白蒲中学高二数学暑期综合练习一.docx
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白蒲中学高二数学暑期综合练习一
白蒲中学高二数学暑期综合练习一
一、填空题
1.设M={a,b},则满足M∪N{a,b,c}的非空集合N的个数为.
2.函数的值域为________________.
3.已知函数f(x)=,则 .
4.设,函数在区间上的最大值与最小值之差为,
则.
5.已知在上是增函数,则的取值范围是.
6.某商场国庆期间搞促销活动,规定:
顾客购物总金额不超过500元,不享受任何
折扣,如果顾客购物总金额超过500元,则超过500元部分享受一定的折扣优惠,按下表折扣分别累计计算:
可以享受折扣优惠金额
折扣率
不超过200元的部分
5%
超过200元的部分
10%
某人在此商场购物获得的折扣金额为35元,则他购物实际所付金额为元
7.(2009陕西卷理)定义在R上的偶函数满足:
对任意的,有..则当时,则,,的大小关系为.
8.已知函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+1)=f(x—1),且x∈[—1,1]时,f(x)=x2,则y=f(x)与y=log5x的图象的交点个数为.
9.函数的图象恒过定点,若点在一次函数的图象上,其中,则的最小值为__.
10.若函数是定义在(0,+)上的增函数,且对一切x>0,y>0满足,则不等式的解集为.
11.函数f(x)=ln(4+3x-x2)的单调递减区间是.
12.已知函数.给下列命题:
①必是偶函数;
②当时,的图像必关于直线x=1对称;③若,则在区间[a,+∞上是增函数;④有最大值.其中正确的序号是.
13.(2009山东卷理)定义在R上的函数f(x)满足f(x)=,则f(2009)的值为.
14.(2009四川卷文)已知函数是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数,且对任意实数都有,则的值是.
二、解答题
15.已知函数是奇函数,并且函数的图像经过点
(1,3),
(1)求实数的值;
(2)求函数的值域.
16.已知:
命题集合,,且.
(I)若命题q为真命题,求实数的取值范围;(II)若命题,且,试求实数的取值范围,使得命题有且只有一个为真命题.
17.设二次函数在区间上的最大值、最小值分别是M、
m,集合.
(1)若,且,求M和m的值;
(2)若,
且,记,求的最小值.
18.学校食堂改建一个开水房,计划用电炉或煤炭烧水,但用煤时也要用电鼓风及时排气,用煤浇开水每吨开水费为S元,用电炉烧开水每吨开水费为P元.,.其中x为每吨煤的价格,y为每XX电的价格,如果烧煤时的费用不超过用电炉时的费用,则仍用原备的锅炉烧水,否则就用电炉烧水.
(1)如果两种方法烧水费用相同,试将每吨煤的价格表示为每XX电价的函数;
(2)如果每XX电价不低于60元,则用煤烧水时每吨煤的最高价是多少?
19.设f(x)=ax2+bx+c(a>b>c),f
(1)=0,g(x)=ax+b.
(1)求证:
函数f(x)与g(x)的图象有两个交点;
(2)设f(x)与g(x)的图象交点A、B在x轴上的射影为A1、B1,求|A1B1|的取值范围;(3)求证:
当x≤时,恒有f(x)>g(x).
20.已知函数f(x)=ax+x2-xlna(a>0,a≠1).
(1)当a>1时,求证:
函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;
(2)若函数y=|f(x)-t|-1有三个零点,求t的值;
(3)若存在x1,x2∈[-1,1],使得|f(x1)-f(x2)|≥e-1,试求a的取值范围.
白蒲中学高二数学暑期综合练习一
1.72.3.14.55.6.9157.8.49.810.11.
12.③13.14.0
15.解:
(1)函数是奇函数,则.
,又函数的图像经过
点(1,3),∴a=2.
(2)由
(1)知
,当时,.当且仅当
,即时取等号.当时,
.当且仅当即
时取等号.综上可知函数的值域为.
16.解:
(Ⅰ)因为,故集合应分为和两种情况.
(1)时,;
(2)时,.所以得,故实数的取值范围为.(Ⅱ)由得,解得;若真假,则.若假真,则.故实数的取值范围为或.
17.解:
(1)由又.
,..
,.
(2)1,∴,即
.∴f(x)=ax2+(1-2a)x+a,x∈[-2,2].其对称轴方程为x=,
又a≥1,故1-.∴M=f(-2)=9a-2.m=,
g(a)=M+m=9a--1.=.
18.解:
(1)由题意,得5x+0.2y+5=10.2y+20,
即.
(2)由S≤P,得.∵ .∴ .∴ 当时,,此时.答:
每吨煤的最高价为153元.
19.解:
(1)由.△=(b-a)2-4a(c-b).
∵f
(1)=0,∴a+b+c=0,且a>b>c,∴a>0,c-b<0,故△>0.∴函数y=f(x)与y=g(x)的图象有两个交点.
(2)设方程的两根为x1、x2,则,|A1B1|=|x1-x2|=.
∵a>b>c,a+b+c=0,∴.∴,即1>-1-.
∴,.∴.即|A1B1|的取值范围是(,).
(3)令F(x)=f(x)-g(x).∴F(x)=ax2-(a-b)x+b-c=ax2-(2a+c)x+(a+2c).∵x≤,∴x2≥3且-x≥>1,又2a+c>0,∴-x(2a+c)>2a+c.∴F(x)>3a+(2a+c)+(a+2c)=3(2a+c)>0
∴f(x)>g(x).
