排列组合常见题型及解答.docx
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排列组合常见题型及解答
排列组合常见题型
1.可重复的排列求幂法:
重复排列问题要区分两类元素:
一类可以重复,另一类不能重
复,把不能重复的元素看作“客”,能重复的元素看作“店”,则通过“住店法”可顺利解题,在这类问题使用住店处理的策略中,关键是在正确判断哪个是底数,哪个是指数
【例1】
(1)有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛,每人限报一科,有多少种不
同的报名方法?
(2)有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军,有多少种不同的结果?
(3)将3封不同的信投入4个不同的邮筒,则有多少种不同投法?
【解析】:
(1)34
(2)43(3)43
【例2】把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法?
【解析】:
完成此事共分6步,第一步;将第一名实习生分配到车间有7种不同方案,
第二步:
将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案,依次类推,由分步计数原理知共
有7种不同方案.
3
【例3】8名同学争夺3项冠军,获得冠军的可能性有()A、83B、38C、AD、
C83
【解析】:
冠军不能重复,但同一个学生可获得多项冠军,把8名学生看作8家“店”,3
项冠军看作3个“客”,他们都可能住进任意一家“店”,每个“客”有8种可能,因此共有8种
不同的结果。
所以选A
2.相邻问题捆绑法:
题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组,当作一个大元素参与排列.
【例1】A,B,C,D,E五人并排站成一排,如果A,B必须相邻且B在A的右边,那么不同的排
法种数有
4
【解析】:
把A,B视为一人,且B固定在A的右边,贝V本题相当于4人的全排列,A24种【例2】(2009四川卷理)3位男生和3位女生共6位同学站成一排,若男生甲不站两端,3位女生中有且只有两位女生相邻,则不同排法的种数是()
A.360B.188C.216D.96
【解析】:
间接法6位同学站成一排,3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有,c3a2a4a2=432,其中男生甲站两端的有a2c3a2a3a2=144,符合条件的排法故共有288
3.相离问题插空法:
元素相离(即不相邻)问题,可先把无位置要求的几个元素全排列,再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端
【例5】某市春节晚会原定10个节目,导演最后决定添加3个与“抗冰救灾”有关的节目,
但是赈灾节目不排在第一个也不排在最后一个,并且已经排好的10个节目的相对顺序不变,
则该晚会的节目单的编排总数为种.
【解析】:
A;a1oA;i=99O
【例6】.马路上有编号为1,2,3…,9九只路灯,现要关掉其中的三盏,但不能关掉相邻的二盏或三盏,也不能关掉两端的两盏,求满足条件的关灯方案有多少种?
【解析】:
把此问题当作一个排对模型,在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯C5种方法,所以满足条件的关灯方案有10种.
说明:
一些不易理解的排列组合题,如果能转化为熟悉的模型如填空模型,排队模型,装盒模型可使问题容易解决.
【例7】3个人坐在一排8个椅子上,若每个人左右两边都有空位,则坐法的种数有多少种?
3
【解析】:
解法1、先将3个人(各带一把椅子)进行全排列有a3,o*O*O*O,在四个
1
空中分别放一把椅子,还剩一把椅子再去插空有A4种,所以每个人左右两边都空位的排法
有A;a3=24种.
解法2:
先拿出5个椅子排成一排,在5个椅子中间出现4个空,*O*O*O*O*再让3个
3
人每人带一把椅子去插空,于是有A4=24种.
【例8】停车场划出一排12个停车位置,今有8辆车需要停放.要求空车位置连在一起,不同的停车方法有几种?
8
【解析】:
先排好8辆车有A8种方法,要求空车位置连在一起,则在每2辆之间及其两端
再排其它的元素。
【例1】2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作,若其中小张和小赵只能从事前两项工作,
其余三人均能从事这四项工作,则不同的选派方案共有
名老师和4名获奖同学排成一排照相留念,若老师不站两端则有不同的排法有
多少种?
【解析】:
老师在中间三个位置上选一个有A3种,4名同学在其余4个位置上有A种方法;
所以共有
14
A3A472
【例3】
有七名学生站成一排,某甲不排在首位也不排在末位的排法有多少种?
5.多排问题单排法:
把元素排成几排的问题可归结为一排考虑,再分段处理。
【例1】
(1)6个不同的元素排成前后两排,每排3个元素,那么不同的排法种数是(
A、36种B、120种C、720种D、1440种
元素排在后排,有多少种不同排法?
