132 三角形全等的条件.docx
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132三角形全等的条件
第十三章全等三角形
13.2三角形全等的条件
●目标导航
1、探索并掌握两个三角形全等的条件:
“SSS”“ASA”“AAS”,并能应用它们判别两个三角形是否全等。
2、探索出直角三角形全等的条件——HL,并掌握,能进行简单的应用。
3、经历作图、比较、证明等探究过程,提高分析、作图、归纳、表达、逻辑推理等能力;并通过对知识方法的总结,培养反思的习惯,培养理性思维。
●名师引领
1.三角形全等的判定有哪些方法?
三角形全等的判定方法有:
边边边公理:
三边对应相等的两个三角形全等,简写为“边边边”或“SSS”;边角边公理:
有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等,简写成“边角边”或“SAS”;
角边角公理:
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等,简写成“角边角”或“ASA”;
角角边推论:
两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等,简写成“角角边”或“AAS”。
2.直角三角形全等的条件是什么?
一般三角形全等的判断方法都适用于直角三角形全等的判定,此外,直角三角形全等的条件还有“斜边直角边公理”:
有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等,简写成“斜边直角边”或“HL”。
●师生互动共解难题
例1、已知:
在△ABC中,AD为BC边上的中线,CE⊥AD,BF⊥AD。
求证:
CE=BF
分析:
将CE与BF放在△CED与△BFD中,证明这两个三角形全等,问题便可解决,而全等条件经过已知的转化是可以得到的。
证明:
∵CE⊥AD,BF⊥AD
∴∠CED=∠BFD=90°(垂直定义)
∵D为BC中点
∴BD=DC(线段中点定义)
∴在△DEC与△DFB中
∴△DEC≌△DFB(AAS)
∴CE=BF(全等三角形对应边相等)
例2已知:
如图,点B、E、C、F在同一直线上,AB=DE、AC=DF、BE=CF。
求证:
△ABC≌△DEF。
分析:
已知中给的条件均为线段,由此可以考虑从边边边公理证明,这里又需用到等量公理。
证明:
∵BE=CF
∴BE+EC=EC+CF(等量加等量和相等)
∴在△ABC和△DEF中
∴△ABC≌△DEF(SSS)
例3已知:
如图AC=BD,∠CAB=∠DBA。
求证:
∠CAD=∠DBC。
分析:
由已知,再加上一组公共边等,可以得到△ABC与△BAD全等,由性质得对应角相等,再由等量公理可得证。
证明:
在△ABC和△BAD中,
∴△ABC≌△BAD(SAS)
∴∠CBA=∠DAB(全等三角形对应角相等)
又∵∠CAB=∠DBA(已知)
∴∠CAB-∠DAB=∠DBA-∠CBA(等量减等量差相等)
∴∠CAD=∠DBC。
●积累运用举一反三
同步训练1
1.选择题:
⑴如图1,AB=AD,CB=CD,∠B=30°,∠BAD=46°,则∠ACD的度数是()。
A.120°
B.125°
C.127°
D.104°
⑵如图2,线段AD与BC交于点O,且AC=BD,AD=BC,则下面的结论中不正确的是()。
A.△ABC≌△BAD
B.∠CAB=∠DBA
C.OB=OC
D.∠C=∠D
2.填空题:
⑴在△ABC和△A1B1C1中,已知AB=A1B1,BC=B1C1,则补充条件____________,可得到△ABC≌△A1B1C1。
⑵如图3,AB=CD,BF=DE,E、F是AC上两点,且AE=CF.欲证∠B=∠D,可先运用等式的性质证明AF=________,再用“SSS”证明______≌_______得到结论。
3.如图,AB=AC,BD=CD,求证:
∠1=∠2。
4.如图,已知AB=CD,AC=BD,求证:
∠A=∠D。
5.如图,AC与BD交于点O,AD=CB,E、F是BD上两点,且AE=CF,DE=BF。
请推导下列结论:
⑴∠D=∠B;⑵AE∥CF。
6.已知如图,A、E、F、C四点共线,BF=DE,AB=CD.