20解:
(1).……………………………3分
由于,故当时,,所以,
故函数在上单调递增.………………………………………5分
(2)当时,因为,且在R上单调递增,
故有唯一解.…………………………………………………7分
所以的变化情况如下表所示:
x
0
-
0
+
递减
极小值
递增
又函数有三个零点,所以方程有三个根,
而,所以,解得.………………10分
(3)因为存在,使得,
所以当时,.………11分
由
(2)知,在上递减,在上递增,
所以当时,.………12分
而,
记,因为(当时取等号),
所以在上单调递增.
而,故当时,;当时,.即当时,;
当时,.…………………………………14分
①当时,由;
②当时,由.
综上可知,所求的取值范围为.……………………16分
第9天 同角三角函数与诱导公式
1.- 解析:
sin585°=sin(360°+225°)=sin(180°+45°)=-sin45°=-.
2.- 解析:
由条件得,sinx=-,∴tanx=-.
3.二 解析:
由条件,tanα<0,cosα<0,所以,角α的终边在第二象限.
4.解:
∵m<0,x=-m,y=m,∴r===2|m|=-2m.由三角函数定义,可得sinα=-,cosα=,tanα=-.
5.- 解析:
cos(-100°)=cos100°=-cos80°=k,∴cos80°=-k,则sin80°=,∴tan80°=-.
6. 解析:
由∠A是三角形的内角,且sinAcosA=-,知∠A是钝角,又∵(sinA-cosA)2=1-2sinAcosA=,∴sinA-cosA=.
7. 解析:
==.
8.<α<或π<α<
解析:
由题意,知
由三角函数线,可得
∴<α<或π<α<.
9.一 解析:
由条件,知=cos.由于当α是第二象限角时,是第一或第三象限角,所以是第一象限角.
10.④ 解析:
分别就α,β是第一、二、三或四象限角,借助三角函数线判断.
11.解:
∵∠α的终边在直线y=2x上,∴∠α的终边在第一象限或第三象限.
当∠α的终边在第一象限时,tanα=2,sinα=,cosα=,∴sinα·cosα+tanα-=×+2-=;
当α的终边在第三象限时,同理可求得原式=.
12.解:
(1)f(α)==-cosα.
(2)由cos=,∴sinα=-,
∵α是第三象限角,∴cosα=-,∴f(α)=.
13.解:
由sinθ+cosθ=两边平方,
得1+2sinθcosθ=,
∴sinθ·cosθ=-,
即
解方程组并注意到0<θ<π得
sinθ=,cosθ=-,
∴tanθ=-.
14.证明:
∵sin(α+β)=1,∴α+β=2kπ+(k∈Z),∴α=2kπ+-β(k∈Z).
∴tan(2α+β)+tanβ=tan+tanβ
=tan(4kπ+π-β)+tanβ=tan(π-β)+tanβ=0,∴tan(2α+β)+tanβ=0,得证.
第10天 三角恒等变换
1. 解析:
由cosα=,α是第四象限角,得sinα=-,∴cos(α+45°)=cosαcos45°-sinαsin45°=.
2.- 解析:
原式=-cos29°sin1°-cos1°sin29°=-sin30°=-.
3.- 解析:
由α∈,sinα=,知tanα=-,tan2α=-.
4.解:
由α∈,sinα=,知cosα=-,
∴sin2α=2sinαcosα=-;又β∈,cosβ=,知sinβ=-,∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=.
5.- 解析:
∵α∈,∴α-∈,∴cos=-,
∴cosα=cos=-.
6. 解析:
tan(α+β)==-1,又α,β均为锐角,所以α+β∈(0,π),所以α+β=.
7.sin 解析:
由条件知,<<π,<<,原式====sin.
8.- 解析:
由(5sinα+3cosβ)2+(5cosα-3sinβ)2=17,得sin(α-β)=-.
9.4 解析:
-=-===4.
10.1 解析:
==,由条件,tanα+tanβ=3,tanα·tanβ=2,代入上式得=1.
11.解:
由sinα=,得α是锐角,∴cosα=,由β也是锐角,∴0<α+β<π,∴sin(α+β)=,∴sinβ=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα=.
12.
(1)解:
f(x)=sinxcos+cosxsin+cosxcos+sinxsin=sinx-cosx=2sin,∴f(x)的最小正周期T=2π,最小值f(x)min=-2.
(2)证明:
由已知得cosαcosβ+sinαsinβ=,cosαcosβ-sinαsinβ=-,两式相加得2cosαcosβ=0,∵0<α<β≤,∴cosβ=0,则β=.
∴[f(β)]2-2=4sin2-2=0.
13.解:
由条件得cosα=,cosβ=,∵α为锐角,故sinα>0且sinα=,同理可得sinβ=,因此tanα=7,tanβ=.
(1)tan(α+β)===-3.
(2)tan(α+2β)=tan[(α+β)+β]==-1,∵0<α<,0<β<,∴0<α+2β<,从而α+2β=.
14.证明:
由条件,3sin2α=cos2β,3sin2α=2sin2β,cos(α+2β)=cosαcos2β-sinαsin2β=cosα·3sin2α-sinα·sin2α=0,由于α,β都是锐角,所以0<α+2β<,∴α+2β=.
第11天 三角函数的图象及其性质
1.2 π 解析:
由解析式直接可得.
2.左 解析:
由于y=cos
=cos,故有上述结论.
3. 解析:
当x∈时,2x+∈,结合余弦函数y=cosx的图象可知,值域为.
4.解:
令t=x+,则x=2t-.
列出x,y的对应值表如下:
x
-
t
0
π
2π
y
2
0
-2
0
2
再通过描点,连线可作出函数
y=2cos在一个周期内的简图.图略.
5.
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