【解析】:
(1)前后两排可看成一排的两段,因此本题可看成6个不同的元素排成一排,共
A720种,选C.
(2)答案:
C
(3)看成一排,某2个元素在前半段四个位置中选排2个,有A4种,某1个元素排在后半
15125
段的四个位置中选一个有A4种,其余5个元素任排5个位置上有A种,故共有A4A4A55760
种排法•
6.定序问题缩倍法(等几率法):
在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序,可
用缩小倍数的方法•
【例1】.a,B,C,D,E五人并排站成一排,如果b必须站在A的右边(a,B可以不相邻)那
么不同的排法种数【解析】:
B在A的右边与B在A的左边排法数相同,所以题设的排法只
一1a|60
是5个元素全排列数的一半,即2种
【例2】书架上某层有6本书,新买3本插进去,要保持原有6本书的顺序,有多少种不同的插法?
1人9
【解析】:
法一:
A9法二:
A69
【例3】将A、B、C、D、E、F这6个字母排成一排,若A、B、C必须按A在前,B居中,C
在后的原则(A、B、C允许不相邻),有多少种不同的排法?
【解析】:
法一:
a6
法二:
六•标号排位问题(不配对问题)把元素排到指定位置上,可先把某个元素按规定排入,
第二步再排另一个元素,如此继续下去,依次即可完成
【例1】将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里,每格填一个数,则每
个方格的标号与所填数字均不相同的填法有(
A、6种B、9种C、11种D、23种
【解析】:
先把1填入方格中,符合条件的有3种方法,第二步把被填入方格的对应数
字填入其它三个方格,又有三种方法;第三步填余下的两个数字,只有一种填法,共有3
X3X1=9种填法,选B.
【例2】编号为1、2、3、4、5的五个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位,其中
有且只有两个的编号与座位号一致的坐法是()
A10种B20种C30种D60种答案:
B
【例3】:
同室4人各写一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡,则4张贺年卡不同的分配方式共有()
(A6种(B)9种(C)11种(D)23种
【解析】:
设四个人分别为甲、乙、丙、丁,各自写的贺年卡分别为a、b、c、do
第一步,甲取其中一张,有3种等同的方式;第二步,假设甲取b,则乙的取法可分两类:
(1)乙取a,则接下来丙、丁取法都是唯一的,
(2)乙取c或d(2种方式),不管哪一种情况,接下来丙、丁的取法也都是唯一的。
根据
加法原理和乘法原理,一共有3(12)9种分配方式。
故选(B)
【例4】:
五个人排成一列,重新站队时,各人都不站在原来的位置上,那么不同的站队方式共有()
(A)60种(B)44种(C)36种(D)24种答案:
B
7.不同元素的分配问题(先分堆再分配):
注意平均分堆的算法
分成每组都是2本的三个组;
2本;
种(数字作答).
c2c2g1
【解析】:
第一步将4名大学生按,2,1,1分成三组,其分法有A2
c4c2c1A36
说明:
分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配
【例3】5名志愿者分到3所学校支教,每个学校至少去一名志愿者,则不同的分派方法
共有
(A)150种(B)180种
(C)200种(D)280种
311
C5C2C1
=60种,
【解析】:
人数分配上有1,2,2与1,1,3两种方式,若是1,2,2,则有a2
c5c;c;.3
2A
若是1,1,3,则有A2=90种,所以共有150种,选A
【例4】将9个(含甲、乙)平均分成三组,甲、乙分在同一组,则不同分组方法的种数
为()
A.70B.140C.280D.840答案:
(A)
【例5】将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习,每班至少1名,最多2名,则不同的分配方案有(
(A)30种
(B)90种(C)180种(D)270种
【解析】:
将5名实习教师分配到高一年级的
3个班实习,每班至少1名,最多2名,则将
5名教师分成三组,一组
1人,另两组都是
c5C42
2人,有A2
15
种方法,再将3组分到3个
班,共有15A390种分配方案。
选B.
【例6】某外商计划在四个候选城市投资
3个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不
超过2个,则该外商不同的投资方案有()种
22233
【解析】:
按条件项目可分配为2,1,0,0与1,1,1,0的结构,•••C4C3A2C4A3362460故选D
【例7】
(1)5本不同的书,全部分给4个学生,每个学生至少一本,不同的分法种数为()
A、480种B、240种C、120种D、96种答案:
B
4人,则不同的分配
(2)12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查,若每个路口方案有多少种?