⑴请你添加一个条件,使△DEC≌△BFA;
⑵在⑴的基础上,求证:
DE∥BF。
同步训练2
1.选择题:
⑴如图1,AB∥CD,AB=CD,BE=DF,则图中有多少对全等三角形()。
A.3
B.4
C.5
D.6
⑵如图2,AB=AC,AD=AE,欲证△ABD≌△ACE,可补充条件()。
A.∠1=∠2
B.∠B=∠C
C.∠D=∠E
D.∠BAE=∠CAD
⑶如图3,AD=BC,要得到△ABD和△CDB全等,可以添加的条件是()。
A.AB∥CD
B.AD∥BC
C.∠A=∠C
D.∠ABC=∠CDA
2.填空题:
⑴如图4,AB与CD交于点O,OA=OC,OD=OB,∠AOD=________,根据_________可得到△AOD≌△COB,从而可以得到AD=_________。
⑵如图5,已知△ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC,请补充完整过程说明△ABD≌△ACD的理由。
∵AD平分∠BAC,
∴∠________=∠________(角平分线的定义)。
在△ABD和△ACD中,
∵________,
∴△ABD≌△ACD()。
3.如图6,已知AB=AD,AC=AE,∠1=∠2,求证∠ADE=∠B。
4.如图,已知AB=AD,若AC平分∠BAD,问AC是否平分∠BCD?
为什么?
5.如图,在△ABC和△DEF中,B、E、F、C,在同一直线上,下面有4个条件,请你在其中选3个作为题设,余下的一个作为结论,写一个真命题,并加以证明。
①AB=DE;②AC=DF;③∠ABC=∠DEF;④BE=CF。
6.如图⑴,AB⊥BD,DE⊥BD,点C是BD上一点,且BC=DE,CD=AB。
⑴试判断AC与CE的位置关系,并说明理由。
⑵如图⑵,若把△CDE沿直线BD向左平移,使△CDE的顶点C与B重合,此时第⑴问中AC与BE的位置关系还成立吗?
(注意字母的变化)。
同步训练3
1.选择题:
⑴已知AB=,∠A=∠,∠B=∠,则△ABC≌△的根据是()。
A.SAS
B.SSA
C.ASA
D.AAS
⑵△ABC和△DEF中,AB=DE,∠B=∠E,要使△ABC≌△DEF,则下列补充的条件中错误的是()。
A.AC=DF
B.BC=EF
C.∠A=∠D
D.∠C=∠F
⑶如图1,AD平分∠BAC,AB=AC,则图中全等三角形的对数是()。
A.2
B.3
C.4
D.5
2.填空题:
⑴如图2,已知AB∥CD,欲证明△AOB≌△COD,可补充条件________。
(填写一个适合的条件即可)。
⑵如图3,AB⊥AC,BD⊥CD,∠1=∠2,欲得到BE=CE,可先利用_______,证明△ABC≌△DCB,得到______=______,再根据___________证明________≌________,即可得到BE=CE。
⑶如图4:
已知⊿ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,直角∠EPF的顶点P是BC中点,两边PE,PF分别交AB,AC于点E,F,给出以下五个结论:
①AE=CF;②∠APE=∠CPF;③⊿EPF是等腰直角三角形;④EF=AP;⑤。
当∠EPF在⊿ABC内绕顶点P旋转时(点E不与A,B重合),上述结论中始终正确的序号有__________。
3.如图5,AC=AE,∠C=∠E,∠1=∠2,求证△ABC≌△ADE。
4.已知:
如图,AB∥CD,DF交AC于E,交AB于F,DE=EF.求证:
AE=EC。
5.如图,已知BD=CE,∠1=∠2,那么AB=AC,你知道这是为什么吗?
6.已知如图,CE⊥AB于点E,BD⊥AC于点D,BD、CE交于点O,且AO平分∠BAC,
⑴图中有多少对全等的三角形?
请你一一列举出来。
(不要求说明理由)
⑵小明说:
欲证BE=CD,可先证明△AOE≌△AOD得到AE=AD,再证明△ADB≌△AEC得到AB=AC,然后利用等式的性质即可得到BE=CD,请问他的说法正确吗?
