近代概率论试题库计算证明题部分.docx
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近代概率论试题库计算证明题部分
.
近代概率论基础题库(计算证明题部分)
一、某人写好n封信,又写好n个信封,然后在黑暗中随机地把
n封信放入n个信封中(一
个信封中只能放一封信),试求至少有一封信放对的概率。
(10分)
一、解:
若以Ai记第i封信与信封符合,则所求的事件为:
A1UA2ULUAn。
不难求得:
P(Ai)
(n
1)!
1
n!
,
n
P(AiAj)
(n
2)!
1
,
n!
n(n
1)
P(AiAjAk)
(n3)!
1
,
n!
n(n
1)(n
2)
L
P(A1A2LAn)
1
n!
故
P(A1UA2ULUAn)
n
1
n
1
n
1
(1)
n11
1
n
2
n(n
1)
3
L
n!
n(n1)(n2)
1
1
1
L
(1)n11
2!
3!
n!
二、从数字1,2,L,9中(可重复地)任取n次,试求所取的n个数的乘积能被10整除的概率。
(10分)
二、解:
n个数的乘积要能被10整除,则
这n个数中至少有一个是偶数,也至少有一个为5。
因取数是放回抽样,显然样本空间中有基本事件9n个。
设
A={所取的n个数的乘积能被10整除},
...
.
B={所取的n个数中至少有一个是偶数},
C={所取的n个数中至少有一个为5},
则
B为所取的n个数全为奇数,故B所含基本事件数为
5n;
C
为所取的n个数无
5
C
所含基本事件数为
8
n;
,故
BC
5BC
n
,
为所取的n个数全为奇数且不含
所含基本事件数为
4
,故
且
ABC,ABUC
所以由计算公式得:
P(A)
1P(A)
1
P(BUC)1[P(B)P(C)P(BC)]
1(5
n
n
n
n
n
n
n
8
n
4n)1
5
n
8
n
4n.
9
9
9
9
9
9
三、一质点从平面上某点出发,等可能的向上、下、左及右方向移动,每次移动的距离为1,求
经过2n次移动后回到出发点的概率。
(10分)
三、解:
若要在2n次移动后回到原来的出发点,则向左移动的次数与向右移动的次数应该相等,
向上移动的次数与向下移动的次数也应该相等,而总移动次数为2n。
故所求的概率为:
P
(2n)!
(1)2n
k
m
n(k!
)2(m!
)2
4
n
(2n)!
(1)2n
k
0(k!
)2[(n
k)!
]2
4
1
2n(2n)!
n
2
1
2n
(
n!
)
2n
)
(n!
)2
(
4
n
4
k
0
k!
(nk)!
n
k0
2
n
k
...
.
1
2n
2
)
2n
.
(
n
4
四、假定一块放射性物质在单位时间内发射出的
粒子数
服从参数为
的泊松分布。
而每个
放射出的
粒子被记录下来的概率均为
p。
如果各粒子是否被记录相互独立,试求记录下
的粒子数
的分布。
(10分)
四、解:
以事件{
n},n
0,1,2,L
为分割用全概率公式得:
对任意得非负整数
k有:
P{
k}
n
0
P{
n}P{
k|
n}
n
n
p(n;
)b(k;n,p)
e
pkqn
k
n
k
n
kn!
k
1
(
p)
k
e
(
q)n
k
(n
k)!
k!
nk
1(
p)ke
p
k!
五、证明:
在独立重复的伯努利实验序列中,如果实验重复的次数
服从参数为
泊松分布,
求成功次数
和失败次数
的概率分布,并证明
与
相互独立。
(10分)
五、解:
以事件{
n},
n
0,1,2,L
为分割用全概率公式得:
对任意得非负整数
k有:
P{
k}
P{
n}P{
k|
n}
n
0
n
n
pkqnk
p(n;
)b(k;n,p)
e
n
k
nk
n!
k
1(p)ke
(
q)nk
k!
n
k(n
k)!
1(
p)ke
p
k!
...
.
同理
P{k}1(p)kep
k!
进一步地,
P{
m,
n}P{
m
n}P{
m,
n|
m
n}
mn
mn
pmqn
(m
e
n)!
n
mpmep
nqne
q
P{
m}P{
n}.
m!
n!
六、若
1,L,n是相互独立的随机变量,具有相同的分布函数
F(x),而
n*及1*
相当于把
1,L,n按大小顺序重新排列为
*
*
L
*
的末项和首项,求
*
及
*
的分布函
1
2
n
n
1
数,并求(1*,n*)的联合分布函数。
(10分)
六、解:
首先求n*的分布函数:
P{n*
x}P{max(
1,L,
n)
x}
P{1x,L,nx}
P{1x}
L
P{n
x}
n
F(x).
再求1*的分布函数:
因为
P{
所以
*
x}P{min(
1,L
n)
x}
P{1
x,L,nx}
1
P{1
x}L
P{n
x}
1
n
F(x).
P{
*
n
n
x}11F(x).
最后求(
1*,
n*)的联合分布函数:
记G(x,y)P{1*
x,n*
y}.
若xy,则
...
.
G(x,y)
P{
1*
x,n*
y}
P{
n*
y}
n
F(x).
若x
y,则
G(x,y)
P{
1*
x,
n*
y}
P{
n*
y}
P{x
1
y,L
x
ny}
P{
n*
y}
P{
1*
x,
n*
y}
n
n
F(y)
F(y)F(x).