G:
C;C:
A3
3A3
答案:
A3
这三项任务,不同的选法种数是(
1人承担乙项任务,
【解析】:
先从10人中选出2人承担甲项任务,再从剩下的8人中选
第
211三步从另外的7人中选1人承担丙项任务,不同的选法共有C10C8C72520种,选C.
【例9】.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济幵发建设,其中甲同学不到银川,乙不到西宁,共有多少种不同派遣方案?
【解析】:
因为甲乙有限制条件,所以按照是否含有甲乙来分类,有以下四种情况:
1若甲乙都不参加,则有派遣方案A8种;
2若甲参加而乙不参加,先安排甲有3种方法,然后安排其余学生有A8方法,所以共有3A8;
3若乙参加而甲不参加同理也有3A3种;④若甲乙都参加,则先安排甲乙,有7种方法,然
后再安排其余8人到另两个城市有A8种,共有7兀方法.所以共有不同的派遣方法总数为
A:
3A83A87A84088种
【例10】四个不同球放入编号为1,2,3,4的四个盒中,则恰有一个空盒的放法有多少
种?
【解析】:
先取四个球中二个为一组,另二组各一个球的方法有C4种,再排:
在四个盒中每
次排3个有A种,故共有c4a4144种.
8.相同元素的分配问题隔板法:
中的三盏路灯关掉,但不能同时关掉相邻的两盏或三盏,也不能关掉两端的路灯,满足条
件的关灯办法有种
【例3】:
将4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球放入4各不同的盒子中的3个中,使得有一个空盒且其他盒子中球的颜色齐全的不同放法有多少种?
3
【解析】:
1、先从4个盒子中选三个放置小球有C4种方法。
2、注意到小球都是相同的,我们可以采用隔板法。
为了保证三个盒子中球的颜色齐全,可
以在4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球所产生的3个、4个5个空挡中分
222
别插入两个板。
各有C3、C4、C5种方法。
3、由分步计数原理可得C4C3C4C5=720种
9.多面手问题(分类法---选定标准)
【例1】:
有11名外语翻译人员,其中5名是英语译员,4名是日语译员,另外两名是英、日语均精通,从中找出8人,使他们可以组成翻译小组,其中4人翻译英语,另4人翻译日语,这两个小组能同时工作,问这样的8人名单可以幵出几张?
变式:
.有11名外语翻译人员,其中有5名会英语,4名会日语,另外两名英,日语都精通,
从中选出8人,组成两个翻译小组,其中4人翻译英语,另4人翻译日语,问共有多少不同的选派方式?
答案:
185
十.走楼梯问题(分类法与插空法相结合)
【例1】小明家住二层,他每次回家上楼梯时都是一步迈两级或三级台阶。
已知相邻楼层
之间有16级台阶,那么小明从一层到二层共有多少种不同的走法?
【解析】:
插空法解题:
考虑走3级台阶的次数:
1)有0次走3级台阶(即全走2级),那么有1种走法;
2)有1次走三级台阶。
(不可能完成任务);3)有两次走3级台阶,则有5次走2级台阶:
(a)两次三级台阶挨着时:
相当于把这两个挨着的三级台阶放到5个两级台阶形成的空中,
有C66种
(b)两次三级不挨着时:
相当于把这两个不挨着的三级台阶放到5个两级台阶形成的空中,
2
有C615种走法。
4)有3次(不可能)
5)有4次走3级台阶,则有2次走两级台阶,互换角色,想成把两个2级台阶放到3级台
阶形成得空中,同(3)考虑挨着和不挨着两种情况有种C5C515走法;
6)有5次(不可能)
故总共有:
1+6+15+15=37种。
变式:
欲登上第10级楼梯,如果规定每步只能跨上一级或两级,则不同的走法共有()
(A)34种(B)55种(C)89种(D)144种答案:
(C)
十一•排数问题(注意数字“0”
【例1】
(1)由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数,其中个位数字小于十
位数字的共有()
A、210种B、300种C、464种D、600种
【解析】:
按题意,个位数字只可能是0,1,2,3,4共5种情况,分别有A5个,
a4a3a3,a3a3a3,a2a3a3,a3a3个,合并总计300个,选B.
(2)从1,2,3,…,100这100个数中任取两个数,使其和能被4整除的取法(不计顺
序)有多少种?