如果不正确,请说明理由;如果正确,请按他的思路写出推导过程。
⑶要得到BE=CD,你还有其他的思路吗?
若有,请仿照小明的说法具体说一说你的想法。
7.我们知道,两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等,那么在什么情况下,它们会全等?
⑴阅读与证明:
对于这两个三角形均为直角三角形,显然它们全等。
对于这两个三角形均为钝角三角形,可证明它们全等(证明略)
对于这两个三角形均为锐角三角形,它们也全等,可证明如下:
已知:
△ABC、△均为锐角三角形,AB=,BC=,∠C=∠。
证明:
△ABC≌⊿。
(请你将下列证明过程补充完整)
证明:
分别过点B、,作BD⊥CA于D,⊥于,
则∠BDC=∠=90º。
∵BC=,∠C=∠。
∴△BCD≌△,∴BD=。
⑵归纳与叙述:
由⑴可得到一个正确结论,请你写出这个结论。
同步训练4
1.选择题:
⑴如图,已知MB=ND,∠MBA=∠NDC,下列添加的条件中,哪一个不能用于判定△ABM≌△CDN的是()。
A.∠M=∠N
B.AB=CD
C.AM=CN
D.AM∥CN
⑵下列说法正确的是()。
A.面积相等的两个直角三角形全等
B.周长相等的两个直角三角形全等
C.斜边相等的两个直角三角形全等
D.有一个锐角和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等
⑶如图已知AB=CD,AE⊥BD于E,CF⊥BD于F,AE=CF,则图中全等的三角形有()。
A.1对
B.2对
C.3对
D.4对
2.填空题:
⑴如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,DE⊥BC,BE=EC,AC=6,AB=10,则△ADC的周长是。
⑵如图,AB=CD,AE⊥BC于E,DF⊥BC于F,若BE=CF,则△ABE≌△,其依据是。
3.如图,AE⊥BC,DF⊥BC,E,F是垂足,且AE=DF,AB=DC,求证:
∠ABC=∠DCB。
4.如图,AB=CD,AE⊥BC,DF⊥BC,垂足分别为E,F,CE=BF。
求证:
AB∥CD.
5.如图,在△ABC中,∠B=∠C,D是BC中点,DE⊥AB,DF⊥AC,E,F为垂足,求证:
AD平分∠BAC。
6.如图,已知△ABC的六个元素,则下面甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是()。
A.甲和乙
B.乙和丙
C.只有乙
D.只有丙
答案:
同步训练1
1.⑴C;
⑵C。
2.⑴AC=A1C1;
⑵CE,△ABF≌△CDE。
3.证明△ABE≌△ACE。
4.连接BC,证明△ABC≌△DCB。
5.⑴证明△ADE≌△CBF;⑵证明∠AEF=∠CFE。
6.⑴可添加AE=CF或添加AF=CE,证明△DEC≌△BFA;⑵由⑴得∠BFA=∠DEC,∴DE∥BF。
同步训练2
1.⑴A;
⑵A;
⑶B。
2.⑴∠COB,SAS,CB;
⑵BAD,CAD,AB=AC,∠BAD=∠CAD,AD=AD,SAS。
3.证△ABC≌△ADE。
4.平分,证△ABC≌△ADC。
5.答案不惟一,有两种选法:
⑴由①③④得②;
⑵由①②④得③,证明略
6.⑴AC⊥CE,证△ABC≌△CDE;
⑵结论仍成立。
同步训练3
1.⑴C;
⑵A;
⑶B。
2.⑴AB=CD或OA=0C或OB=OD;
⑵AAS,AB,DC,AAS,△ABE,△DCE;
⑶
3.∵∠1=∠2,∴∠BAC=∠DAE,又∵AC=AE,∠C=∠E,∴△ABC≌△ADE。
4.证明△AEF≌△CED。
5.由∠1=∠2得∠ADB=∠AEC,再用AAS证△ABD≌△ACE。
6.⑴△AOE≌△AOD,△
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