七、设U1与U2相互独立,且均服从
[0,1]上的均匀分布,证明:
V1
2lnU1cos2U2
与V
2lnU
sin2
U
2
相互独立且均服从标准正态分布。
(10
分)
2
1
七、证明:
因为
y1
2lnx1cos2
x2
y2
2lnx1sin2
x2
则
y2
y
2
1
2
2
2
x1e
2
y1
y2
2lnx1
因此
1
arctgy2
y2
y1tg2
x2
x2
2
y1
故雅可比行列式为:
x1
x1
y2y
2
y1
y2
1
1
2
J
e
2
.
x2
x2
2
y1
y2
因为U1与U2
相互独立,故(U1,U2)的密度函数为:
p(x1,x2)p1(x1)p2(x2)
1,
0
x1,x2
1.
因为(V1,V2)的密度函数为:
1
y2y
2
1
y
2
1
y
2
1
2
1
2
e
1
2.
q(y1,y2)
2
e2.
e
2
2
2
...
.
因而,V1与V2的边际密度函数分别为:
1
y2
1
q1(y1)
q(y1,y2)dy2
e2.
2
1
y22
q2(y2)
q(y1,y2)dy1
e2.
2
并且q(y1,y2)q1(y1)q2(y2).,因而V1与V2相互独立且均服从标准正态分布。
八、(10分)已知随机向量(1,2,L,r)服从多项分布,即
P{1
k1,2k2,L
r
kr}
n!
p1k1p2k2Lprkr
k1!
k2!
Lkr!
这里ki
0且仅当k1
k2
L
krn时上式才成立,否则为0.
求随机向量(1,2,L,r)的各个分量之间的协方差和相关系数。
八、解:
显然
i~B(n,pi),i
1,2,L
r,因此Ei
npi,Di
npi(1
pi
)
注意到
i
j
~B(n,pi
pj
),因此
E(
i
j
)
n(pi
pj
),D(
i
j)
n(pipj)(1
pi
pj
)
由于
D(
i
j
)
Di
D
j
2cov(i
j)
npi(1
pi
)npj(1
pj)2cov(i,j)
因而有
cov(i,j)
npipj
相关系数为:
rij
cov(
i,
j)
pipj
pipj
。
pi
pj(1
pi)(1
pj)
(1
pi)(1
pj
)
九、袋中有N张卡片,各记以数字
Y1,Y2,L,YN,不放回地从中抽出
n张,求其和的数学期望
和方差。
(10分)
...
.
九、解:
取一张时,其数字的均值及方差分别为
Y
1
N
及
2
1N
Y)
2
Yi
(Yi
Ni1
Ni1
若以
n
记n张卡片的数字之和,以
i,i
1,2,L
n记第i次抽得的卡片上的数字,则
n
1
2
L
n
由于抽签与顺序无关,因此
P{
i
Y}
1
l
1,2,L,N,i
1,2,L
n
l
N
故
E
i
Y,D
i
2.
所以
En
E1
E2
LEn
nY
n
2
D
n
Di2
cov(
i,j)
n
n(n
1)cov(
i,
j)在上式中令
i1
1ij
n
nN,因为
N
Y1L
YN是一个常数,因此
D
N
0,于是
N
2
N(N
1)cov(
1,2)
0
因而
cov(1,2)
于是
2
N1
Dnn2n(n1)2
n(Nn)
2
。
N1
N1
十、掷5颗骰子,求所得总和为15的概率。
(提示:
利用母函数)(10分)
十1、解:
以
i表示第i颗骰子掷出的点数,则总和为:
1Ln.
...
.
因i服从1到6上的等可能分布,故其母函数均为
P(s)
1(ss2
s3
s4
s5
s6).
6
又因为
i相互独立,故其和
的母函数为:
[P(s)]5。
于是,所求的概率恰为
[P(s)]5的幂级数展开式中
s15前面的系数。
由于
5
5
(1
6
[P(s)]15
s5(1
sL
s5)5
s
5
s
)5
6
6
1
s
5
5
s5
(1
5s6
10s12
L
s30)
(s)k
6
k
0k
s5
(1
6
L)
k
4
k
5
5s
k
s
6
k0
因此
P{
15}
1
1
14
5
8
651
。
5
10
4
6
5
6
十2、(10分)掷5颗骰子,求所得总和为16的概率。
(提示:
利用母函数)
解:
以
i表示第i颗骰子掷出的点数,则总和为:
1L5.
。
。
。
。
。
2分
因i服从1到6上的等可能分布,故其母函数均为
P(s)
1
(ss2
s3
s4
s5
s6).
。
。
。
。
。
1分
6
又因为
i相互独立,故其和
的母函数为:
[P(s)]5。
。
。
。
。
。
2分
于是,所求的概率恰为
[P(s)]5的幂级数展开式中
s16前面的系数。
。
。
。
。
1分
由于
15
s5
sL
5
5
s5
1s6
5
[P(s)]
5(1
s)
5
(
)
6
6
1s
...
.
5
5
s5
(1
5s6
10s12
L
s30)
s)k
。
。
。
。
。
2分
k0k
(
6
s5
(1
6
L)
k4
s
k
。
。
。
。
。
1分
5
5s
k
6
k
0
因此P{
16}
1
1
15
5
9
.。
。
。
。
。
。
1分
11
5
65
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