【解析】:
将11'2'3|||'100分成四个不相交的子集,能被4整除的数集A4'8'12'|||100;能被4除余1的数集B1)5'911197,能被4除余2的数集C2,6,川,98,能被4除余3的数集D3,7,11,|||99,易见这四个集合中每一个有25个元素;从A中任取两个数符合要;
从B,D中各取一个数也符合要求;从C中任取两个数也符合要求;此外其它取法都不符合
2112
要求;所以符合要求的取法共有C25C25C25C25种•
十二.染色问题:
涂色问题的常用方法有:
(1)可根据共用了多少种颜色分类讨论;
(2)根据相对区域是否同色分类讨论;
(3)将空间问题平面化,转化成平面区域涂色问题。
【例1】将一个四棱锥SABCD的每个顶点染上一种颜色,并使同一条棱的两端点异色,
如果只有5种颜色可供使用,那么不同的染色方法的总数是.
【解析一】满足题设条件的染色至少要用三种颜色。
(1)若恰用三种颜色,可先从五种颜色中任选一种染顶点S,再从余下的四种颜色中任选两
种涂A、B、CD四点,此时只能A与C、B与D分别同色,故有c5a460种方法。
(2)若恰用四种颜色染色,可以先从五种颜色中任选一种颜色染顶点S,再从余下的四种颜
2
色中任选两种染A与B,由于AB颜色可以交换,故有A4种染法;再从余下的两种颜色中任选一种染D或C,而D与C,而D与C中另一个只需染与其相对顶点同色即可,故有c5a2c2c2240种方法。
5
(3)若恰用五种颜色染色,有A5120种染色法
综上所知,满足题意的染色方法数为60+240+120=420种。
【答案】420.
【解析二】设想染色按S-A-B-C—D的顺序进行,对S、A、B染色,有5x4x3=60种染色方法。
由于C点的颜色可能与A同色或不同色,这影响到D点颜色的选取方法数,故分类讨论:
C与A同色时(此时C对颜色的选取方法唯一),D应与A(C)、S不同色,有3种选择;
C与A不同色时,C有2种选择的颜色,D也有2种颜色可供选择,从而对CD染色有1x3+2x2=7种染色方法。
由乘法原理,总的染色方法是60x7=420
【解析三】可把这个问题转化成相邻区域不同色问题:
如图,对这五个区域用5种颜色涂
色,有几种的涂色方法?
总体实施分步完成,可分为四大步
1给S涂色有5种方法;
2给A涂色有4种方法(与S不同色);
3给B涂色有3种方法(与A,S不同色);
4给C,D涂色.当C与A异色时,C,D都有2种涂色方法;当C与A同色时,C有一种涂色方法(与A同色),D有3种涂色方法.给C,D涂色共有2X2+3=7种方法.
由分步计数原理共有5X4X3X7=420种方法
[规律小结]涂色问题的常用方法有:
(1)可根据共用了多少种颜色分类讨论;
(2)根据相
对区域是否同色分类讨论;(3)将空间问题平面化,转化成平面区域涂色问题。
十三•“至多”“至少”问题用间接法或分类:
十四.几何中的排列组合问题:
坐标和纵坐标均为整数,那么这样的直线共有条
其中关于原点对称的有4条不满则条件切线有C12=12,其中
平行于坐标轴的有14条不满则条件66-4+12-14=60
【例1】七人并排站成一行,如果甲乙两个必须不相邻,那么不同的排法种数是
【解析】:
除甲乙外,其余5个排列数为A5种,再用甲乙去插6个空位有A*12种,不同的排
52
法数是A5A63600
【例2】书架上某层有6本书,新买3本插进去,要保持原有6本书的顺序,有种
不同的插法(数字作答)
111
【解析】:
A7A8A9=504
【例3】高三
(一)班学要安排毕业晚会的4各音乐节目,2个舞蹈节目和1个曲艺节目
的演出顺序,要求两个舞蹈节目不连排,贝y不同排法的种数是
【解析】:
不同排法的种数为A5A6=3600
【例4】某工程队有6项工程需要单独完成,其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行,工程丙必须在工程乙完成后才能进行,有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。
那么安排这6项工程的不同排法种数是
【解析】:
依题,只需将剩余两个工程插在由甲、乙、丙、丁四个工程形成的5个空中,可
2
得有A=20种不同排法。
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