=a+c,那么称抛物线y=ax2+bx+c为“恒定〞抛物线.
〔1〕求证:
“恒定〞抛物线y=ax2+bx+c必过x轴上的一个定点A;
〔2〕“恒定〞抛物线y=
x2﹣
的顶点为P,与x轴另一个交点为B,是否存在以Q为顶点,与x轴另一个交点为C的“恒定〞抛物线,使得以PA,CQ为边的四边形是平行四边形?
假设存在,求出抛物线解析式;假设不存在,请说明理由.
22.抛物线y=x2﹣2mx+m2+m﹣1〔m是常数〕的顶点为P,直线l:
y=x﹣1
〔1〕求证:
点P在直线l上;
〔2〕当m=﹣3时,抛物线与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,与直线l的另一个交点为Q,M是x轴下方抛物线上的一点,∠ACM=∠PAQ〔如图〕,求点M的坐标;
〔3〕假设以抛物线和直线l的两个交点及坐标原点为顶点的三角形是等腰三角形,请直接写出所有符合条件的m的值.
23.如图,在平面(píngmiàn)直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c〔a≠0〕与x轴相交于A,B两点,与y轴相交于点C,直线y=kx+n〔k≠0〕经过B,C两点,A〔1,0〕,C〔0,3〕,且BC=5.
〔1〕分别求直线BC和抛物线的解析式〔关系式〕;
〔2〕在抛物线的对称轴上是否存在点P,使得以B,C,P三点为顶点的三角形是直角三角形?
假设存在,恳求出点P的坐标;假设不存在,请说明理由.
24.如图,抛物线y=ax2+bx+2与坐标轴交于A、B、C三点,其中B〔4,0〕、C〔﹣2,0〕,连接AB、AC,在第一象限内的抛物线上有一动点D,过D作DE⊥x轴,垂足为E,交AB于点F.
〔1〕求此抛物线的解析式;
〔2〕在DE上作点G,使G点与D点关于F点对称,以G为圆心,GD为半径作圆,当⊙G与其中一条坐标轴相切时,求G点的横坐标;
〔3〕过D点作直线DH∥AC交AB于H,当△DHF的面积最大时,在抛物线和直线AB上分别取M、N两点,并使D、H、M、N四点组成平行四边形,请你直接写出符合要求的M、N两点的横坐标.
25.二次函数(hánshù)y=ax2+bx﹣3a经过点A〔﹣1,0〕、C〔0,3〕,与x轴交于另一点B,抛物线的顶点为D.
〔1〕求此二次函数解析式;
〔2〕连接DC、BC、DB,求证:
△BCD是直角三角形;
〔3〕在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P,使得△PDC为等腰三角形?
假设存在,求出符合条件的点P的坐标;假设不存在,请说明理由.
26.如图,经过点C〔0,﹣4〕的抛物线y=ax2+bx+c〔a≠0〕与x轴相交于A〔﹣2,0〕,B两点.
〔1〕a 0,b2﹣4ac 0〔填“>〞或者“<〞〕;
〔2〕假设该抛物线关于直线x=2对称,求抛物线的函数表达式;
〔3〕在〔2〕的条件下,连接AC,E是抛物线上一动点,过点E作AC的平行线交x轴于点F.是否存在这样的点E,使得以A,C,E,F为顶点所组成的四边形是平行四边形?
假设存在,求出满足条件的点E的坐标;假设不存在,请说明理由.
27.如图,抛物线y=﹣
〔x+2〕〔x﹣m〕〔m>0〕与x轴相交(xiāngjiāo)于点A、B,与y轴相交于点C,且点A在点B的左侧.
〔1〕假设抛物线过点G〔2,2〕,务实数m的值;
〔2〕在〔1〕的条件下,解答以下问题:
①求出△ABC的面积;
②在抛物线的对称轴上找一点H,使AH+CH最小,并求出点H的坐标;
〔3〕在第四象限内,抛物线上是否存在点M,使得以点A、B、M为顶点的三角形与△ACB相似?
假设存在,求m的值;假设不存在,请说明理由.
28.如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为2a,2b,点A,D,G在y轴上,坐标原点O为AD的中点,抛物线y=mx2过C,F两点,连接FD并延长交抛物线于点M.
〔1〕假设a=1,求m和b的值;
〔2〕求
的值;
〔3〕判断以FM为直径的圆与AB所在直线的位置关系,并说明理由.
29.如图,二次函数(hánshù)y=ax2+bx﹣3的图象与x轴交于A〔﹣1,0〕,B〔3,0〕两点,与y轴交于点C.该抛物线的顶点为M.
〔1〕求该抛物线的解析式;
〔2〕判断△BCM的形状,并说明理由;
〔3〕探究坐标轴上是否存在点P,使得以点P、A、C为顶点的三角形与△BCM相似?
假设存在,请直接写出点P的坐标;假设不存在,请说明理由.
30.如图,抛物线y=ax2+bx+c〔a≠0〕与x轴交于点A〔1,0〕和点B〔﹣3,0〕,与y轴交于点C,且OC=OB.
〔1〕求此抛物线的解析式;
〔2〕假设点E为第二象限抛物线上一动点,连接BE,CE,求四边形BOCE面积的最大值,并求出此时点E的坐标;
〔3〕点P在抛物线的对称轴上,假设线段PA绕点P逆时针旋转90°后,点A的对应点A′恰好也落在此抛物线上,求点P的坐标.
内容总结
(1)用二次函数解决问题
1.如图①,一次函数y=kx+b的图象与二次函数y=x2的图象相交于A,B两点,点A,B的横坐标分别为m,n〔m<0,n>0〕.
〔1〕当m=﹣1,n=4时,k= ,b=
(2)〔2〕连接DC、BC、DB,求证:
△BCD是直角三角形
(3)〔3〕探究坐标轴上是否存在点P,使得以点P、A、C为顶点的三角形与△BCM相似
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- 中考 数学 解答 专题 训练 二次 函数 解决问题 试题 17
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